高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第二節(jié) 參數(shù)方程課件 文

第二節(jié) 參 數(shù) 方 程1.1.參數(shù)方程參數(shù)方程參數(shù)方程的概念參數(shù)方程的概念一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,yx,y）都是某個(gè)變數(shù)）都是某個(gè)變數(shù)t t的函數(shù)的函數(shù) ，并且對(duì)于，并且對(duì)于t t取的每一個(gè)取的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)P(x,yP(x,y) )都在這條曲線上，那都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系么這個(gè)方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x,yx,y之間關(guān)系之間關(guān)系的變數(shù)的變數(shù)t t叫作叫作_，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱_._.相對(duì)于參數(shù)方程，我們把直接用坐標(biāo)（相對(duì)于參數(shù)方程，我們把直接用坐標(biāo)（x,yx,y）表示的曲線方程）表示的曲線方程f(xf(x，y)y)0 0叫作曲線的普通方程叫作曲線的普通方程. .xf(t)yg(t)參變數(shù)參變數(shù)參數(shù)參數(shù)2.2.直線、圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程直線、圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程軌跡軌跡普通方程普通方程參數(shù)方程參數(shù)方程直線直線y-yy-y0 0=tan (x-x=tan (x-x0 0) )( ( 點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式) )x= _,x= _,y= _.y= _.（t t為參數(shù)）為參數(shù)） 圓圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2x= _,x= _,y= _.y= _.（為參數(shù)）為參數(shù)）橢圓橢圓(a(ab b0)0)x= _,x= _,y= _.y= _.（為參數(shù)）為參數(shù)） 2，x x0 0+tcos +tcos y y0 0+tsin +tsin a+rcosa+rcos b+rsinb+rsin acos acos bsin bsin 2222xy1ab3 3參數(shù)方程與普通方程參數(shù)方程與普通方程普通方程與參數(shù)方程普通方程與參數(shù)方程普通方程用普通方程用_直接表示點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；參數(shù)方程直接表示點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；參數(shù)方程是借助于是借助于_間接地反映點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系間接地反映點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系. .代數(shù)式代數(shù)式參數(shù)參數(shù)判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”）. .（1 1）曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有實(shí)際意義）曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有實(shí)際意義.( ).( )（2 2）參數(shù)方程與普通方程互化后表示的曲線是一致的）參數(shù)方程與普通方程互化后表示的曲線是一致的.( ).( )（3 3）圓的參數(shù)方程中的參數(shù)）圓的參數(shù)方程中的參數(shù)與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義相同的幾何意義相同.( ).( )（4 4）普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一）普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一.( ).( )【解析【解析】（1 1）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，可以具有物理曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，可以具有物理意義，可以具有幾何意義，也可以沒有明顯的實(shí)際意義意義，可以具有幾何意義，也可以沒有明顯的實(shí)際意義. .（2 2）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .把普通方程化為參數(shù)方程后，很容易改變變量的取把普通方程化為參數(shù)方程后，很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致. .（3 3）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .圓的參數(shù)方程中的參數(shù)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)表示半徑的旋轉(zhuǎn)角，而橢表示半徑的旋轉(zhuǎn)角，而橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)表示對(duì)應(yīng)的大圓或小圓半徑的旋轉(zhuǎn)角，表示對(duì)應(yīng)的大圓或小圓半徑的旋轉(zhuǎn)角，即離心角即離心角. .（4 4）正確）正確. .用參數(shù)方程解決轉(zhuǎn)跡問(wèn)題，若選用的參數(shù)不同，那用參數(shù)方程解決轉(zhuǎn)跡問(wèn)題，若選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式就不同么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式就不同. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）考向考向 1 1 參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化【典例【典例1 1】已知參數(shù)方程：已知參數(shù)方程： (1)(1)若若t t為常數(shù)，為常數(shù)，為參數(shù)，判斷方程表示什么曲線？為參數(shù)，判斷方程表示什么曲線？(2)(2)若若為常數(shù)，為常數(shù)，t t為參數(shù)，方程表示什么曲線？為參數(shù)，方程表示什么曲線？