重慶市萬州分水中學高考數(shù)學一輪復習 第二章第一節(jié) 函數(shù)概念及其表示 指導課件 新人教A版

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1、第一節(jié)：第一節(jié)：函數(shù)概念及其表示一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念1概念：設A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的 一個數(shù)x，在集合B中都有 的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yf(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域值域是集合B的 2函數(shù)相等：兩個函數(shù)的 相同，并且 完全一致，稱這兩個函數(shù)相等任意唯一確定子集定義域對應關系二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法表示法優(yōu)點缺點解析法一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自

2、變量的值所對應的函數(shù)值不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來圖象法能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況只能近似地求出自變量的值所對應的函數(shù)值，而且有時誤差較大列表法不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值它只能表示自變量取較少的有限值的對應關系三、分段函數(shù)三、分段函數(shù)有些在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子表示對應關系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)四、映射四、映射設A，B是兩個非空的集合，如果按某一確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射從A到B的映射與從B到A的映射

3、是不同的，即映射具有方向性(1)函數(shù)f：AB是特殊的映射，特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集(2)由函數(shù)定義知函數(shù)圖象與x軸的垂線至多有一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個(3)在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式；求分段函數(shù)的定義域，先選定所有分段的區(qū)間，然后取這些區(qū)間的并集所得到的集合就是分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集1(廈門雙十中學2011屆高三第一次月考)設f：AB是集合A到B的映射，則下列命題中是真命題的是()AA中不同元素必在B中有不同的象BB中每個元素在A中必有

4、原象CA中每一個元素在B中必有象DB中每一個元素在A中的原象唯一解析：解析：由映射定義知，只有選項C正確答案：答案：C2(教材改編題)下列方程對應的圖形，其中不是函數(shù)圖象的是()A|x|y0Bx2yC(x1)y(x1)0(x1) D|x|y|1解析：解析：易知A、B、C選項表示的方程，均可化為函數(shù)形式：yf(x)而D中，由|x|y|1y(1|x|)不符合函數(shù)概念答案：答案：D3(教材改編題)下列函數(shù)中，與函數(shù)yx(xR)相等的是()答案：答案：C答案：答案：D解析：解析：當a1時，log2a2，解得a4；當0a1時，a2，即a2 (0,1)，舍去答案：答案：46已知f(x1)x2，則f(x)_

5、.解析：解析：f(x1)x2(x1)12(x1)22(x1)1，f(x)x22x1.答案：答案：x22x1方法技巧：方法技巧：1.求函數(shù)的定義域之前，盡量不要對函數(shù)的解析式變形，以免引起定義域的變化.2.求已知函數(shù)y=f(x)定義域的常用方法：（1）當函數(shù)y=f(x)用列表法給出時，函數(shù)的定義域是指表格中x的集合.（2）當函數(shù)y=f(x)用圖象法給出時，函數(shù)的定義域是圖象在x軸上的投影所覆蓋的實數(shù)的集合.（3）當函數(shù)y=f(x)用解析法給出時，常有以下幾種情況：若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集；若f(x)是分式，則函數(shù)定義域是使分母不等于零的實數(shù)集合；若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義

6、域是使根號內式子大于或等于零的實數(shù)集合；若f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；若f(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應符合實際問題.3.求函數(shù)的定義域，實質就是一個列不等式（組），解不等式（組）的過程.求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域【思路點撥思路點撥】函數(shù)的定義域就是能使函數(shù)解析式有意義的實數(shù)的 集合故函數(shù)的定義域為x|x2，或2x1，或1x2，或2x4答案：答案：D求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式【思路點撥思路點撥】(1)將x2看作一個整體，根據(jù)函數(shù)的定義，將2x29x13表示為x2的函數(shù)，或用換元法，令tx2.(2)由已知可設f(x

