大學物理第一章 機械振動

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1、精品文檔，僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 第四部分 振動、波動和波動光學 第1章 機械振動 一．基本要求 1．掌握簡諧振動的定義和特征，以及描述簡諧振動的三個特征量：振幅、圓頻率和初相位，學會簡諧振動的判斷方法。 2．掌握簡諧振動的三種描述方法——解析法、曲線法以及旋轉矢量法，并能從這些描述中確定簡諧振動的特征量，能用旋轉矢量法分析有關問題。 3．了解簡諧振動的能量特點。 4．掌握兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成，能計算合成振動的振幅和初相位。 5．理解兩個同方向、不同頻率簡諧振動的合成，了解“拍”的定義。 6．了解受迫振動和共振。 7．了解非線性振動的基本概念

2、。 二．內容提要和學習指導 （一）簡諧振動的定義（簡諧振動的判據(jù)） 1．簡諧振動的運動學定義：物體離開平衡位置的位移滿足　 2．簡諧振動的動力學定義：物體受到的合外力滿足　 （k常數(shù)） 3．用運動微分方程定義： 由這一定義可以推廣簡諧振動的概念：一個物理量（可以是力學量、電學量、磁學量等）如果滿足上述微分方程，就可稱物理量作簡諧振動． （二）簡諧振動的三個特征量 1．振幅：物體離開平衡位置的最大位移的絕對值，其值由振動的初始條件 （即時物體的位移和速度）決定 ； 2．頻率（圓頻率、周期）：表征物體振動的快慢，由振動系統(tǒng)的固有性質決 定，三者之間的關系為

3、 ３．相位（初相位） 　　①相位完備地描述質點的振動狀態(tài)．振動狀態(tài)和相位之間一一對應，也就是說知道了任一時刻質點振動的相位，就知道了這一時刻質點的位置、速度和加速度．關于這一點可從位移、速度和加速度的表達式中看出： 其中初相由初始條件決定　。 ②相位可用來比較兩個同頻率簡諧振動的步調。設有兩個簡諧振動 則兩者間的相位差與步調的關系為 相位差 步調 步調一致（同相） 步調相反（反相） 振動2超前振動1 振動2落后振動1 （三）簡諧振動的描述方法 當采用某種方法描述簡諧振動時，此方法必須能很好地體現(xiàn)簡諧振動的三個特征量．

4、 圖1.1 1．解析法： 2．曲線法(曲線) 圖1.2 如圖1.1所示，x -t曲線的峰值表示振幅；運動狀態(tài)完全相同的最鄰近兩點之間的時間間隔表示周期；t =0時，以及的正負可以確定初相位。 3．旋轉矢量法 表示方法如圖1.2所示．在旋轉矢量法中很直觀地體現(xiàn)了簡諧振動的三個特征量：旋轉矢量的模表示振幅A；任意t時刻，旋轉矢量與x軸的夾角表示t時刻的相位；旋轉角速度表示圓頻率． 注意：用旋轉矢量法能夠很方便地判斷振動的相位，關于這一點將在習題解答與分析中加以說明，請務必掌握． （四）簡諧振動

5、的能量特征 1．振子的動能 2．振子的勢能 3．振子的總能 結論：①振動系統(tǒng)的動能和勢能是時間的周期函數(shù)，其周期為位移周期的一半。②在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉換：動能最大時，勢能最?。粍幽茏钚r，勢能最大．在整個過程中系統(tǒng)的機械能守恒． （五）簡諧振動的合成 １．同方向、同頻率簡諧振動的合成：，； 合振動：（仍為簡諧振動，且與分振動的頻率相同） 其中 ，； 相位差 合振幅 為其他值時 2．同方向、不同頻率簡諧振動的合成 合振動： ① 合振動不是簡諧振動； ② 若，即，合振幅； 合振動是振幅隨時間緩變的

