高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 第50講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課件 理

相交22110( 2.1.)a xb ya bxy直線與圓的位置關(guān)系是2222222222222|0,0|2()1.12.abdabababdababababdab 因?yàn)閳A心到直線的距離，所以又因?yàn)椋仕灾本€與解析：圓相交相交2222122040.2.OxyxOxyyee：和：的位置關(guān)系為222212121211245.2 152 1OxyOxyOOOO ：，：，因?yàn)椋屎拖嘟唤馕觯?eeee2 3226.4030 xyy過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為222222324|302|0,21312 212 3.yxxydd 直線方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心到直線的距離，由垂徑定理知：所為析求弦長(zhǎng)解10 xy 224.24030,1.lxyxyaaABABl直線 與圓相交于， 兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則直線 的方程為11,221110ABk 由已知條件得圓心坐標(biāo)為，圓心與弦中點(diǎn)連線斜率：的解析，62232.5yxxyABPABAPB已知直線與圓相交于 、 兩點(diǎn)， 是優(yōu)弧上任意一點(diǎn)，則6223.6ABAPB弦心距長(zhǎng)為，半徑為，所以弦所對(duì)的圓心角為，又因?yàn)橥宜鶎?duì)的圓周角是圓心角的一半，所以解析：直線與圓相切直線與圓相切 【例1】已知圓C：(x1)2(y2)22，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B.求：(1)直線PA、PB的方程；(2)過(guò)P點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)；(3)直線AB的方程 2211(2)210.1,22|3|2,167071.715010.Pyk xkxykkkkkkkxyxy 如圖，設(shè)過(guò) 點(diǎn)的圓的切線方程為 ，即 因?yàn)閳A心到切線的距離為，即所以 ，解得 或 所以所求的切線方程為 或 【】解析 22222222.Rt82 2.715012 93,(, )55(1)(2)210,0,1(1)(2)2330.PCCAPCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyABxy 連結(jié)，在中， ，所以過(guò) 點(diǎn)的圓 的切線長(zhǎng)為由解得又由解得所以直線的方程為 V(1)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線只有一條；(2)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線必有兩條在求圓的切線方程時(shí)，會(huì)遇到切線的斜率不存在的情況如過(guò)圓x2y24外一點(diǎn)(2,3)作圓的切線，切線方程為5x12y260或x20，此時(shí)要注意斜率不存在的切線不能漏掉；(3)本題中求直線AB的方程是通過(guò)求切點(diǎn)，根據(jù)兩切點(diǎn)A、B的坐標(biāo)寫(xiě)出來(lái)的事實(shí)上，過(guò)圓(xa)2(yb)2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的切線，經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.其證明思路為：設(shè)切點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，P點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足切線PA、PB的方程，從而得出過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程 22(2)114 223MxyQxQAQBMABQAMBABMQ已知圓： ， 是 軸上的動(dòng)點(diǎn)，、分別切圓于 ， 兩點(diǎn)求四邊【變式練形的面積的最小值；若，求習(xí)1】直線的方程 22222111322 21133MAQBMAAQSMAQAQAMQMAMQMQABMQPMPABMBBQMP 四邊形因?yàn)椋?所以 設(shè)與交于點(diǎn) ，則，【】解析222Rt113.3,0295(5 0)252 5 0252 5 0.MBQMBMP MQMQMQQ xxxQMQxyxy 在中，即 ，所以 設(shè)，則 ， ，所以， 所以直線的方程為或Vg【例2】已知圓C：x2(y1)25，直線l：mxy1m0.