7、)axb(a0)，用待定系數(shù)法求解(3)根據(jù)已知，再構造一個關于f(x)，f( )的等式 【解解】(1)法一(拼湊法)：f(x2)2x29x132(x2)2(x2)3，得對應法則為f(x)2x2x3.即所求解析式為f(x)2x2x3.法二(換元法)：令x2t，則xt2，代入已知條件等式，得f(t)2(t2)29(t2)132t2t3.所以f(x)的解析式為f(x)2x2x3.(2)設f(x)axb(a0)，則3f(x1)2f(x1)ax5ab.即ax5ab2x17對xR成立，【變式探究變式探究】2.(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x)4x1，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)定義在R上的函

8、數(shù)f(x)滿足f(1cosx)sin2x，求f(x)解析式；(3)函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x1(xR)，求f(x)解析式 解：解：(1)設f(x)axb(a0)，則f(f(x)a(axb)ba2xabb，由條件得a2xabb4x1.f(x)2x1，或f(x)2x .(2)f(1cosx)sin2x1cos2x，令1cosxt，則cosx1t，f(t)1(1t)2t22t.故f(x)x22x.(3)以x代原條件中的x，得f(x)2f(x)2x1.將f(x)2f(x)2x1代入已知條件，得f(x)4f(x)4x22x1，解得f(x)2x.方法技巧：方法技巧：求函數(shù)解析式的常見類型及求法

9、.1.若已知函數(shù)的類型或結構，可用待定系數(shù)法. 2.若已知f(g(x)的解析式，求f(x)的解析式，用代換（配湊）法.這里需值得注意的是所求解析式的定義域等價性，即f(x)的定義域應是g(x)的值域.（一般地，已知f(x)的定義域為D，求f（g(x)的定義域，只需由g(x)D,求x即可；若已知f(g(x)的定義域為D，求f(x)的定義域，只需由xD，求g(x)的值域即可.）3.已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如f(-x)，f ( )等，要根據(jù)已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)，體現(xiàn)方程思想.分段函數(shù)分段函數(shù)（1）設高峰時間段用電

10、量為x千瓦時，應付的電費為f(x)元；低谷時間段用電量為y千瓦時，應付的電費為g(y)元.試寫出f(x)，g(y)的解析式.（2）若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費多少元（用數(shù)字作答）？【思路點撥思路點撥】（1）由題中圖表知f(x)，g(y)分別是關于x、y的分段函數(shù)，明確了電價的計算方法，它們的解析式不難求出.對于（2）將x=200，y=100分別代入f(x)，g(y)再求和即可【解】（1）設高峰時間段用電量為x千瓦時，應付的電費為f(x)元；低谷時間段用電最為y千瓦時，應付的電費為g(y)元，根據(jù)題意：f(x

11、)=g(y)=（2）一個家庭本月應付的電費應為w=f(x)+g(y).從而高峰時間段200千瓦時的用電電費為：500.568+1500.598=118.1（元）；低谷時間段100千瓦時的用電電費為：500.288+500.318=30.3（元）.故該家庭本月應付電費118.1+30.3=148.4（元）【變式探究變式探究】3.（文）甲、乙兩地相距150千米，某貨車從甲地運送貨物到乙地，以每小時50千米的速度行駛，到達乙地后將貨物卸下用了1小時，然后以每小時60千米的速度返回甲地.從貨車離開甲地起到貨車返回甲地為止，設貨車離開甲地的時間和距離分別為x小時和y千米，試寫出y與x的函數(shù)關系式.解解:

12、由題意，可知貨車從甲地前往乙地用了3小時，而從乙地返回甲地用了2.5小時.（1）當貨車從甲地前往乙地時，由題意，可知y=50 x(0 x3);（2）當貨車卸貨時，y=150(3x0，知g(x)的定義域為(，1)(0，)二者定義域不同f(x)、g(x)的定義域、對應關系均相同，故函數(shù)f(x)與g(x)相等【例2】(2010年廣東五校模擬改編)若函數(shù)f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍【解】函數(shù)f(x)的定義域為R，對xR，都有2x22axa10恒成立，即2x22axa20，也即x22axa0，恒成立，(2a)24(a)0成立，解得1a0.故所求實數(shù)a的取值范圍是1,0類型對函數(shù)概念理解不深刻