【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程F(x,yF(x,y)=0)=0，再，再判斷曲線形狀判斷曲線形狀. .1x(t)sin t(t0)1y(t)cos t【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)tt1 1時(shí)，由時(shí)，由得得 由由得得它表示中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為它表示中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 短軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)為 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上的橢圓；軸上的橢圓；當(dāng)當(dāng)t=t=1 1時(shí)，時(shí)，y=0y=0，x=x=2sin ,x2sin ,x2,22,2, ,它表示在它表示在x x軸上軸上2,22,2的線段的線段. .xsin 1tt ，22yxycos ()()1111tttttt ，12 tt，12 t,t(2)(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由得得 由由得得平方相減得平方相減得 即即它表示中心在原點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為它表示中心在原點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4|sin |4|sin |，虛軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為4|cos |4|cos |，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；當(dāng)當(dāng)=k(kZ=k(kZ) )時(shí)，時(shí)，x=0 x=0，它表示，它表示y y軸；軸；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，y=0y=0， 由于當(dāng)由于當(dāng)t t0 0時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)t t0 0時(shí)，時(shí)， 于是于是|x|2.|x|2.方程方程y=0y=0（|x|2|x|2）表示）表示x x軸上以（軸上以（2 2，0 0）和（）和（2 2，0 0）為端）為端點(diǎn)的向左和向右的兩條射線點(diǎn)的向左和向右的兩條射線k(kZ)2 x1tsin t ，y1tcos t ，2222xy4,sincos2222xy14sin4cosk(kZ)2 1x(t).t 1t2t ；1t2t ，【拓展提升【拓展提升】將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)消參的常用方法將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)消參的常用方法(1)(1)代入法代入法: :先由一個(gè)方程求出參數(shù)表達(dá)式先由一個(gè)方程求出參數(shù)表達(dá)式( (用直角坐標(biāo)變量表用直角坐標(biāo)變量表示）示）, ,再代入另一方程再代入另一方程. .(2)(2)利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消參利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消參. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知橢圓方程為已知橢圓方程為 寫出參數(shù)方寫出參數(shù)方程程. .【解析【解析】即為所求參數(shù)方程即為所求參數(shù)方程. .22x1y21.35x1y2cos ,sin ,35x13cos ,y25sin 設(shè)則為參數(shù)考向考向 2 2 圓的參數(shù)方程與應(yīng)用圓的參數(shù)方程與應(yīng)用【典例【典例2 2】已知直線的極坐標(biāo)方程為已知直線的極坐標(biāo)方程為 圓圓M M的參的參數(shù)方程為數(shù)方程為（1 1）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. .（2 2）求圓）求圓M M上的點(diǎn)到直線的距離的最小值上的點(diǎn)到直線的距離的最小值. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）利用三角函數(shù)恒等式化簡(jiǎn)后得到直線的直）利用三角函數(shù)恒等式化簡(jiǎn)后得到直線的直角坐標(biāo)方程角坐標(biāo)方程. .（2 2）利用直線與圓的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)計(jì)算最小值）利用直線與圓的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)計(jì)算最小值. .2sin()42，x2cos ,y22sin . （其中 為參數(shù)）【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）sin +cossin +cos =1 =1，所以直線的直角坐標(biāo)方程為所以直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0.x+y-1=0.（2 2）圓）圓M M的普通方程為的普通方程為x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，圓心圓心M(0,-2)M(0,-2)到直線到直線x+y-1=0 x+y-1=0的距離的距離所以直線與圓相離，圓所以直線與圓相離，圓M M上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為2sin()42，22sin cos ,22 02 13 2dr222，3 22.2【拓展提升【拓展提升】直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系（1 1）設(shè)圓的半徑為）設(shè)圓的半徑為r r，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為d d，直線與圓的普，直線與圓的普通方程聯(lián)立所得的一元二次方程的根的判別式為通方程聯(lián)立所得的一元二次方程的根的判別式為，則，則（2 2）當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為）當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為d+rd+r，最小值為，最小值為d-rd-r. .位置位置關(guān)系幾何性質(zhì)關(guān)系幾何性質(zhì)判別式判別式相交相交d dr r0 0相切相切d=rd=r=0=0相離相離d dr r0 0【提醒【提醒】判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾何法和解析法（即判別判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾何法和解析法（即判別式法）兩種，解題時(shí)要靈活選取不同的方法式法）兩種，解題時(shí)要靈活選取不同的方法. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知圓的方程為已知圓的方程為x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)將它化為參數(shù)方程方程. .【解析【解析】把把x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x+1):(x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1.=1.參數(shù)方程為參數(shù)方程為x1cos ,.y3sin 為參數(shù)考向考向 3 3 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合題極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合題【典例【典例3 3】（20122012遼寧高考）在直角坐標(biāo)系遼寧高考）在直角坐標(biāo)系xOyxOy中，圓中，圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=4=4，圓，圓C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.