大學(xué)物理第一章 機(jī)械振動(dòng)

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1、精品文檔，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 第四部分 振動(dòng)、波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué) 第1章 機(jī)械振動(dòng) 一．基本要求 1．掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義和特征，以及描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量：振幅、圓頻率和初相位，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷方法。 2．掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三種描述方法——解析法、曲線法以及旋轉(zhuǎn)矢量法，并能從這些描述中確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量，能用旋轉(zhuǎn)矢量法分析有關(guān)問題。 3．了解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量特點(diǎn)。 4．掌握兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，能計(jì)算合成振動(dòng)的振幅和初相位。 5．理解兩個(gè)同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，了解“拍”的定義。 6．了解受迫振動(dòng)和共振。 7．了解非線性振動(dòng)的基本概念

2、。 二．內(nèi)容提要和學(xué)習(xí)指導(dǎo) （一）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義（簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)） 1．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義：物體離開平衡位置的位移滿足　 2．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義：物體受到的合外力滿足　 （k常數(shù)） 3．用運(yùn)動(dòng)微分方程定義： 由這一定義可以推廣簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念：一個(gè)物理量（可以是力學(xué)量、電學(xué)量、磁學(xué)量等）如果滿足上述微分方程，就可稱物理量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)． （二）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量 1．振幅：物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值，其值由振動(dòng)的初始條件 （即時(shí)物體的位移和速度）決定 ； 2．頻率（圓頻率、周期）：表征物體振動(dòng)的快慢，由振動(dòng)系統(tǒng)的固有性質(zhì)決 定，三者之間的關(guān)系為

3、 ３．相位（初相位） 　?、傧辔煌陚涞孛枋鲑|(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)．振動(dòng)狀態(tài)和相位之間一一對(duì)應(yīng)，也就是說知道了任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位，就知道了這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度．關(guān)于這一點(diǎn)可從位移、速度和加速度的表達(dá)式中看出： 其中初相由初始條件決定　。 ②相位可用來比較兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào)。設(shè)有兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 則兩者間的相位差與步調(diào)的關(guān)系為 相位差 步調(diào) 步調(diào)一致（同相） 步調(diào)相反（反相） 振動(dòng)2超前振動(dòng)1 振動(dòng)2落后振動(dòng)1 （三）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法 當(dāng)采用某種方法描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，此方法必須能很好地體現(xiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量．

4、 圖1.1 1．解析法： 2．曲線法(曲線) 圖1.2 如圖1.1所示，x -t曲線的峰值表示振幅；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同的最鄰近兩點(diǎn)之間的時(shí)間間隔表示周期；t =0時(shí)，以及的正負(fù)可以確定初相位。 3．旋轉(zhuǎn)矢量法 表示方法如圖1.2所示．在旋轉(zhuǎn)矢量法中很直觀地體現(xiàn)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量：旋轉(zhuǎn)矢量的模表示振幅A；任意t時(shí)刻，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角表示t時(shí)刻的相位；旋轉(zhuǎn)角速度表示圓頻率． 注意：用旋轉(zhuǎn)矢量法能夠很方便地判斷振動(dòng)的相位，關(guān)于這一點(diǎn)將在習(xí)題解答與分析中加以說明，請(qǐng)務(wù)必掌握． （四）簡(jiǎn)諧振動(dòng)

5、的能量特征 1．振子的動(dòng)能 2．振子的勢(shì)能 3．振子的總能 結(jié)論：①振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期函數(shù)，其周期為位移周期的一半。②在振動(dòng)過程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換：動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能最小；動(dòng)能最小時(shí)，勢(shì)能最大．在整個(gè)過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒． （五）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 １．同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：，； 合振動(dòng)：（仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且與分振動(dòng)的頻率相同） 其中 ，； 相位差 合振幅 為其他值時(shí) 2．同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 合振動(dòng)： ① 合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)； ② 若，即，合振幅； 合振動(dòng)是振幅隨時(shí)間緩變的