6、準簡諧振動——拍振動．拍頻為 。 3．相互垂直的同頻率簡諧振動的合成 合運動的軌道方程：　　 合運動的軌道：第1、3（2、4）象限內的直線 合運動的軌道：第1、3象限順（逆）時斜橢圓 合運動的軌道：順（逆）時針旋轉正橢圓 合運動的軌道：第2、4象限順（逆）時斜橢圓 三．習題解答和分析 1.1．舉出幾個振動的例子；振動和波在物理學中具有怎樣的地位和作用？ 【答】掛鐘擺錘的擺動，物體發(fā)聲、與機械運轉相伴的機座的運動，地震，晶體中原子的運動…；交變電路中的電壓、電流，交變電磁場中的電場強度、磁場強度…。 振動和波動是自然界一種十分普遍的運動形式，這些振動和波動的

7、表現(xiàn)形式雖然不同，但具有普遍的性質和規(guī)律，滿足相同的微分方程，可以用統(tǒng)一的數(shù)學形式描述。因此，振動和波動在物理學中具有非常重要的地位和作用。 1.2．什么樣的運動叫簡諧振動？為什么說研究簡諧振動是研究一切復雜振動的基礎？ 【答】簡諧振動的判據(jù)是：①；或②；或③。一切復雜的振動都可以分解為不同頻率的簡諧振動的疊加。所以，研究簡諧振動是研究一切復雜振動的基礎。 1.3．簡諧振動的三個特征量是什么？它們各由什么條件決定？ 【答】簡諧振動的三個特征量是：①振幅，它由初始條件決定；②頻率（圓頻率，周期），它由簡振系統(tǒng)的自身性質決定；③初相位，它由初始條件決定。 　　1.4．一小球與輕彈簧組成的

8、系統(tǒng)，按的規(guī)律振動，式中t以秒為單位。求：（1）振動的圓頻率w 、周期T、振幅A和初位相j 0；（2）振動的速度和加速度；（3）t=0.1s、0.2s、0.3s時刻的相位。 【解】（1）將題中所給的振動表達式與標準振動表達式比較可得： （2）； （3）→，, 或 →，,。 【評注】由振動表達式求簡諧振動特征量的基本方法總結如下：將所給的振動表達式寫成標準形式，然后與標準振動表達式比較，直接讀出：① ；②；③→→。 1.5．有一個和輕彈簧相連的小球，沿x軸做振幅為A的簡諧振動，該振動的表達式用余弦函數(shù)表示．若t=0 時，球的運動狀態(tài)分別為：（1）x0=－A；（２）過平衡位置向x軸正方

9、向運動；（３）過處，且向x負方向運動．試用旋轉矢量圖法分別確定相應的初相位。 【解】由旋轉矢量圖法確定的初相位如下圖 【評注】初相位的判定有兩種方法，一種是解析法，另一種是旋轉矢量法。一般情況下，旋轉矢量法更簡捷、明了。 題1.6圖 1.6．已知一個諧振子的振動曲線如圖所示．（1）寫 出振動表達式；（2）求a,b,c,d,e各狀態(tài)所對應的相位。 【解】（1）由振動曲線可知：振幅A=5.0cm；周期T=2. 4s，則圓頻率． 判定初相位

10、： 方法一：解析法．設振動表達式為 ，由得：→。 ，由得：→ 方法二：采用旋轉矢量法．在t=0時刻，振子在x=2.5cm處， 且正向x軸正方向運動，由右邊的旋轉矢量圖可得。 由此可得振動的表達式為： 。 （2）用與右圖相似的旋轉矢量圖可得a、b、c、d、e的相位分別為：，，，，。 1.7．一質點作簡諧振動，頻率為10赫，在t＝0時，此質點的位移為10cm，速度為200cm／s。.寫出此質點的（1）位移表示式；（2）速度表示式；（3）加速度表示式。 【解】（1）由初始條件t=0，x0=10cm， v0=200cm/s，得 振幅