(1)(1)在以在以O(shè) O為極點(diǎn)，為極點(diǎn)，x x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓圓C C1 1,C,C2 2的極坐標(biāo)方程，并求出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓C C1 1,C,C2 2的交點(diǎn)坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)( (用極坐標(biāo)表用極坐標(biāo)表示示).). (2) (2)求出求出C C1 1與與C C2 2的公共弦的參數(shù)方程的公共弦的參數(shù)方程. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）由公式求得極坐標(biāo)方程，再將極坐標(biāo)方程）由公式求得極坐標(biāo)方程，再將極坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo). .（2 2）將兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再求公共弦的參數(shù)）將兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再求公共弦的參數(shù)方程方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由公式由公式 得得x x2 2+y+y2 2=2 2，所以圓所以圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=4=4的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為=2=2，圓圓C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+y+y2 2=4=4的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為=4cos .=4cos .解解所以圓所以圓C C1 1,C,C2 2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2)(2)由（由（1 1）知，圓）知，圓C C1 1,C,C2 2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為所以圓所以圓C C1 1,C,C2 2的公共弦的參數(shù)方程為的公共弦的參數(shù)方程為xcos ,ysin 2,2,4cos 3 得，2,2,.33()，()1, 31,3()，()，x1,(3t3).yt 【拓展提升【拓展提升】圓與圓的位置關(guān)系以及應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系以及應(yīng)用(1)(1)兩圓的位置關(guān)系以及意義（兩圓的半徑分別為兩圓的位置關(guān)系以及意義（兩圓的半徑分別為R,rR,r，且，且Rr,dRr,d為圓心距）為圓心距）位置位置圖形圖形幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)外離外離 dR+rdR+r0 0個(gè)個(gè)外切外切d=R-rd=R-r1 1個(gè)個(gè)位置位置圖形圖形幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交相交R-rdR-rdR+rR+r2 2個(gè)個(gè)內(nèi)切內(nèi)切d=R-rd=R-r1 1個(gè)個(gè)內(nèi)含內(nèi)含dR-rdR-r0 0個(gè)個(gè)(2)(2)若圓若圓C C1 1與圓與圓C C2 2外離，圓心距為外離，圓心距為d,d,兩圓的半徑分別為兩圓的半徑分別為R R1 1,R,R2 2，動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A A在圓在圓C C1 1上，動(dòng)點(diǎn)上，動(dòng)點(diǎn)B B在圓在圓C C2 2上，則上，則A A，B B之間距離的最小值為之間距離的最小值為d-Rd-R1 1-R-R2 2，最大值為，最大值為d+Rd+R1 1+R+R2 2. .(3)(3)若兩圓相交，則公共弦所在直線的方程可直接由兩圓的直若兩圓相交，則公共弦所在直線的方程可直接由兩圓的直角坐標(biāo)方程相減得到角坐標(biāo)方程相減得到. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】（1 1）（）（20122012湖南師大附中模擬）在極坐標(biāo)系湖南師大附中模擬）在極坐標(biāo)系中，圓中，圓C C1 1的方程為的方程為 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓C C2 2的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 若圓若圓C C1 1與圓與圓C C2 2外切，求實(shí)數(shù)外切，求實(shí)數(shù)a a的值的值. .（2 2）(2012(2012湖北高考改編湖北高考改編) )在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系xOyxOy中，以原點(diǎn)中，以原點(diǎn)O O為為極點(diǎn)，極點(diǎn)，x x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. . 已知射線已知射線 與與曲線曲線 相交于相交于A A，B B兩點(diǎn)，求線段兩點(diǎn)，求線段ABAB的中點(diǎn)的的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)直角坐標(biāo). .4 2cos()4 ，x1acos ,y1asin （ 為參數(shù)），4 2xt1,tyt1 （ 為參數(shù)）【解析【解析】(1)(1)圓圓C C1 1的方程的方程 化為化為 即即x x2 2+y+y2 2-4x-4y=0-4x-4y=0，其圓心，其圓心C C1 1（2,22,2），半徑），半徑 圓圓C C2 2的參數(shù)方程化為普通方程為的參數(shù)方程化為普通方程為(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=a=a2 2，其圓心，其圓心C C2 2（-1,-1-1,-1），半徑），半徑r r2 2=|a|=|a|，因?yàn)閮?，因?yàn)閮蓤A外切，所以圓外切，所以4 2cos()4 ，2224 2 (cos sin )22 ，1r2 2,12a2 2C C3 2,a2. 解得（2 2）射線）射線 在直角坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)方程為在直角坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)方程為y=xy=x(x(x0)0)，將參數(shù)方程，將參數(shù)方程 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程為的普通方程為y=(t-1)y=(t-1)2 2=(x-1-1)=(x-1-1)2 2= =（x-2x-2）2 2，表示一條拋物，表示一條拋物線，聯(lián)立上面兩個(gè)方程，消去線，聯(lián)立上面兩個(gè)方程，消去y y有有x x2 2-5x+4=0-5x+4=0，設(shè)，設(shè)A,BA,B兩點(diǎn)及其兩點(diǎn)及其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x xA A,x,xB B,x,x0 0，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又由于中點(diǎn)在直線又由于中點(diǎn)在直線y=xy=x上，因此上，因此ABAB的中點(diǎn)坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)為為4 2xt1,tyt1 （ 為參數(shù)）AB0 xx5x,225 5( , ).2 2