6、準(zhǔn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)——拍振動(dòng)．拍頻為 。 3．相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 合運(yùn)動(dòng)的軌道方程：　　 合運(yùn)動(dòng)的軌道：第1、3（2、4）象限內(nèi)的直線 合運(yùn)動(dòng)的軌道：第1、3象限順（逆）時(shí)斜橢圓 合運(yùn)動(dòng)的軌道：順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)正橢圓 合運(yùn)動(dòng)的軌道：第2、4象限順（逆）時(shí)斜橢圓 三．習(xí)題解答和分析 1.1．舉出幾個(gè)振動(dòng)的例子；振動(dòng)和波在物理學(xué)中具有怎樣的地位和作用？ 【答】掛鐘擺錘的擺動(dòng)，物體發(fā)聲、與機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)相伴的機(jī)座的運(yùn)動(dòng)，地震，晶體中原子的運(yùn)動(dòng)…；交變電路中的電壓、電流，交變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度…。 振動(dòng)和波動(dòng)是自然界一種十分普遍的運(yùn)動(dòng)形式，這些振動(dòng)和波動(dòng)的

7、表現(xiàn)形式雖然不同，但具有普遍的性質(zhì)和規(guī)律，滿足相同的微分方程，可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式描述。因此，振動(dòng)和波動(dòng)在物理學(xué)中具有非常重要的地位和作用。 1.2．什么樣的運(yùn)動(dòng)叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)？為什么說研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)是研究一切復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ)？ 【答】簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)是：①；或②；或③。一切復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解為不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。所以，研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)是研究一切復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ)。 1.3．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量是什么？它們各由什么條件決定？ 【答】簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量是：①振幅，它由初始條件決定；②頻率（圓頻率，周期），它由簡(jiǎn)振系統(tǒng)的自身性質(zhì)決定；③初相位，它由初始條件決定。 　　1.4．一小球與輕彈簧組成的

8、系統(tǒng)，按的規(guī)律振動(dòng)，式中t以秒為單位。求：（1）振動(dòng)的圓頻率w 、周期T、振幅A和初位相j 0；（2）振動(dòng)的速度和加速度；（3）t=0.1s、0.2s、0.3s時(shí)刻的相位。 【解】（1）將題中所給的振動(dòng)表達(dá)式與標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)表達(dá)式比較可得： （2）； （3）→，, 或 →，,。 【評(píng)注】由振動(dòng)表達(dá)式求簡(jiǎn)諧振動(dòng)特征量的基本方法總結(jié)如下：將所給的振動(dòng)表達(dá)式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后與標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)表達(dá)式比較，直接讀出：① ；②；③→→。 1.5．有一個(gè)和輕彈簧相連的小球，沿x軸做振幅為A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，該振動(dòng)的表達(dá)式用余弦函數(shù)表示．若t=0 時(shí)，球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分別為：（1）x0=－A；（２）過平衡位置向x軸正方

9、向運(yùn)動(dòng)；（３）過處，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．試用旋轉(zhuǎn)矢量圖法分別確定相應(yīng)的初相位。 【解】由旋轉(zhuǎn)矢量圖法確定的初相位如下圖 【評(píng)注】初相位的判定有兩種方法，一種是解析法，另一種是旋轉(zhuǎn)矢量法。一般情況下，旋轉(zhuǎn)矢量法更簡(jiǎn)捷、明了。 題1.6圖 1.6．已知一個(gè)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示．（1）寫 出振動(dòng)表達(dá)式；（2）求a,b,c,d,e各狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的相位。 【解】（1）由振動(dòng)曲線可知：振幅A=5.0cm；周期T=2. 4s，則圓頻率． 判定初相位

10、： 方法一：解析法．設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為 ，由得：→。 ，由得：→ 方法二：采用旋轉(zhuǎn)矢量法．在t=0時(shí)刻，振子在x=2.5cm處， 且正向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，由右邊的旋轉(zhuǎn)矢量圖可得。 由此可得振動(dòng)的表達(dá)式為： 。 （2）用與右圖相似的旋轉(zhuǎn)矢量圖可得a、b、c、d、e的相位分別為：，，，，。 1.7．一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率為10赫，在t＝0時(shí)，此質(zhì)點(diǎn)的位移為10cm，速度為200cm／s。.寫出此質(zhì)點(diǎn)的（1）位移表示式；（2）速度表示式；（3）加速度表示式。 【解】（1）由初始條件t=0，x0=10cm， v0=200cm/s，得 振幅