11、為： ， 初相為： ， 位移的表達式為：。 （2）。 （3）。 【評注】用反三角函數(shù)關系式求角度時，應該把分子和分母中的“＋，－”號原封不動地保留，由此可判定所求的角度在第幾象限。 　　1.8．一質量為10g的物體作簡諧振動，其振幅為24cm，周期為4s。當t=0時，位移y＝+24cm。試求：（1）在t＝0.5s時物體的位移；（2）當t=0.5s時振動物體所受力的大小和方向；（3）由起始位置運動到y(tǒng)＝－12cm處所需的最少時間；（4）在y＝－12cm處物體的速度；（5）振動物體的總能量。 【解】（1）由已知條件得：A=24㎝， （rad/s）,。 物體振動位移表達式為：。

12、 當t=0.5s時，。 (2)受力：，力指向y軸負方向。 (3)由右邊的矢量圖可知，當t=0時，旋轉矢量與y軸正向重合，當旋轉矢量在y方向投形為-12cm時，旋轉矢量轉過的最小角度為，所以由起始位置運動到y(tǒng)=-12cm處所需最少時間為：。 (4) →。 或→ (5)振動物體的總能量 　　1.9．作簡諧振動的彈簧振子，在平衡位置和最大位移時，其速度，加速度、動能、彈簧的彈性勢能中哪幾個為零？哪幾個達到最大值？ 【答】在平衡位置處，速度、動能最大，加速度、彈性勢能為零．在最大位移處，加速度、彈性勢能最大，速度、動能為零． 自

13、然長時位置 平衡位置 平衡位置 振動位置 題1.10圖 1.10．一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧，下端懸掛一質量為M的盤．質量為m的重物從h高處落至盤中做完全非彈性碰撞，這時盤開始振動，求盤振動的表達式． 【解】由如圖示位置分析示意圖可得： 由此可知，系統(tǒng)作簡諧振動，振動的圓頻率為 設系統(tǒng)的振動表達式為。 系統(tǒng)的初始條件為：初始位移，初始速度。由此初始條件可得： ，（是第三象限的角） 系統(tǒng)的振動表達式為 【評注】由諧振子的動力學特征求解諧振子的振動，其一般方法總結如下： ①對振動系統(tǒng)進行受力分析； ②找出平衡位置

14、，列出平衡方程； ③以平衡位置為原點建立坐標系； ④令系統(tǒng)偏離平衡位置（可以是位移、角位移或其他振動的物理量），由牛頓第二定律或轉動定律列出此時的動力學關系，并利用平衡方程進行化簡； ⑤若化簡結果是與它的二階導數(shù)不成正比反向關系，則系統(tǒng)不可能作簡諧振動。若化簡結果是與它的二階導數(shù)成正比反向關系，即（是由系統(tǒng)的動力學性質決定的常數(shù)，對不同的系統(tǒng)，的內含不同。對彈簧振子，），則系統(tǒng)作簡諧振動，振動的圓頻率為； ⑥設，由系統(tǒng)的初始條件求出和。 自然長位置 平衡位置 振動位置 題1.11圖 　　1.11．一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧上端固定

15、，下端掛一質量為m的小球，平衡時彈簧伸長為b。試證明小球在平衡位置附近作簡諧振動。若振幅為A，則它的總能量為。 【證明】（1）根據(jù)受力分析畫出如圖位置示意圖。由圖可得： 所以，小球在平衡位置附近以圓頻率作簡諧振動． （2）設→ 動能： 勢能： 總能量：。 【評注】①根據(jù)勢能的定義和彈性力做功的積分式可知，若選擇彈簧伸長（壓縮）長度為時為彈性勢能的零點，則彈性勢能的表達式為；②若以平衡位置為彈性勢能和重力勢能零點，則當振動系統(tǒng)偏離平衡位置為時，總的勢能為，稱為系統(tǒng)的振動勢能。但是振動勢能卻不一定是彈性勢能，它有三種可能：①彈性勢能（如水平放置的彈簧振子）；②重力勢能（如單擺）；③彈