13、易導致失誤類型對函數(shù)概念理解不深刻易導致失誤【例】設集合Ax|2x3，函數(shù)y的定義域為B，當BA時，求實數(shù)k的取值范圍【正解】設g(x)kx24xk3，則集合Bx|g(x)0(1)當k0時，Bx|x A，故應舍去(2)當k0時，注意到g(x)的圖象開口向上，顯然BA，故應舍去(3)當k0時，由數(shù)形結合知，要使BA，則 故實數(shù)k的取值范圍是(4， 【分析】本題在求解過程中，很容易認為上述討論中，對(3)當k0的情況，忽視了0即k4，因為此時，B A，應補上，得k的取值范圍是(， 這樣討論似乎無懈可擊，完美無誤其實犯了一個概念性的錯誤，即函數(shù)的定義域集合為非空數(shù)集，即B ，即不應考慮kg(f(x)

14、的x的值是_解析：解析：g(1)3，f(g(1)f(3)1x1時，f(g(1)1，g(f(1)3，f(g(1)g(f(x)x3時，f(g(3)f(1)1，g(f(3)g(1)3，f(g(x)a，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：解析：當a0時，f(a) a1，則由f(a)a，得a3，不合題意；當aa，得a1.綜上，所求a的取值范圍是(，1)答案：答案：(，1)8若f(x)(xa)3對任意xR都有f(1x)f(1x)，則f(2)f(2)_.解析：解析：令x0，知f(1)f(1)，f(1)0，f(1)(1a)30，a1，f(x)(x1)3，f(2)f(2)26.答案：答案：269.函數(shù)yf(x)的圖象如

15、圖所示，則f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個值對應的y值的范圍是_解析：解析：由圖象知，函數(shù)yf(x)的圖象包括兩部分，一部分是以點(3,2)和(0,4)為兩個端點的一條曲線段，一部分是以(2,1)、(3,5)為端點的曲線段，故其定義域為3,02,3，值域為1,5，只與x的一個值對應的y值的取值范圍是1,2)(4,5答案：答案：3,02,31,51,2)(4,5三、解答題三、解答題10(文)某人驅車以52千米/時的速度從A地駛往260千米遠處的B地，到達B地并停留1.5小時后，再以65千米/時的速度返回A地，試將此人驅車走過的路程s(千米)表示為時間t時的函數(shù)解：解： 5，當0t

16、5時，s52t，又到達B地后停留1.5小時，此時距離A地的路程不變，即s525260(km)，56.5時，s260(t6.5)65，又返回A地，此時t 6.510.5.(理)某種商品在30天內每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)關系如圖所示：該商品在30天內日銷售量Q(件)與時間t(天)之間的關系如表所示：第t天5152030Q(件)35252010(1)根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關系式；(2)在所給直角坐標系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(t，Q)的對應點，并確定日銷售量Q與時間t的一個函數(shù)關系式；(3)求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大

17、的一天是30天中的第幾天？(日銷售金額每件的銷售價格日銷售量)解：解：(1)根據(jù)圖象，每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關系式為 P(2)描出實數(shù)對(t，Q)的對應點如圖所示從圖象發(fā)現(xiàn)點(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)在同一條直線上，為此假設它們共線于直線l：Qktb.由點(5,35)，(30,10)確定出l的解析式為Qt40.通過檢驗可知：點(15,25)，(20,20)也在直線l上日銷售量Q與時間t的一個函數(shù)關系式為Qt40(0t30，tN*)(3)設日銷售金額為y(元)，若0t900，知ymax1 125，這種商品日銷售金額的最大值為1 125元，30天中的第25天的日銷售金額最大解：解：11已知f(x)x22x3，用圖象法表示函數(shù)g(x)當f(x)0，即x22x30，3x1時，g(x)0.當f(x)0 ，即x1時，g(x)f(x)(x1)24.故g(x)g(x)的圖象如圖所示綜合應用綜合應用12定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，則f(2)等于_解析：解析：令xy1，由已知得f(2)f(1)f(1)2112226.令xy0，由已知得f(0)0，令yx，得f(0)f(x)f(x)2x2，f(x)2x2f(x)f(2)222f(2)862.答案：答案：2