福建省南平市光澤二中高三數(shù)學一輪復習 第二章第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 文 新人教A版

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1、第三節(jié)第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性一、奇函數(shù)與偶函數(shù)一、奇函數(shù)與偶函數(shù)1定義一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 2定義域及圖象特征定義域關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式偶函數(shù)圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)圖象關于原點對稱f(x)f(x)f(x)f(x)，二、周期性二、周期性1周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT) ，那么就稱函數(shù)yf(x

2、)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期2最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中 的正數(shù)，那么這個 正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期f(x)存在一個最小最小1奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(2)在公共定義域內(nèi)，兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0)0.(4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)2周期函數(shù)的有關結(jié)論周期函數(shù)的有關結(jié)論(1)若函數(shù)滿足f(ax)

3、f(x)，f(xa)f(xa)，f(x2a)f(x)，f(ax)bf(x)，f(xa) ，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)(2)若函數(shù)滿足f(xa) (a0)，f(xa) (a0)，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)(3)類比“三角函數(shù)圖象”得若yf(x)的圖象有兩條對稱軸xa，xb(ab)，即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)，則yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；特別地：若yf(x)是偶函數(shù)，其圖象又關于直線xa對稱，即f(ax)f(ax)，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)若yf(x)的圖象有兩個對稱中心A(a,0)，B(b,0)(ab)，即f(ax)f(ax

4、)，f(bx)f(bx)，則yf(x)是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；如果函數(shù)yf(x)的圖象有一個對稱中心A(a,0)和一條對稱軸xb(ab)，即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)，則函數(shù)yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T4|ab|.特別地，若yf(x)是奇函數(shù)，其圖象又關于直線xa對稱，即f(ax)f(ax)，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù)1已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值為()解析：解析：依題意得 解得a b0.答案：答案：B2(教材改編題)下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()Ay Byx3xCy2x Dylog3x解析：

5、解析：C、D選項對應的函數(shù)，在其定義域上是增函數(shù)，但它們是非奇非偶函數(shù)；A中函數(shù)y 在定義域上不是增函數(shù)故選B.答案：答案：B3.(文)(2010年廣東省江門市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x2x，則當x0時，f(x)等于()Ax2x Bx2xCx2x Dxlog2x解析解析：x0，x0時，由f(x)f(x1)f(x2)，得f(x1)f(x)f(x1)，f(x1)f(x2)，f(x3)f(x)，f(x6)f(x)，即x0時，函數(shù)f(x)的周期是6，又2 00963345，f(2 009)f(5)又f(5)f(4)f(3)f(3)2f(2)f(1)f(1)lo

6、g2(11)1.答案：答案：C抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性（2）判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）如果f(4)=1，f(3x+1)3，且f(x)在（0，+）上是增函數(shù)，求x的取值范圍.【思路點撥思路點撥】靈活運用f(x1x2)=f(x1)+f(x2),以及函數(shù)單調(diào)性的定義.【例3】（理）已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b).且當x0時，f(x)bc BacbCbca Dcba解析：解析：因f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在1,0上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在(0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)；又因f(x1)f(x)，所以f(x2)

7、f(x)，函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)；又因f( )f( )f(2 )，f(2)f(0)，f(3)f(21)f(1)所以f(1)f(2 )f(0)，即f(3)f( )1，f(2 012) ，則a的取值范圍是()A(，0) B(0,3)C(3，) D(，0)(3，)解析：解析：f(2 012) f(54022)f(2)，又f(2 012) ， 1， 0，a3.故選B.答案：答案：B(理)f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)0，則方程f(x)0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)至少是() A1 B4 C3 D2解析：解析：f(x)是R上的以3為周期的偶函數(shù)，f(2)0，f(23)f(1

8、)0，f(1)f(13)f(4)0，f(2)f(23)f(5)0，f(1)f(2)f(4)f(5)0.故選B.二、填空題二、填空題6設f(x) 是奇函數(shù)，則使f(x)0的x的取值范圍是_解析：解析：f(x) 是奇函數(shù)，f(0)0，即a0，f(x) ，f(x) f(x)，a0符合題意，f(x)0，即 0，x0.答案：答案：( ，0)7(文)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(2)等于_解析：解析：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)f(2)f(24)f(2)，又f(2)f(2)，f(2)f(2)，得f(2)0.答案：答

9、案：0(理理)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x)1，f(1)2 012，則f(2 011)_.解析：解析：f(x2)f(x)1，f(x2).f(x4) f(x)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)f(2 011)f(45023)f(3)f(34)f(1)f(1)2 012.答案：答案：20128已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x(x1)若f(a)2，則實數(shù)a_.解析：解析：令x0，所以f(x)f(x)(x)(x1)，即f(x)x(1x)(x0)，又x0時，f(x)x(x1)0，f(a)20a0)，在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x

10、4_.解析：解析：因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)因此函數(shù)圖象關于直線x2對稱且f(0)0.由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1x2x3x4，由對稱性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.答案：答案：8三、解答題三、解答題10定義在R上的增函數(shù)yf(x)對任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)(1)求f(0)的值；(2

11、)求證f(x)為奇函數(shù)；(3)求滿足f(1m)f(1m2)0的實數(shù)m的取值范圍解：解：(1)令ab0，則f(0)f(0)f(0) f(0)0.(2)令ba，則f(aa)f(a)f(a)0，即f(a)f(a)，又aR，f(x)為奇函數(shù)(3)由f(1m)f(1m2)0得f(1m)f(1m2)，即f(1m)f(m21)，所以1mm21，解得m2，或m1.11函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式f(x )0的解集解：解：f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，f(x)在(，0)上是增函數(shù)，f(1)0，f(1)0，f(x)0的解集為x|0 x1，或x1，f(

12、x )0等價于0 x 1，或x 1，即 x ，或x ，不等式f(x )0的解集為x|x ，或 x 綜合應用綜合應用2已知f(x)是R上的偶函數(shù)，f(2)1，若f(x)的圖象向右平移1個單位長度，得到一個奇函數(shù)的圖象，則f(1)f(2)f(3)f(2 011)_.解析：解析：依題意g(x)f(x1)是奇函數(shù)，g(x)g(x)，即f(x1)f(x1)，f(x)f(2x)又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，4為f(x)的周期f(4)f(0)f(02)f(2)1.又f(x1)f(x1)，f(01)f(01)，f(1)0，f(1)0，f(3)0，f(2)1，f(4)1，f(1)f(2)f(3)f(4)0，f(1)f(2)f(3)f(2 011)502(f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 009)f(2 010)f(2 011)f(1)f(2)f(3)0(1)01.答案：答案：1