高三數(shù)學總復習 （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第二節(jié) 參數(shù)方程課件 文

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1、第二節(jié) 參 數(shù) 方 程1.1.參數(shù)方程參數(shù)方程參數(shù)方程的概念參數(shù)方程的概念一般地，在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標一般地，在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標（x,yx,y）都是某個變數(shù)）都是某個變數(shù)t t的函數(shù)的函數(shù) ，并且對于，并且對于t t取的每一個取的每一個允許值，由這個方程組所確定的點允許值，由這個方程組所確定的點P(x,yP(x,y) )都在這條曲線上，那都在這條曲線上，那么這個方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系么這個方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x,yx,y之間關系之間關系的變數(shù)的變數(shù)t t叫作叫作_，簡稱，簡稱_._.相對于參數(shù)方程，我們把直接用坐標（相

2、對于參數(shù)方程，我們把直接用坐標（x,yx,y）表示的曲線方程）表示的曲線方程f(xf(x，y)y)0 0叫作曲線的普通方程叫作曲線的普通方程. .xf(t)yg(t)參變數(shù)參變數(shù)參數(shù)參數(shù)2.2.直線、圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程直線、圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程軌跡軌跡普通方程普通方程參數(shù)方程參數(shù)方程直線直線y-yy-y0 0=tan (x-x=tan (x-x0 0) )( ( 點斜式點斜式) )x= _,x= _,y= _.y= _.（t t為參數(shù)）為參數(shù)） 圓圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2x= _,x= _,y= _.y= _.（為參數(shù)）為參數(shù)）

3、橢圓橢圓(a(ab b0)0)x= _,x= _,y= _.y= _.（為參數(shù)）為參數(shù)） 2，x x0 0+tcos +tcos y y0 0+tsin +tsin a+rcosa+rcos b+rsinb+rsin acos acos bsin bsin 2222xy1ab3 3參數(shù)方程與普通方程參數(shù)方程與普通方程普通方程與參數(shù)方程普通方程與參數(shù)方程普通方程用普通方程用_直接表示點的坐標之間的關系；參數(shù)方程直接表示點的坐標之間的關系；參數(shù)方程是借助于是借助于_間接地反映點的坐標之間的關系間接地反映點的坐標之間的關系. .代數(shù)式代數(shù)式參數(shù)參數(shù)判斷下面結論是否正確（請在括號中打判斷下面結論是否正

4、確（請在括號中打“”或或“”）. .（1 1）曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有實際意義）曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有實際意義.( ).( )（2 2）參數(shù)方程與普通方程互化后表示的曲線是一致的）參數(shù)方程與普通方程互化后表示的曲線是一致的.( ).( )（3 3）圓的參數(shù)方程中的參數(shù)）圓的參數(shù)方程中的參數(shù)與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義相同的幾何意義相同.( ).( )（4 4）普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一）普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一.( ).( )【解析【解析】（1 1）錯誤）錯誤. .曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，可以具有物理曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，

5、可以具有物理意義，可以具有幾何意義，也可以沒有明顯的實際意義意義，可以具有幾何意義，也可以沒有明顯的實際意義. .（2 2）錯誤）錯誤. .把普通方程化為參數(shù)方程后，很容易改變變量的取把普通方程化為參數(shù)方程后，很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致. .（3 3）錯誤）錯誤. .圓的參數(shù)方程中的參數(shù)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)表示半徑的旋轉角，而橢表示半徑的旋轉角，而橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)表示對應的大圓或小圓半徑的旋轉角，表示對應的大圓或小圓半徑的旋轉角，即離心角即離心角. .（4 4）正確）正確. .用參數(shù)方程解決轉

6、跡問題，若選用的參數(shù)不同，那用參數(shù)方程解決轉跡問題，若選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式就不同么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式就不同. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）考向考向 1 1 參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化【典例【典例1 1】已知參數(shù)方程：已知參數(shù)方程： (1)(1)若若t t為常數(shù)，為常數(shù)，為參數(shù)，判斷方程表示什么曲線？為參數(shù)，判斷方程表示什么曲線？(2)(2)若若為常數(shù)，為常數(shù)，t t為參數(shù)，方程表示什么曲線？為參數(shù)，方程表示什么曲線？【思路點撥【思路點撥】將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程F(x

7、,yF(x,y)=0)=0，再，再判斷曲線形狀判斷曲線形狀. .1x(t)sin t(t0)1y(t)cos t【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)當當tt1 1時，由時，由得得 由由得得它表示中心在原點，長軸長為它表示中心在原點，長軸長為 短軸長為短軸長為 焦點在焦點在x x軸上的橢圓；軸上的橢圓；當當t=t=1 1時，時，y=0y=0，x=x=2sin ,x2sin ,x2,22,2, ,它表示在它表示在x x軸上軸上2,22,2的線段的線段. .xsin 1tt ，22yxycos ()()1111tttttt ，12 tt，12 t,t(2)(2)當當 時，由時，由得得 由由得得平方相減

