數(shù)學(xué)第四章 幾何初步與三角形 第七節(jié) 相似三角形
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1、第七節(jié)相似三角形考點(diǎn)一考點(diǎn)一 比例的有關(guān)概念與性質(zhì)比例的有關(guān)概念與性質(zhì) (5(5年年1 1考考) )例例1 1(2018(2018嘉興中考嘉興中考) )如圖,直線如圖,直線l l1 1ll2 2ll3 3,直線,直線ACAC交交l l1 1,l l2 2,l l3 3于點(diǎn)于點(diǎn)A A,B B,C C;直線;直線DFDF交交l l1 1,l l2 2,l l3 3于點(diǎn)于點(diǎn)D D,E E,F(xiàn) F,已,已知知 ,則,則 ABAC13EFDE【分析分析】 根據(jù)題意求出根據(jù)題意求出 ,根據(jù)平行線分線段成比例定理,根據(jù)平行線分線段成比例定理解答解答【自主解答自主解答】 , 2.2.ll1 1ll2 2ll3
2、 3, 2.2.故答案為故答案為2.2. BCABABAC13BCABEFDEBCAB利用平行線分線段成比例解題的易錯(cuò)點(diǎn)利用平行線分線段成比例解題的易錯(cuò)點(diǎn)利用平行線分線段成比例解題時(shí),關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中利用平行線分線段成比例解題時(shí),關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中的對(duì)應(yīng)線段,正確列出比例式求解、計(jì)算容易觸雷的地的對(duì)應(yīng)線段,正確列出比例式求解、計(jì)算容易觸雷的地方有:方有:(1)(1)比例的對(duì)應(yīng)線段找不準(zhǔn);比例的對(duì)應(yīng)線段找不準(zhǔn);(2)(2)比例的性質(zhì)掌握不比例的性質(zhì)掌握不牢,無(wú)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化牢,無(wú)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化1 1(2015(2015東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )若若 ,則,則 的值為的值為( )( )yx34x yxD
3、 D2 2(2017(2017臨沂中考臨沂中考) )如圖,已知如圖,已知ABCDABCD,ADAD與與BCBC相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)O.O.若若 ,ADAD1010,則,則AOAO BOOC234 4 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 相似三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年5 5考考) )命題角度命題角度與四邊形有關(guān)的綜合性選擇題與四邊形有關(guān)的綜合性選擇題例例2 2 (2017(2017東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖,在正方形如圖,在正方形ABCDABCD中,中,BPCBPC是等是等邊三角形,邊三角形,BPBP,CPCP的延長(zhǎng)線分別交的延長(zhǎng)線分別交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)E E,F(xiàn) F,連接,連接BDBD,DP
4、DP,BDBD與與CFCF相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)H.H.給出下列結(jié)論:給出下列結(jié)論:BEBE2AE2AE;DFPDFPBPHBPH;PFDPFDPDBPDB;DPDP2 2PHPHPC.PC.其中正確的是其中正確的是( )( )A A B B C C D D【分析分析】 由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)與判定,逐由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)與判定,逐一判定每個(gè)結(jié)論一判定每個(gè)結(jié)論【自主解答自主解答】 BPCBPC是等邊三角形,是等邊三角形,BPBPPCPCBCBC,PBCPBCPCBPCBBPCBPC6060. .在正方形在正方形ABCDABCD中,中,ABABBCBCCDCD,A AADCADC
5、BCDBCD9090,ABEABEDCFDCF3030,BEBE2AE2AE,故正確;,故正確;PCPCCDCD,PCDPCD3030,PDCPDC7575,F(xiàn)DPFDP1515. .DBADBA4545,PBDPBD1515,F(xiàn)DPFDPPBD.PBD.DFPDFPBPCBPC6060,DFPDFPBPHBPH,故正確;,故正確;FDPFDPPBDPBD1515,ADBADB4545,PDBPDB3030,而,而DFPDFP6060,PFDPDBPFDPDB,PFDPFD與與PDBPDB不相似,故錯(cuò)誤;不相似,故錯(cuò)誤;PDHPDHPCDPCD3030,DPHDPHDPCDPC,DPHDPHC
6、PDCPD, ,DPDP2 2PHPHPCPC,故正確故選,故正確故選C.C.DPPCPHDP3 3(2016(2016東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖,在矩形如圖,在矩形ABCDABCD中,中,E E是是ADAD邊的中邊的中點(diǎn),點(diǎn),BEACBEAC,垂足為點(diǎn),垂足為點(diǎn)F F,連接,連接DFDF,分析下列四個(gè)結(jié)論:,分析下列四個(gè)結(jié)論:AEFAEFCABCAB;CFCF2AF2AF;DFDFDCDC;tanCADtanCAD . .其中正確的結(jié)論有其中正確的結(jié)論有( )( )A A4 4個(gè)個(gè) B B3 3個(gè)個(gè)C C2 2個(gè)個(gè) D D1 1個(gè)個(gè)2B B4 4(2014(2014東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖
7、,四邊形如圖,四邊形ABCDABCD為菱形,為菱形,ABABBDBD,點(diǎn)點(diǎn)B B,C C,D D,G G四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓O O上,連接上,連接BGBG并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)F F,連接,連接DGDG并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E,BDBD與與CGCG交于點(diǎn)交于點(diǎn)H H,連,連接接FHFH,下列結(jié)論:,下列結(jié)論:AEAEDFDF;FHABFHAB;DGHDGHBGEBGE;當(dāng)當(dāng)CGCG為為O O的直徑時(shí),的直徑時(shí),DFDFAF.AF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )( )A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4D D命題角度命題角度相似三角
8、形的綜合相似三角形的綜合例例3 3 (2017(2017東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖,在等腰三角形如圖,在等腰三角形ABCABC中,中,BACBAC120120,ABABACAC2 2,點(diǎn),點(diǎn)D D是是BCBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)( (不與不與B B,C C重重合合) ),在,在ACAC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E E,使,使ADEADE3030. .(1)(1)求證:求證:ABDABDDCEDCE;(2)(2)設(shè)設(shè)BDBDx x,AEAEy y,求,求y y關(guān)于關(guān)于x x的函的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x x的取值范圍;的取值范圍;(3)(3)當(dāng)當(dāng)ADEADE是等腰三角形時(shí),求是
9、等腰三角形時(shí),求AEAE的長(zhǎng)的長(zhǎng)【分析分析】 (1) (1)根據(jù)兩角相等證明三角形相似;根據(jù)兩角相等證明三角形相似;(2)(2)容易求得容易求得BCBC的長(zhǎng),根據(jù)的長(zhǎng),根據(jù)(1)(1)中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式,并確中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式,并確定取值范圍;定取值范圍;(3)(3)分三種情況進(jìn)行討論分三種情況進(jìn)行討論【自主解答自主解答】 (1)(1)在等腰在等腰ABCABC中,中,BACBAC120120,ABDABDACBACB3030,ABDABDADE.ADE.ADCADCADEADEEDCEDCABDABDDABDAB,EDCEDCDABDAB,ABDABDDCE.DCE.(
10、2)AB(2)ABACAC2 2,BACBAC120120,BCBC2 2 ,則,則DCDC2 2 x x,ECEC2 2y.y.ABDABDDCEDCE,化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得y y33(3)(3)當(dāng)當(dāng)ADADDEDE時(shí),時(shí),由由(1)(1)可知,此時(shí)可知,此時(shí)ABDABDDCEDCE,則則ABABCDCD,即,即2 22 2 x x,x x2 2 2 2,代入,代入y y x x2 2 x x2 2,解得解得y y4 42 2 ,即,即AEAE4 42 .2 .3123333當(dāng)當(dāng)AEAEEDED時(shí),時(shí),EADEADEDAEDA3030,AEDAED120120,DECDEC6060,EDCEDC90
11、90,則則EDED ECEC,即,即y y (2(2y)y),解得解得y y ,即,即AEAE . .12122323當(dāng)當(dāng)ADADAEAE時(shí),時(shí),AEDAEDEDAEDA3030,EADEAD120120,此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)D D與點(diǎn)與點(diǎn)B B重合,與題目不符,此情況不存在重合,與題目不符,此情況不存在綜上,當(dāng)綜上,當(dāng)ADEADE是等腰三角形時(shí),是等腰三角形時(shí),AEAE4 42 2 或或 . .3235 5(2015(2015東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖,在如圖,在RtRtABCABC中,中,ABCABC9090,ABABBC.BC.點(diǎn)點(diǎn)D D是線段是線段ABAB上的一點(diǎn),連接上的一點(diǎn),連接CD.CD
12、.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B B作作BGCDBGCD,分別交分別交CDCD,CACA于點(diǎn)于點(diǎn)E E,F(xiàn) F,與過(guò)點(diǎn),與過(guò)點(diǎn)A A且垂直于且垂直于ABAB的直線相交于的直線相交于點(diǎn)點(diǎn)G G,連接,連接DF.DF.給出以下四個(gè)結(jié)論:給出以下四個(gè)結(jié)論: ;若點(diǎn);若點(diǎn)D D是是ABAB的中點(diǎn),則的中點(diǎn),則AFAF ABAB;當(dāng);當(dāng)B B,C C,F(xiàn) F,D D四點(diǎn)在同一個(gè)圓四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí),上時(shí),DFDFDBDB;若;若 ,則,則S SABCABC9S9SBDFBDF,其中正確,其中正確的結(jié)論序號(hào)是的結(jié)論序號(hào)是( )( )AGABAFFC23DBAD12A A B B C C D D6 6(2018(2018東營(yíng)中