(1)求證：對(duì)任意mR，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；(2)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明其軌跡是什么曲線直線與圓相交直線與圓相交 221(1)(1)0101,1,11011(11)151,1.20,15()010,1lxmyxxlPyyPmlCABCCrABMM xymlyABM R證明：直線 的方程化為 令得，即直線 恒過(guò)定點(diǎn)而 ，所以點(diǎn)在圓內(nèi)所以對(duì)任意，直線 與圓 總有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 、圓 的圓心，半徑 設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為， 當(dāng) 時(shí)，直線 ： ，則弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)【為解析】；2222011101111111()(1)(0)240,111()(1)24mMlxmxymmyyxMCABxmyxyxABMxy 當(dāng)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線 上，所以 ，所以由平面幾何知識(shí)得，所以化簡(jiǎn)得 而點(diǎn)也適合上式，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為 本題考查直線與圓的位置關(guān)系和求軌跡問(wèn)題第(1)問(wèn)還可以將直線方程代入圓的方程后用判別式的方法來(lái)解，不過(guò)現(xiàn)在的方法要簡(jiǎn)單得多，并且此法還告訴我們這樣兩件事：一是由m的任意性，可以求出直線mxy1m0恒過(guò)定點(diǎn)；二是由圓內(nèi)的點(diǎn)作出的直線肯定與該圓有兩個(gè)交點(diǎn)第(2)問(wèn)也可以用韋達(dá)定理來(lái)求，但現(xiàn)在用“圓心與弦的中點(diǎn)的連線垂直且平分弦”這一結(jié)論解題要巧妙得多 【變式練習(xí)2】已知圓(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1)y7m40(xR)(1)證明：不論m為何值，直線l必與圓C相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)取最小值時(shí)直線l的方程 221(27)(4)0.2703,4013,1(31)(12)5253,1lxymxyxyxxyylMMmlC證明：直線 的方程可化為 令得即直線 恒過(guò)定點(diǎn)而 ，所以點(diǎn)在圓內(nèi)所以不論 為何值，直線 與【解】圓析必相交 21,23,12 11,1 322.12(3)250.CMllCMCllyxxy 當(dāng)圓心與點(diǎn)的連線與直線 垂直時(shí)，直線 被圓 截得的弦長(zhǎng)最短因?yàn)橹本€的斜率為所以直線 的斜率等于由點(diǎn)斜式得直線 的方程為 ，即 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 225( 1,2)2 52xyP求與圓 外切于點(diǎn)，且半徑為的【例 】圓的方程22222221()(1)(2)(2 5)3,261(3)(6)20.2()311,( 1,2)()633(3)(6)20.C abababbaxyC abaOPOCabbxy 方法 ：設(shè)所求圓的圓心為， ，則解得故所求圓的方程為 方法 ：設(shè)所求圓的圓心為， 因?yàn)樗浴荆?，所以故所求圓的方程為 解析】 uuu ruuu r 本題的關(guān)鍵是采用待定系數(shù)法求圓心的坐標(biāo)，步驟是：根據(jù)兩圓相外切的位置關(guān)系，尋找圓心滿(mǎn)足的條件，列出方程組求解方法2利用向量溝通兩個(gè)圓心的位置關(guān)系，既有共線關(guān)系又有長(zhǎng)度關(guān)系，顯得更簡(jiǎn)潔明快，值得借鑒 ( 31)33MxyxABNMxyxCDMN如圖，已知圓心坐標(biāo)為，的圓與 軸及直線分別相切于 、 兩點(diǎn)，另一圓 與圓外切、且與 軸及直線 分別相切于 、 兩點(diǎn)【變式求圓和圓練習(xí)3】的方程【解析】連結(jié)OM.由于 M與BOA的兩邊均相切，故點(diǎn)M到直線OA及直線OB的距離均為 M的半徑，則點(diǎn)M在BOA的角平分線上同理，點(diǎn)N也在BOA的角平分線上，即O，M，N三點(diǎn)共線，且直線OMN為BOA的角平分線 2222( 31)11(3)(1)1.RtRt2133 33(3 3)(3)9.MMxMMxyNrxCMANCOAMOCNOM ONMA NCrOCrrNxy因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到 軸的距離為 ，即的半徑為 ，則的方程為 設(shè)的半徑為 ，它與 軸的切點(diǎn)為 ，連結(jié)、由可知，即，得 ，則故的方程為 1.已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，則a的值為_(kāi). 18或822(1)11,01|5|1|5|1313188.xyaaa圓的方程可化為 ，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為 ，由已知可得，所以 的值為【解或析】2.圓x2y22x2y10上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線 3 x 4 y 8 0 的 距 離 的 最 小 值 是_. 22222101,1|348|35312.xyxyCdQ知圓 的圓心因?yàn)閳A心到直線的距離 ，所以點(diǎn) 到直線的距【離的最小值為 】解析22()(2)4033.0.2 3C xayalxylCa已知圓 ： 及直線 ： 當(dāng)直線 被圓 截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，等于_2 122|23|1|23222 1.02 1.aaaaa由題意知解得 因?yàn)椋浴尽拷馕?.已知圓C：x2y22x2y10，直線l：ykx與圓C交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M(0，b)滿(mǎn)足MPMQ.