11、為： ， 初相為： ， 位移的表達(dá)式為：。 （2）。 （3）。 【評(píng)注】用反三角函數(shù)關(guān)系式求角度時(shí)，應(yīng)該把分子和分母中的“＋，－”號(hào)原封不動(dòng)地保留，由此可判定所求的角度在第幾象限。 　　1.8．一質(zhì)量為10g的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為24cm，周期為4s。當(dāng)t=0時(shí)，位移y＝+24cm。試求：（1）在t＝0.5s時(shí)物體的位移；（2）當(dāng)t=0.5s時(shí)振動(dòng)物體所受力的大小和方向；（3）由起始位置運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)＝－12cm處所需的最少時(shí)間；（4）在y＝－12cm處物體的速度；（5）振動(dòng)物體的總能量。 【解】（1）由已知條件得：A=24㎝， （rad/s）,。 物體振動(dòng)位移表達(dá)式為：。

12、 當(dāng)t=0.5s時(shí)，。 (2)受力：，力指向y軸負(fù)方向。 (3)由右邊的矢量圖可知，當(dāng)t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量與y軸正向重合，當(dāng)旋轉(zhuǎn)矢量在y方向投形為-12cm時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的最小角度為，所以由起始位置運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=-12cm處所需最少時(shí)間為：。 (4) →。 或→ (5)振動(dòng)物體的總能量 　　1.9．作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子，在平衡位置和最大位移時(shí)，其速度，加速度、動(dòng)能、彈簧的彈性勢(shì)能中哪幾個(gè)為零？哪幾個(gè)達(dá)到最大值？ 【答】在平衡位置處，速度、動(dòng)能最大，加速度、彈性勢(shì)能為零．在最大位移處，加速度、彈性勢(shì)能最大，速度、動(dòng)能為零． 自

13、然長(zhǎng)時(shí)位置 平衡位置 平衡位置 振動(dòng)位置 題1.10圖 1.10．一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧，下端懸掛一質(zhì)量為M的盤．質(zhì)量為m的重物從h高處落至盤中做完全非彈性碰撞，這時(shí)盤開始振動(dòng)，求盤振動(dòng)的表達(dá)式． 【解】由如圖示位置分析示意圖可得： 由此可知，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率為 設(shè)系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式為。 系統(tǒng)的初始條件為：初始位移，初始速度。由此初始條件可得： ，（是第三象限的角） 系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式為 【評(píng)注】由諧振子的動(dòng)力學(xué)特征求解諧振子的振動(dòng)，其一般方法總結(jié)如下： ①對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析； ②找出平衡位置

14、，列出平衡方程； ③以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系； ④令系統(tǒng)偏離平衡位置（可以是位移、角位移或其他振動(dòng)的物理量），由牛頓第二定律或轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出此時(shí)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，并利用平衡方程進(jìn)行化簡(jiǎn)； ⑤若化簡(jiǎn)結(jié)果是與它的二階導(dǎo)數(shù)不成正比反向關(guān)系，則系統(tǒng)不可能作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若化簡(jiǎn)結(jié)果是與它的二階導(dǎo)數(shù)成正比反向關(guān)系，即（是由系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)決定的常數(shù)，對(duì)不同的系統(tǒng)，的內(nèi)含不同。對(duì)彈簧振子，），則系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率為； ⑥設(shè)，由系統(tǒng)的初始條件求出和。 自然長(zhǎng)位置 平衡位置 振動(dòng)位置 題1.11圖 　　1.11．一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧上端固定

15、，下端掛一質(zhì)量為m的小球，平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)為b。試證明小球在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若振幅為A，則它的總能量為。 【證明】（1）根據(jù)受力分析畫出如圖位置示意圖。由圖可得： 所以，小球在平衡位置附近以圓頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)． （2）設(shè)→ 動(dòng)能： 勢(shì)能： 總能量：。 【評(píng)注】①根據(jù)勢(shì)能的定義和彈性力做功的積分式可知，若選擇彈簧伸長(zhǎng)（壓縮）長(zhǎng)度為時(shí)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，則彈性勢(shì)能的表達(dá)式為；②若以平衡位置為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能零點(diǎn)，則當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)偏離平衡位置為時(shí)，總的勢(shì)能為，稱為系統(tǒng)的振動(dòng)勢(shì)能。但是振動(dòng)勢(shì)能卻不一定是彈性勢(shì)能，它有三種可能：①彈性勢(shì)能（如水平放置的彈簧振子）；②重力勢(shì)能（如單擺）；③彈

