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1、相交22110( 2.1.)a xb ya bxy直線與圓的位置關系是2222222222222|0,0|2()1.12.abdabababdababababdab 因為圓心到直線的距離，所以又因為，故所以直線與解析：圓相交相交2222122040.2.OxyxOxyyee：和：的位置關系為222212121211245.2 152 1OxyOxyOOOO ：，：，因為，故和相交解析： eeee2 3226.4030 xyy過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為222222324|302|0,21312 212 3.yxxydd 直線方程為，圓的標準方程，圓心到直線的距離，由垂徑定理知：所為
2、析求弦長解10 xy 224.24030,1.lxyxyaaABABl直線 與圓相交于， 兩點，弦的中點為，則直線 的方程為11,221110ABk 由已知條件得圓心坐標為，圓心與弦中點連線斜率：的解析，62232.5yxxyABPABAPB已知直線與圓相交于 、 兩點， 是優(yōu)弧上任意一點，則6223.6ABAPB弦心距長為，半徑為，所以弦所對的圓心角為，又因為同弦所對的圓周角是圓心角的一半，所以解析：直線與圓相切直線與圓相切 【例1】已知圓C：(x1)2(y2)22，P點的坐標為(2，1)，過點P作圓C的切線，切點為A、B.求：(1)直線PA、PB的方程；(2)過P點的圓的切線長；(3)直線
3、AB的方程 2211(2)210.1,22|3|2,167071.715010.Pyk xkxykkkkkkkxyxy 如圖，設過 點的圓的切線方程為 ，即 因為圓心到切線的距離為，即所以 ，解得 或 所以所求的切線方程為 或 【】解析 22222222.Rt82 2.715012 93,(, )55(1)(2)210,0,1(1)(2)2330.PCCAPCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyABxy 連結，在中， ，所以過 點的圓 的切線長為由解得又由解得所以直線的方程為 V(1)過圓上一點作圓的切線只有一條；(2)過圓外一點作圓的切線必有兩條在求圓的切線方程時，會遇到切線的斜率不存在的
4、情況如過圓x2y24外一點(2,3)作圓的切線，切線方程為5x12y260或x20，此時要注意斜率不存在的切線不能漏掉；(3)本題中求直線AB的方程是通過求切點，根據(jù)兩切點A、B的坐標寫出來的事實上，過圓(xa)2(yb)2r2外一點P(x0，y0)作圓的切線，經(jīng)過兩切點的直線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.其證明思路為：設切點A(x1，y1)、B(x2，y2)，P點坐標滿足切線PA、PB的方程，從而得出過A、B兩點的直線方程 22(2)114 223MxyQxQAQBMABQAMBABMQ已知圓： ， 是 軸上的動點，、分別切圓于 ， 兩點求四邊【變式練形的面積的最小值；若，
5、求習1】直線的方程 22222111322 21133MAQBMAAQSMAQAQAMQMAMQMQABMQPMPABMBBQMP 四邊形因為， 所以 設與交于點 ，則，【】解析222Rt113.3,0295(5 0)252 5 0252 5 0.MBQMBMP MQMQMQQ xxxQMQxyxy 在中，即 ，所以 設，則 ， ，所以， 所以直線的方程為或Vg【例2】已知圓C：x2(y1)25，直線l：mxy1m0.(1)求證：對任意mR，直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B；(2)求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線直線與圓相交直線與圓相交 221(1)(1)0101,1,1