(1)當(dāng)b1時(shí)，求k的值；(2)若k2，求b的值 22(1)(1)11,111,00,1111.xyCrxybMyMPMQPQlk圓的方程化為 ，圓心，半徑 ，它與 軸、 軸都相切，且切點(diǎn)分別為、當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)剛好是圓在 軸上的切點(diǎn)要滿(mǎn)足，必為直徑，直線 必過(guò)圓心，所以【解析】 2222561011.51 21,2( , )5 52251115611512505yxxxxxPQbbMPMQbbb 將 代入圓的方程得 ，解得 或 所以 、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、由，得即 ，解得 22261040015.2OxyxyPQxmyOP OQmPQ設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線 上有兩點(diǎn) 、 ，滿(mǎn)足關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，又滿(mǎn)足求 的值；求直線的方程uuu r uuu r 221(1)(3)9( 1,3)340( 1,3)1.xyPQxmym曲線方程為 表示圓心為，半徑為 的圓因?yàn)辄c(diǎn) 、 在圓上且關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，所以圓心 在直線上，代入【得】解析 11222224()().22(4)610.PQyxP xyQ xyPQyxbyxbxb xbb因?yàn)橹本€與直線 垂直，所以設(shè)，、，方程為 將直線 代入圓方程，得 222121222121212121224(4)42(61)023 223 261(4)261()4 .2006140.1(23 2 23 2)1.bbbbbbxxbxxbbyybb xxxxbOP OQx xy ybbbbyx ，得 由韋達(dá)定理得 ， 因?yàn)?，所以 ，即 解得 ，所以所求的直線方程為 本節(jié)內(nèi)容很好地體現(xiàn)了運(yùn)算、推理、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想和方法，因而在近幾年的高考試題中出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，主要反映在三個(gè)方面： 一是利用直線與圓相交時(shí)半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半的勾股關(guān)系，以及直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑等關(guān)系，可以求得一些相關(guān)的量，進(jìn)而求得圓的方程或直線的方程； 二是通過(guò)對(duì)給出的直線和圓的方程進(jìn)行分析和計(jì)算，可以判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系； 三是運(yùn)用直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法考查諸如求參數(shù)的取值范圍、求最值等一些實(shí)際問(wèn)題復(fù)習(xí)備考時(shí)要注意理順關(guān)系，全面掌握，小心求證，細(xì)心求解 22211.2004000drdrdrdraxbxcaybycbac 直線與圓的三種位置關(guān)系的判斷方法有兩種: 幾何法：將圓心到直線的距離 與圓的半徑 進(jìn)比較：相交；相切 ；相離 代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程后得到一元二次方程 或 ，然后用判別式 判斷：相交； 相切；相離 2兩圓的位置關(guān)系由兩圓心之間的距離d與兩圓半徑r1、r2的關(guān)系來(lái)判斷：位置關(guān)系數(shù)學(xué)式子位置關(guān)系數(shù)學(xué)式子兩圓外離dr1r2兩圓內(nèi)切d|r1r2|兩圓外切dr1r2兩圓內(nèi)含d|r1r2|兩圓相交|r1r2|dr1r2 3.用坐標(biāo)方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”： 第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題； 第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題； 第三步：把代數(shù)結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論 4數(shù)形結(jié)合是解決本節(jié)內(nèi)容非常有效的方法涉及到圓上的點(diǎn)(x，y)的最值用數(shù)形結(jié)合；直線與圓的一部分的交點(diǎn)情況的判斷也是用數(shù)形結(jié)合；相交弦問(wèn)題還是用數(shù)形結(jié)合 222 51230 6( )22drrdllrd直線與圓相切的問(wèn)題是考得比較多的內(nèi)容，因而要重視 過(guò)圓上的點(diǎn)作圓的切線只有一條； 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線肯定有兩條，如果只求到一條，要考慮是否把斜率不存在的情況漏掉了 判斷或利用直線與圓相切時(shí)，用 比用 更簡(jiǎn)便一些直線與圓相交時(shí)，半徑 、弦心距 、弦長(zhǎng)的一半 的勾股關(guān)系 非常重要