16、性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和（如豎直放置的彈簧振子）。 1.12．一輕彈簧下端懸掛質(zhì)量為10g的小球，當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為4.9cm。將小球由平衡位置向下拉開1.0cm后，給予小球向上的初速度。利用上題的結(jié)論，求小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅以及小球在平衡位置的速度。 【解】彈簧的彈性系數(shù)為： 結(jié)合上題，由本題題意可得，小球在振動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒： 題1.13圖 1.13．分別將勁度系數(shù)為k1和k2的兩根輕質(zhì)彈簧串聯(lián)和并聯(lián)，豎直懸掛，下端系一質(zhì)量為m的物體，試分別求出在串聯(lián)和并聯(lián)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)周期。 【解】?jī)蓚€(gè)串聯(lián)或并聯(lián)的彈簧可以看作一個(gè)新彈

17、簧，只要求出這個(gè)新彈簧的等效勁度系數(shù)，就可根據(jù)5.10題的分析，直接寫出系統(tǒng)的振動(dòng)周期。 （1）設(shè)兩彈簧串聯(lián)，當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，和的伸長(zhǎng)量分別為和，串聯(lián)彈簧的總伸長(zhǎng)量為，顯然有：，， （２）設(shè)兩彈簧并聯(lián)，當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，和的伸長(zhǎng)量都為，并聯(lián)彈簧的總伸長(zhǎng)量也為，顯然有：，， 題1.14圖 平衡位置 振動(dòng)位置 1.14．質(zhì)量為m=121g的水銀裝在U形管中，管截面積S=0.30cm2，若使兩邊水銀面相差2y0，然后使水銀面上下振動(dòng)，求振動(dòng)周期T．水銀的密度為13.6． 【解】方法一：受力分析法。 顯然U形管兩邊水銀面相平時(shí)為平衡位置。管內(nèi)水銀總

18、長(zhǎng)度為，U形管底部寬度為，則平衡時(shí)兩邊水銀面的高度為。設(shè)左邊水銀面由平衡位置向上升高，則： 對(duì)于左邊管中水銀有 對(duì)于右邊管中水銀有 對(duì)于管中底部水銀有 以上三式相加可得 → 水銀面作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率為，周期為。 方法二：能量求導(dǎo)法。 水銀面作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率為，周期為。 　　【評(píng)注】由以上可知，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)不能作為質(zhì)點(diǎn)處理時(shí)，用能量求導(dǎo)法更簡(jiǎn)捷、明了。 題1.15圖 振動(dòng)位置 平衡位置 　　1.15．某液體的密度隨深度線性地增加，液體表面的

19、密度為，深度為D處的密度為，一密度為的小球在深度為處從靜止釋放。忽略液體的阻力，試求小球的振動(dòng)表達(dá)式。 【解】深度D處為小球的平衡位置，以此平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系．設(shè)小球向上偏離平衡位置，此時(shí) →→ →小球以圓頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 設(shè)：→。 初始條件為，→，→小球的振動(dòng)表達(dá)式為。 題1.16圖 　　1.16．如圖，兩個(gè)完全相同的圓柱狀滾輪在水平面內(nèi)平行放置，各繞自身的軸按圖示方向等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩軸線之間的距離為。在滾輪上平放一塊重量為G的均勻木板，木板與滾輪之間的摩擦系數(shù)為。若木板重心偏離兩軸中

20、心位置一個(gè)微小的距離，試描述木板的運(yùn)動(dòng)。 【解】如圖所示，當(dāng)板的重心位于兩輪中間時(shí)，板平衡。設(shè)板的重心向左偏移，此時(shí)兩輪對(duì)板的支撐力分別為和，由轉(zhuǎn)動(dòng)平衡可得：→；→。左輪作用在板上向右的摩擦力為，右輪作用在板上向左的摩擦力為。 由此可得板在水平方向的動(dòng)力學(xué)方程為→。 可見板在兩軸中心位置附近以圓頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 題1.17圖1 1.17．Newton曾證明：一個(gè)均勻球殼，對(duì)球殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力為零，而對(duì)球殼外物質(zhì)的萬有引力不為零，并且其作用相當(dāng)于球殼的質(zhì)量都集中在球心