16、性勢能和重力勢能之和（如豎直放置的彈簧振子）。 1.12．一輕彈簧下端懸掛質量為10g的小球，當達到平衡時彈簧的伸長量為4.9cm。將小球由平衡位置向下拉開1.0cm后，給予小球向上的初速度。利用上題的結論，求小球作簡諧振動的振幅以及小球在平衡位置的速度。 【解】彈簧的彈性系數(shù)為： 結合上題，由本題題意可得，小球在振動的過程中機械能守恒： 題1.13圖 1.13．分別將勁度系數(shù)為k1和k2的兩根輕質彈簧串聯(lián)和并聯(lián)，豎直懸掛，下端系一質量為m的物體，試分別求出在串聯(lián)和并聯(lián)時系統(tǒng)的振動周期。 【解】兩個串聯(lián)或并聯(lián)的彈簧可以看作一個新彈

17、簧，只要求出這個新彈簧的等效勁度系數(shù)，就可根據(jù)5.10題的分析，直接寫出系統(tǒng)的振動周期。 （1）設兩彈簧串聯(lián)，當達到平衡時，和的伸長量分別為和，串聯(lián)彈簧的總伸長量為，顯然有：，， （２）設兩彈簧并聯(lián)，當達到平衡時，和的伸長量都為，并聯(lián)彈簧的總伸長量也為，顯然有：，， 題1.14圖 平衡位置 振動位置 1.14．質量為m=121g的水銀裝在U形管中，管截面積S=0.30cm2，若使兩邊水銀面相差2y0，然后使水銀面上下振動，求振動周期T．水銀的密度為13.6． 【解】方法一：受力分析法。 顯然U形管兩邊水銀面相平時為平衡位置。管內水銀總

18、長度為，U形管底部寬度為，則平衡時兩邊水銀面的高度為。設左邊水銀面由平衡位置向上升高，則： 對于左邊管中水銀有 對于右邊管中水銀有 對于管中底部水銀有 以上三式相加可得 → 水銀面作簡諧振動，振動的圓頻率為，周期為。 方法二：能量求導法。 水銀面作簡諧振動，振動的圓頻率為，周期為。 　　【評注】由以上可知，當振動系統(tǒng)不能作為質點處理時，用能量求導法更簡捷、明了。 題1.15圖 振動位置 平衡位置 　　1.15．某液體的密度隨深度線性地增加，液體表面的

19、密度為，深度為D處的密度為，一密度為的小球在深度為處從靜止釋放。忽略液體的阻力，試求小球的振動表達式。 【解】深度D處為小球的平衡位置，以此平衡位置為坐標原點建立如圖坐標系．設小球向上偏離平衡位置，此時 →→ →小球以圓頻率作簡諧振動。 設：→。 初始條件為，→，→小球的振動表達式為。 題1.16圖 　　1.16．如圖，兩個完全相同的圓柱狀滾輪在水平面內平行放置，各繞自身的軸按圖示方向等角速轉動，兩軸線之間的距離為。在滾輪上平放一塊重量為G的均勻木板，木板與滾輪之間的摩擦系數(shù)為。若木板重心偏離兩軸中

20、心位置一個微小的距離，試描述木板的運動。 【解】如圖所示，當板的重心位于兩輪中間時，板平衡。設板的重心向左偏移，此時兩輪對板的支撐力分別為和，由轉動平衡可得：→；→。左輪作用在板上向右的摩擦力為，右輪作用在板上向左的摩擦力為。 由此可得板在水平方向的動力學方程為→。 可見板在兩軸中心位置附近以圓頻率作簡諧振動。 題1.17圖1 1.17．Newton曾證明：一個均勻球殼，對球殼內物質的萬有引力為零，而對球殼外物質的萬有引力不為零，并且其作用相當于球殼的質量都集中在球心