8、得平方相減得 即即它表示中心在原點，實軸長為它表示中心在原點，實軸長為4|sin |4|sin |，虛軸長為，虛軸長為4|cos |4|cos |，焦點在，焦點在x x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；當當=k(kZ=k(kZ) )時，時，x=0 x=0，它表示，它表示y y軸；軸；當當 時，時，y=0y=0， 由于當由于當t t0 0時，時， 當當t t0 0時，時， 于是于是|x|2.|x|2.方程方程y=0y=0（|x|2|x|2）表示）表示x x軸上以（軸上以（2 2，0 0）和（）和（2 2，0 0）為端）為端點的向左和向右的兩條射線點的向左和向右的兩條射線k(kZ)2 x1tsin t

9、，y1tcos t ，2222xy4,sincos2222xy14sin4cosk(kZ)2 1x(t).t 1t2t ；1t2t ，【拓展提升【拓展提升】將參數(shù)方程化為普通方程時消參的常用方法將參數(shù)方程化為普通方程時消參的常用方法(1)(1)代入法代入法: :先由一個方程求出參數(shù)表達式先由一個方程求出參數(shù)表達式( (用直角坐標變量表用直角坐標變量表示）示）, ,再代入另一方程再代入另一方程. .(2)(2)利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消參利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消參. .【變式訓練【變式訓練】已知橢圓方程為已知橢圓方程為 寫出參數(shù)方寫出參數(shù)方程程. .【解析【解析】即為所求參數(shù)方程即為所

10、求參數(shù)方程. .22x1y21.35x1y2cos ,sin ,35x13cos ,y25sin 設則為參數(shù)考向考向 2 2 圓的參數(shù)方程與應用圓的參數(shù)方程與應用【典例【典例2 2】已知直線的極坐標方程為已知直線的極坐標方程為 圓圓M M的參的參數(shù)方程為數(shù)方程為（1 1）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程. .（2 2）求圓）求圓M M上的點到直線的距離的最小值上的點到直線的距離的最小值. .【思路點撥【思路點撥】（1 1）利用三角函數(shù)恒等式化簡后得到直線的直）利用三角函數(shù)恒等式化簡后得到直線的直角坐標方程角坐標方程. .（2 2）利用直線與圓的位置關系以及

11、幾何性質計算最小值）利用直線與圓的位置關系以及幾何性質計算最小值. .2sin()42，x2cos ,y22sin . （其中 為參數(shù)）【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）sin +cossin +cos =1 =1，所以直線的直角坐標方程為所以直線的直角坐標方程為x+y-1=0.x+y-1=0.（2 2）圓）圓M M的普通方程為的普通方程為x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，圓心圓心M(0,-2)M(0,-2)到直線到直線x+y-1=0 x+y-1=0的距離的距離所以直線與圓相離，圓所以直線與圓相離，圓M M上的點到直線的距離的最小值為上的點到直線的距離的最小值為2sin()42

12、，22sin cos ,22 02 13 2dr222，3 22.2【拓展提升【拓展提升】直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系（1 1）設圓的半徑為）設圓的半徑為r r，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為d d，直線與圓的普，直線與圓的普通方程聯(lián)立所得的一元二次方程的根的判別式為通方程聯(lián)立所得的一元二次方程的根的判別式為，則，則（2 2）當直線與圓相離時，圓上的點到直線的距離的最大值為）當直線與圓相離時，圓上的點到直線的距離的最大值為d+rd+r，最小值為，最小值為d-rd-r. .位置位置關系幾何性質關系幾何性質判別式判別式相交相交d dr r0 0相切相切d=rd=r=0=0相離相離d

13、 dr r0 0【提醒【提醒】判斷直線與圓的位置關系有幾何法和解析法（即判別判斷直線與圓的位置關系有幾何法和解析法（即判別式法）兩種，解題時要靈活選取不同的方法式法）兩種，解題時要靈活選取不同的方法. .【變式訓練【變式訓練】已知圓的方程為已知圓的方程為x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)將它化為參數(shù)方程方程. .【解析【解析】把把x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標準方程為化為標準方程為:(x+1):(x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1.=1.參數(shù)方程為參數(shù)方程為x1cos ,.y3sin 為參數(shù)

14、考向考向 3 3 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合題極坐標方程與參數(shù)方程的綜合題【典例【典例3 3】（20122012遼寧高考）在直角坐標系遼寧高考）在直角坐標系xOyxOy中，圓中，圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=4=4，圓，圓C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.(1)(1)在以在以O O為極點，為極點，x x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓圓C C1 1,C,C2 2的極坐標方程，并求出圓的極坐標方程，并求出圓C C1 1,C,C2 2的交點坐標的交點坐標( (用極坐標表用極坐標表示示).). (2) (2)求

15、出求出C C1 1與與C C2 2的公共弦的參數(shù)方程的公共弦的參數(shù)方程. .【思路點撥【思路點撥】（1 1）由公式求得極坐標方程，再將極坐標方程）由公式求得極坐標方程，再將極坐標方程聯(lián)立方程組求交點坐標聯(lián)立方程組求交點坐標. .（2 2）將兩圓交點的極坐標化為直角坐標，再求公共弦的參數(shù)）將兩圓交點的極坐標化為直角坐標，再求公共弦的參數(shù)方程方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由公式由公式 得得x x2 2+y+y2 2=2 2，所以圓所以圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=4=4的極坐標方程為的極坐標方程為=2=2，圓圓C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+y+y2 2=4