21、那樣．設(shè)想沿地球直徑開鑿一條貫通地球直徑的隧道，將小球從洞口由靜止釋放，試求小球到達(dá)隧道另一洞口所用的時(shí)間．已知地球的半徑為R，質(zhì)量為M，設(shè)地球的質(zhì)量均勻分布． 【解】（1）先證明Newton的結(jié)論。設(shè)均勻球殼質(zhì)量為、半徑為，在球殼外距球心為處放置一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)在推導(dǎo)與之間的引力勢(shì)能。在球殼上坐標(biāo)為處取質(zhì)量元 m與dm間勢(shì)能 沿球面積分 若質(zhì)點(diǎn)位于球殼內(nèi)，則上述積分結(jié)果為。 因?yàn)楸Ｊ亓Φ扔谙鄳?yīng)勢(shì)能的負(fù)梯度：，所以質(zhì)點(diǎn)所受到的萬有引力為 Newton的結(jié)論得以證明。 題1.17圖2 （2）由上面的推導(dǎo)可知，一個(gè)均勻球殼，對(duì)球殼內(nèi)物

22、質(zhì)的萬有引力為零，而對(duì)球殼外物質(zhì)的萬有引力相當(dāng)于球殼的質(zhì)量都集中在球心那樣．因此，若設(shè)想沿地球直徑開鑿一條貫通地球直徑的隧道，將小球從洞口由靜止釋放，小球的平衡位置在球心，當(dāng)小球偏離平衡位置時(shí)，小球受到的萬有引力為 由此可得→ 即小球以圓頻率，以地球中心為平衡點(diǎn)，上下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 設(shè)→。 初始條件為，→，→。 q 題1.18圖 小球到達(dá)另一端口的最短時(shí)間為。 1.18．細(xì)棒被兩根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=120cm的輕繩所懸掛，棒作振幅甚小的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，且重心保持在一鉛直線上，求系統(tǒng)的振動(dòng)周期T。 【解】設(shè)細(xì)棒的質(zhì)量為，長(zhǎng)度為，扭過的小角度為。輕繩的長(zhǎng)度為,扭過的小角度為

23、，繩中張力為。則： 細(xì)棒所受的扭轉(zhuǎn)力矩為， 細(xì)棒繞著過中心的鉛直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為， 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得 →→→。 1.19．某阻尼振動(dòng)的振幅在一個(gè)周期后減為原來的，問此振動(dòng)的周期較無阻尼存在時(shí)的周期T0大百分之幾？ 【解】阻尼振動(dòng)的表達(dá)式為，其中，所以，阻尼振動(dòng)的周期為。由題意可知：→ 1.20一擺在空氣中振動(dòng)，某一時(shí)刻振幅A0=3cm，經(jīng)過t1=10s后，振幅變?yōu)锳1=1cm。問：由振幅為A0時(shí)起，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，振幅減為0.3cm？ 【解】根據(jù)，由題意可得：→；→ 1.21．沿軌道勻速行駛的火車，每經(jīng)過一接軌處便受到一次震動(dòng)，從而使車廂在彈簧上上下振動(dòng)，設(shè)每段鐵軌長(zhǎng)12.5m，

24、每節(jié)車廂的重量為55噸，彈簧每受1.0噸重力將壓縮1.6mm，空氣阻力可忽略。問：火車以什么速度行駛時(shí)，彈簧的振幅最大？ 【解】，，，。 車廂和彈簧組成的振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率為； 鐵軌作用于系統(tǒng)上的策動(dòng)力的圓頻率為； 當(dāng)策動(dòng)力的圓頻率正好等于系統(tǒng)的固有圓頻率時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，振幅最大。即 1.22．有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為0.20m，位相與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為．已知第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173m，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二振動(dòng)之間的位相差． 題1.22圖 【解】設(shè)，，，由如圖示旋轉(zhuǎn)矢量圖可

25、得： 　　1.23．試用最簡(jiǎn)單的方法求出下列兩組簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后所得的合振動(dòng)． 第一組： 第二組： 【解】 （1）→→ 　　（2）→→ 1.24．三個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)為： ；； 題1.24圖 。求（1）合振動(dòng)的表達(dá)式；（2）合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到（A為合振動(dòng)的振幅）所需的最短時(shí)間． 【解】（1）將、和畫在右邊的矢量圖中。由圖可知：； (2) 如圖所示，當(dāng)合振幅矢量在x軸的投形為時(shí)，轉(zhuǎn)過的最小角度為，所以合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到所需的最短時(shí)間為 　　　1.25．質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)：， 題1.25圖 。式中x、y以米計(jì)，t以秒計(jì)。求：（1）運(yùn)動(dòng)的軌道方程，并在XOY平面內(nèi)將合振動(dòng)的軌跡畫出；（2）質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力。 【解】（1）， 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道方程為：。 （2）。 【精品文檔】第 156 頁