6、1011(11)151,1.20,15()010,1lxmyxxlPyyPmlCABCCrABMM xymlyABM R證明：直線 的方程化為 令得，即直線 恒過定點而 ，所以點在圓內(nèi)所以對任意，直線 與圓 總有兩個不同的交點 、圓 的圓心，半徑 設弦的中點的坐標為， 當 時，直線 ： ，則弦的中點的坐標【為解析】；2222011101111111()(1)(0)240,111()(1)24mMlxmxymmyyxMCABxmyxyxABMxy 當時，因為點在直線 上，所以 ，所以由平面幾何知識得，所以化簡得 而點也適合上式，所以弦的中點的軌跡方程為 本題考查直線與圓的位置關系和求軌跡問題第(
7、1)問還可以將直線方程代入圓的方程后用判別式的方法來解，不過現(xiàn)在的方法要簡單得多，并且此法還告訴我們這樣兩件事：一是由m的任意性，可以求出直線mxy1m0恒過定點；二是由圓內(nèi)的點作出的直線肯定與該圓有兩個交點第(2)問也可以用韋達定理來求，但現(xiàn)在用“圓心與弦的中點的連線垂直且平分弦”這一結論解題要巧妙得多 【變式練習2】已知圓(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1)y7m40(xR)(1)證明：不論m為何值，直線l必與圓C相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長取最小值時直線l的方程 221(27)(4)0.2703,4013,1(31)(12)5253,1lxymxyxyxxyyl
8、MMmlC證明：直線 的方程可化為 令得即直線 恒過定點而 ，所以點在圓內(nèi)所以不論 為何值，直線 與【解】圓析必相交 21,23,12 11,1 322.12(3)250.CMllCMCllyxxy 當圓心與點的連線與直線 垂直時，直線 被圓 截得的弦長最短因為直線的斜率為所以直線 的斜率等于由點斜式得直線 的方程為 ，即 圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系 225( 1,2)2 52xyP求與圓 外切于點，且半徑為的【例 】圓的方程22222221()(1)(2)(2 5)3,261(3)(6)20.2()311,( 1,2)()633(3)(6)20.C abababbaxyC abaOPO
9、Cabbxy 方法 ：設所求圓的圓心為， ，則解得故所求圓的方程為 方法 ：設所求圓的圓心為， 因為所以【， ，所以故所求圓的方程為 解析】 uuu ruuu r 本題的關鍵是采用待定系數(shù)法求圓心的坐標，步驟是：根據(jù)兩圓相外切的位置關系，尋找圓心滿足的條件，列出方程組求解方法2利用向量溝通兩個圓心的位置關系，既有共線關系又有長度關系，顯得更簡潔明快，值得借鑒 ( 31)33MxyxABNMxyxCDMN如圖，已知圓心坐標為，的圓與 軸及直線分別相切于 、 兩點，另一圓 與圓外切、且與 軸及直線 分別相切于 、 兩點【變式求圓和圓練習3】的方程【解析】連結OM.由于 M與BOA的兩邊均相切，故點
10、M到直線OA及直線OB的距離均為 M的半徑，則點M在BOA的角平分線上同理，點N也在BOA的角平分線上，即O，M，N三點共線，且直線OMN為BOA的角平分線 2222( 31)11(3)(1)1.RtRt2133 33(3 3)(3)9.MMxMMxyNrxCMANCOAMOCNOM ONMA NCrOCrrNxy因為點的坐標為，所以點到 軸的距離為 ，即的半徑為 ，則的方程為 設的半徑為 ，它與 軸的切點為 ，連結、由可知，即，得 ，則故的方程為 1.已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，則a的值為_. 18或822(1)11,01|5|1|5|1313188.xyaaa圓的方程可化
11、為 ，所以圓心坐標為，半徑為 ，由已知可得，所以 的值為【解或析】2.圓x2y22x2y10上的動點Q到直線 3 x 4 y 8 0 的 距 離 的 最 小 值 是_. 22222101,1|348|35312.xyxyCdQ知圓 的圓心因為圓心到直線的距離 ，所以點 到直線的距【離的最小值為 】解析22()(2)4033.0.2 3C xayalxylCa已知圓 ： 及直線 ： 當直線 被圓 截得的弦長為時，等于_2 122|23|1|23222 1.02 1.aaaaa由題意知解得 因為，所以【】解析4.已知圓C：x2y22x2y10，直線l：ykx與圓C交于P、Q兩點，點M(0，b)滿足
