高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 常考問題16 立體幾何中的向量方法 理

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1、?？紗栴}16立體幾何中的向量方法 真題感悟 考題分析1直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，則(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直v0a2a3b2b3c2c30.知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破 (3)二面角 如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法

2、向量為n2，n1，n2，則二面有l(wèi)的大小為或.知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破3用向量法證明平行、垂直問題的步驟(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標系，也可以不建系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面(2)通過向量運算研究平行、垂直問題(3)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破4空間向量求角時考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系(1)求線面角時，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，而不是線面角的余弦；(2)求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析.熱點與突破熱點一向量法證明平行與垂直【例1】 如

3、圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破 規(guī)律方法 證明平行、垂直關(guān)系時，若用傳統(tǒng)的幾何法，難以找出問題與條件的關(guān)系時，可采用向量法，但向量法要求計算必須準確無誤，利用向量法的關(guān)鍵是正確求平面的法向量知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破【訓(xùn)練1】 如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中

4、點，O為DF的中點求證：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破 規(guī)律方法 異面直線所成角的余弦等于兩條異面直線方向向量夾角余弦的絕對值；線面所成角的正弦等于平面的法向量與直線方向向量夾角

5、余弦的絕對值；二面角平面角余弦與二面角兩平面法向量夾角的余弦絕對值相等，其正負可以通過觀察二面角是銳角還是鈍角進行確定知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破【訓(xùn)練2】 (2013新課標全國卷)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破 (1)證明如圖，取AB的中點O，連接CO，A1O，A1B. 因為CACB，所以COAB， 由于AA1AB，BAA160， 故AA1B為等邊三角形， 所以ABA1O，因為OCOA

6、1O， 所以AB平面A1OC，故ABA1C. (2)解由(1)知OCAB，OA1AB. 又平面ABC平面AA1B1B， 交線為AB，所以O(shè)C平面AA1B1B， 故OA，OA1，OC兩兩相互垂直 以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸， OA1所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破熱點三利用空間向量解決探索性問題【例3】 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的

7、長；若不存在，說明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破 規(guī)律方法 空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷；解題時，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破知識與方法知識與方法熱點與突破熱點與突破