16、=4的極坐標方程為的極坐標方程為=4cos .=4cos .解解所以圓所以圓C C1 1,C,C2 2的交點的極坐標為的交點的極坐標為(2)(2)由（由（1 1）知，圓）知，圓C C1 1,C,C2 2的交點的直角坐標為的交點的直角坐標為所以圓所以圓C C1 1,C,C2 2的公共弦的參數(shù)方程為的公共弦的參數(shù)方程為xcos ,ysin 2,2,4cos 3 得，2,2,.33()，()1, 31,3()，()，x1,(3t3).yt 【拓展提升【拓展提升】圓與圓的位置關系以及應用圓與圓的位置關系以及應用(1)(1)兩圓的位置關系以及意義（兩圓的半徑分別為兩圓的位置關系以及意義（兩圓的半徑分別為

17、R,rR,r，且，且Rr,dRr,d為圓心距）為圓心距）位置位置圖形圖形幾何性質幾何性質交點個數(shù)交點個數(shù)外離外離 dR+rdR+r0 0個個外切外切d=R-rd=R-r1 1個個位置位置圖形圖形幾何性質幾何性質交點個數(shù)交點個數(shù)相交相交R-rdR-rdR+rR+r2 2個個內(nèi)切內(nèi)切d=R-rd=R-r1 1個個內(nèi)含內(nèi)含dR-rdR-r0 0個個(2)(2)若圓若圓C C1 1與圓與圓C C2 2外離，圓心距為外離，圓心距為d,d,兩圓的半徑分別為兩圓的半徑分別為R R1 1,R,R2 2，動點動點A A在圓在圓C C1 1上，動點上，動點B B在圓在圓C C2 2上，則上，則A A，B B之間距

18、離的最小值為之間距離的最小值為d-Rd-R1 1-R-R2 2，最大值為，最大值為d+Rd+R1 1+R+R2 2. .(3)(3)若兩圓相交，則公共弦所在直線的方程可直接由兩圓的直若兩圓相交，則公共弦所在直線的方程可直接由兩圓的直角坐標方程相減得到角坐標方程相減得到. .【變式訓練【變式訓練】（1 1）（）（20122012湖南師大附中模擬）在極坐標系湖南師大附中模擬）在極坐標系中，圓中，圓C C1 1的方程為的方程為 以極點為坐標原點，極軸為以極點為坐標原點，極軸為x x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓C C2 2的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 若圓若圓C C1

19、1與圓與圓C C2 2外切，求實數(shù)外切，求實數(shù)a a的值的值. .（2 2）(2012(2012湖北高考改編湖北高考改編) )在直角坐標系在直角坐標系xOyxOy中，以原點中，以原點O O為為極點，極點，x x軸的正半軸為極軸建立極坐標系軸的正半軸為極軸建立極坐標系. . 已知射線已知射線 與與曲線曲線 相交于相交于A A，B B兩點，求線段兩點，求線段ABAB的中點的的中點的直角坐標直角坐標. .4 2cos()4 ，x1acos ,y1asin （ 為參數(shù)），4 2xt1,tyt1 （ 為參數(shù)）【解析【解析】(1)(1)圓圓C C1 1的方程的方程 化為化為 即即x x2 2+y+y2 2

20、-4x-4y=0-4x-4y=0，其圓心，其圓心C C1 1（2,22,2），半徑），半徑 圓圓C C2 2的參數(shù)方程化為普通方程為的參數(shù)方程化為普通方程為(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=a=a2 2，其圓心，其圓心C C2 2（-1,-1-1,-1），半徑），半徑r r2 2=|a|=|a|，因為兩，因為兩圓外切，所以圓外切，所以4 2cos()4 ，2224 2 (cos sin )22 ，1r2 2,12a2 2C C3 2,a2. 解得（2 2）射線）射線 在直角坐標系下的直角坐標方程為在直角坐標系下的直角坐標方程為y=xy=x(x(x0)0)，將參數(shù)方程，將

21、參數(shù)方程 轉化為直角坐標系下轉化為直角坐標系下的普通方程為的普通方程為y=(t-1)y=(t-1)2 2=(x-1-1)=(x-1-1)2 2= =（x-2x-2）2 2，表示一條拋物，表示一條拋物線，聯(lián)立上面兩個方程，消去線，聯(lián)立上面兩個方程，消去y y有有x x2 2-5x+4=0-5x+4=0，設，設A,BA,B兩點及其兩點及其中點的橫坐標分別為中點的橫坐標分別為x xA A,x,xB B,x,x0 0，則由根與系數(shù)的關系，得，則由根與系數(shù)的關系，得 又由于中點在直線又由于中點在直線y=xy=x上，因此上，因此ABAB的中點坐標的中點坐標為為4 2xt1,tyt1 （ 為參數(shù)）AB0 xx5x,225 5( , ).2 2