21、那樣．設想沿地球直徑開鑿一條貫通地球直徑的隧道，將小球從洞口由靜止釋放，試求小球到達隧道另一洞口所用的時間．已知地球的半徑為R，質量為M，設地球的質量均勻分布． 【解】（1）先證明Newton的結論。設均勻球殼質量為、半徑為，在球殼外距球心為處放置一個質量為的質點?，F(xiàn)在推導與之間的引力勢能。在球殼上坐標為處取質量元 m與dm間勢能 沿球面積分 若質點位于球殼內，則上述積分結果為。 因為保守力等于相應勢能的負梯度：，所以質點所受到的萬有引力為 Newton的結論得以證明。 題1.17圖2 （2）由上面的推導可知，一個均勻球殼，對球殼內物

22、質的萬有引力為零，而對球殼外物質的萬有引力相當于球殼的質量都集中在球心那樣．因此，若設想沿地球直徑開鑿一條貫通地球直徑的隧道，將小球從洞口由靜止釋放，小球的平衡位置在球心，當小球偏離平衡位置時，小球受到的萬有引力為 由此可得→ 即小球以圓頻率，以地球中心為平衡點，上下作簡諧振動。 設→。 初始條件為，→，→。 q 題1.18圖 小球到達另一端口的最短時間為。 1.18．細棒被兩根長度均為L=120cm的輕繩所懸掛，棒作振幅甚小的扭轉振動，且重心保持在一鉛直線上，求系統(tǒng)的振動周期T。 【解】設細棒的質量為，長度為，扭過的小角度為。輕繩的長度為,扭過的小角度為

23、，繩中張力為。則： 細棒所受的扭轉力矩為， 細棒繞著過中心的鉛直軸的轉動慣量為， 由轉動定律可得 →→→。 1.19．某阻尼振動的振幅在一個周期后減為原來的，問此振動的周期較無阻尼存在時的周期T0大百分之幾？ 【解】阻尼振動的表達式為，其中，所以，阻尼振動的周期為。由題意可知：→ 1.20一擺在空氣中振動，某一時刻振幅A0=3cm，經(jīng)過t1=10s后，振幅變?yōu)锳1=1cm。問：由振幅為A0時起，經(jīng)過多長時間，振幅減為0.3cm？ 【解】根據(jù)，由題意可得：→；→ 1.21．沿軌道勻速行駛的火車，每經(jīng)過一接軌處便受到一次震動，從而使車廂在彈簧上上下振動，設每段鐵軌長12.5m，

24、每節(jié)車廂的重量為55噸，彈簧每受1.0噸重力將壓縮1.6mm，空氣阻力可忽略。問：火車以什么速度行駛時，彈簧的振幅最大？ 【解】，，，。 車廂和彈簧組成的振動系統(tǒng)的固有圓頻率為； 鐵軌作用于系統(tǒng)上的策動力的圓頻率為； 當策動力的圓頻率正好等于系統(tǒng)的固有圓頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振，振幅最大。即 1.22．有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合成振動的振幅為0.20m，位相與第一個振動的位相差為．已知第一個振動的振幅為0.173m，求第二個振動的振幅以及第一、第二振動之間的位相差． 題1.22圖 【解】設，，，由如圖示旋轉矢量圖可

25、得： 　　1.23．試用最簡單的方法求出下列兩組簡諧振動合成后所得的合振動． 第一組： 第二組： 【解】 （1）→→ 　?。?）→→ 1.24．三個同方向、同頻率的簡諧振動為： ；； 題1.24圖 。求（1）合振動的表達式；（2）合振動由初始位置運動到（A為合振動的振幅）所需的最短時間． 【解】（1）將、和畫在右邊的矢量圖中。由圖可知：； (2) 如圖所示，當合振幅矢量在x軸的投形為時，轉過的最小角度為，所以合振動由初始位置運動到所需的最短時間為 　　　1.25．質量為0.4kg的質點同時參與兩個互相垂直的振動：， 題1.25圖 。式中x、y以米計，t以秒計。求：（1）運動的軌道方程，并在XOY平面內將合振動的軌跡畫出；（2）質點在任一位置所受的力。 【解】（1）， 質點的運動軌道方程為：。 （2）。 【精品文檔】第 156 頁