高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) ?？紗栴}16 立體幾何中的向量方法 理

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1、常考問題16立體幾何中的向量方法 真題感悟 考題分析1直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，則(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直v0a2a3b2b3c2c30.知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破 (3)二面角 如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法

2、向量為n2，n1，n2，則二面有l(wèi)的大小為或.知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破3用向量法證明平行、垂直問題的步驟(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系，也可以不建系)，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面(2)通過向量運(yùn)算研究平行、垂直問題(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破4空間向量求角時(shí)考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系(1)求線面角時(shí)，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，而不是線面角的余弦；(2)求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析.熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)一向量法證明平行與垂直【例1】 如

3、圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破 規(guī)律方法 證明平行、垂直關(guān)系時(shí)，若用傳統(tǒng)的幾何法，難以找出問題與條件的關(guān)系時(shí)，可采用向量法，但向量法要求計(jì)算必須準(zhǔn)確無(wú)誤，利用向量法的關(guān)鍵是正確求平面的法向量知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破【訓(xùn)練1】 如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中

4、點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)求證：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破 規(guī)律方法 異面直線所成角的余弦等于兩條異面直線方向向量夾角余弦的絕對(duì)值；線面所成角的正弦等于平面的法向量與直線方向向量夾角

5、余弦的絕對(duì)值；二面角平面角余弦與二面角兩平面法向量夾角的余弦絕對(duì)值相等，其正負(fù)可以通過觀察二面角是銳角還是鈍角進(jìn)行確定知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破【訓(xùn)練2】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破 (1)證明如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接CO，A1O，A1B. 因?yàn)镃ACB，所以COAB， 由于AA1AB，BAA160， 故AA1B為等邊三角形， 所以ABA1O，因?yàn)镺COA

6、1O， 所以AB平面A1OC，故ABA1C. (2)解由(1)知OCAB，OA1AB. 又平面ABC平面AA1B1B， 交線為AB，所以O(shè)C平面AA1B1B， 故OA，OA1，OC兩兩相互垂直 以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸， OA1所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的

7、長(zhǎng)；若不存在，說明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長(zhǎng)知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破 規(guī)律方法 空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破知識(shí)與方法知識(shí)與方法熱點(diǎn)與突破熱點(diǎn)與突破