12、MPMQ.(1)當b1時，求k的值；(2)若k2，求b的值 22(1)(1)11,111,00,1111.xyCrxybMyMPMQPQlk圓的方程化為 ，圓心，半徑 ，它與 軸、 軸都相切，且切點分別為、當 時，點剛好是圓在 軸上的切點要滿足，必為直徑，直線 必過圓心，所以【解析】 2222561011.51 21,2( , )5 52251115611512505yxxxxxPQbbMPMQbbb 將 代入圓的方程得 ，解得 或 所以 、 兩點的坐標分別為、由，得即 ，解得 22261040015.2OxyxyPQxmyOP OQmPQ設 為坐標原點，曲線 上有兩點 、 ，滿足關于直線 對
13、稱，又滿足求 的值；求直線的方程uuu r uuu r 221(1)(3)9( 1,3)340( 1,3)1.xyPQxmym曲線方程為 表示圓心為，半徑為 的圓因為點 、 在圓上且關于直線 對稱，所以圓心 在直線上，代入【得】解析 11222224()().22(4)610.PQyxP xyQ xyPQyxbyxbxb xbb因為直線與直線 垂直，所以設，、，方程為 將直線 代入圓方程，得 222121222121212121224(4)42(61)023 223 261(4)261()4 .2006140.1(23 2 23 2)1.bbbbbbxxbxxbbyybb xxxxbOP OQ
14、x xy ybbbbyx ，得 由韋達定理得 ， 因為 ，所以 ，即 解得 ，所以所求的直線方程為 本節(jié)內(nèi)容很好地體現(xiàn)了運算、推理、數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想和方法，因而在近幾年的高考試題中出現(xiàn)的頻率相當高，主要反映在三個方面： 一是利用直線與圓相交時半徑、弦心距、弦長的一半的勾股關系，以及直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑等關系，可以求得一些相關的量，進而求得圓的方程或直線的方程； 二是通過對給出的直線和圓的方程進行分析和計算，可以判斷直線與圓、圓與圓的位置關系； 三是運用直線與圓的基礎知識和基本方法考查諸如求參數(shù)的取值范圍、求最值等一些實際問題復習備考時要注意理順關系，全面掌握，小心
15、求證，細心求解 22211.2004000drdrdrdraxbxcaybycbac 直線與圓的三種位置關系的判斷方法有兩種: 幾何法：將圓心到直線的距離 與圓的半徑 進比較：相交；相切 ；相離 代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程后得到一元二次方程 或 ，然后用判別式 判斷：相交； 相切；相離 2兩圓的位置關系由兩圓心之間的距離d與兩圓半徑r1、r2的關系來判斷：位置關系數(shù)學式子位置關系數(shù)學式子兩圓外離dr1r2兩圓內(nèi)切d|r1r2|兩圓外切dr1r2兩圓內(nèi)含d|r1r2|兩圓相交|r1r2|dr1r2 3.用坐標方法解決平面幾何問題的“三步曲”： 第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程?/p>
16、示問題中的元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題； 第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題； 第三步：把代數(shù)結果“翻譯”成幾何結論 4數(shù)形結合是解決本節(jié)內(nèi)容非常有效的方法涉及到圓上的點(x，y)的最值用數(shù)形結合；直線與圓的一部分的交點情況的判斷也是用數(shù)形結合；相交弦問題還是用數(shù)形結合 222 51230 6( )22drrdllrd直線與圓相切的問題是考得比較多的內(nèi)容，因而要重視 過圓上的點作圓的切線只有一條； 過圓外一點作圓的切線肯定有兩條，如果只求到一條，要考慮是否把斜率不存在的情況漏掉了 判斷或利用直線與圓相切時，用 比用 更簡便一些直線與圓相交時，半徑 、弦心距 、弦長的一半 的勾股關系 非常重要
高考數(shù)學一輪復習 第8章 第50講 直線與圓、圓與圓的位置關系課件 理