13、考東營(yíng)中考)(1)(1)某學(xué)校某學(xué)?!爸腔鄯綀@智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目:一個(gè)題目:如圖如圖1 1,在,在ABCABC中,點(diǎn)中,點(diǎn)O O在線段在線段BCBC上,上,BAOBAO3030,OACOAC7575,AOAO3 3 ,BOCOBOCO1313,求,求ABAB的長(zhǎng)的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn),過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn),過(guò)點(diǎn)B B作作BDACBDAC,交,交AOAO的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)點(diǎn)D D,通過(guò)構(gòu)造,通過(guò)構(gòu)造ABDABD就可以解決問(wèn)題就可以解決問(wèn)題( (如圖如圖2)2)請(qǐng)回答:請(qǐng)回答:ADBADB ,ABAB 3(2)(2)請(qǐng)參考以上解題思路,解決問(wèn)題:請(qǐng)參考以上
14、解題思路,解決問(wèn)題:如圖如圖3 3,在四邊形,在四邊形ABCDABCD中,對(duì)角線中,對(duì)角線ACAC與與BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O,ACACADAD,AOAO3 3 ,ABCABCACBACB7575,BOODBOOD1313,求,求DCDC的長(zhǎng)的長(zhǎng)3解:解:(1)75(1)754 4提示:提示:BDACBDAC,ADBADBOACOAC7575,BODBODCOACOA,DOAODOAOBOCOBOCO,DO3 DO3 1313,DODO ,ADAD4 .4 .ABDABD180180BACBAC180180303075757575,ADBADBABDABD,ABABADAD4 .4 .3
15、3333(2)(2)如圖,過(guò)點(diǎn)如圖,過(guò)點(diǎn)B B作作BEADBEAD,交,交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E E,作,作BCFBCFCBFCBF,CFCF交交BEBE于點(diǎn)于點(diǎn)F.F.類(lèi)比類(lèi)比(1)(1)小題,由小題,由BOEBOEDOADOA,可得,可得OEOE ,AEAE4 .4 .ABCABCACBACB7575,BAEBAE3030,BEBEAEAEtanBAEtanBAE4 4 tan 30tan 304.4.BOEBOEDOADOA,BEADBEADBODOBODO,3334AD4AD1313,ADAD12.12.CBFCBFABCABCABEABE757560601515,BCFBCFCBFCBF
16、1515,CFECFEBCFBCFCBFCBF3030,CECE CFCF BF.BF.1212設(shè)設(shè)CECEx x,在,在RtRtCEFCEF中,由勾股定理得中,由勾股定理得x x2 2(4(42x)2x)2 2(2x)(2x)2 2,解得解得x x1 18 84 (4 (舍去舍去) ),x x2 28 84 4 ,ACACAEAECECE4 4 8 84 4 8 8,DCDC3333考點(diǎn)三考點(diǎn)三 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用 (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018臨沂中考臨沂中考) )如圖,利用標(biāo)桿如圖,利用標(biāo)桿BEBE測(cè)量建筑物的高測(cè)量建筑物的高度已知標(biāo)桿度已知標(biāo)桿
17、BEBE高高1.2 m1.2 m,測(cè)得,測(cè)得ABAB1.6 m1.6 m,BCBC12.4 m12.4 m則建筑物則建筑物CDCD的高是的高是( )( )A A9.3 m B9.3 m B10.5 m10.5 mC C12.4 m D12.4 m D14 m14 m【分析分析】 先證明先證明ABEABEACDACD,再利用相似三角形的性質(zhì),再利用相似三角形的性質(zhì)及比例性質(zhì)求出及比例性質(zhì)求出CDCD即可即可【自主解答自主解答】由題意知由題意知BECDBECD,ABEABEACDACD,解得解得CDCD10.5m.10.5m.故選故選B.B.7 7如圖,網(wǎng)高為如圖,網(wǎng)高為0.80.8米,擊球點(diǎn)到網(wǎng)
18、的水平距離為米,擊球點(diǎn)到網(wǎng)的水平距離為3 3米,小米,小明在打網(wǎng)球時(shí),要使球恰好能打過(guò)網(wǎng),且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)明在打網(wǎng)球時(shí),要使球恰好能打過(guò)網(wǎng),且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)4 4米的位置上,則球拍擊球的高度米的位置上,則球拍擊球的高度h h為為_(kāi)米米 1.4 1.4 8 8(2018(2018泰安中考泰安中考) )九章算術(shù)九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在的著作,在“勾股勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題:章中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有邑方二今有邑方二百步,各中開(kāi)門(mén),出東門(mén)十五步有木,問(wèn):出南門(mén)幾步而百步,各中開(kāi)門(mén),出東門(mén)十五步有木,問(wèn):出南門(mén)幾步而見(jiàn)木?見(jiàn)木?”用今天的話說(shuō),大意是:如圖,用今天的話說(shuō),大意是:如圖,DEFGDEFG是一座邊長(zhǎng)為是一座邊長(zhǎng)為200200步步(“(“步步”是古代的長(zhǎng)度單位是古代的長(zhǎng)度單位) )的正方形小城,東門(mén)的正方形小城,東門(mén)H H位于位于GDGD的中點(diǎn),南門(mén)的中點(diǎn),南門(mén)K K位于位于EDED的中點(diǎn),出東門(mén)的中點(diǎn),出東門(mén)1515步步的的A A處有一樹(shù)木,求出南門(mén)多少步恰好看到處有一樹(shù)木,求出南門(mén)多少步恰好看到位于位于A A處的樹(shù)木處的樹(shù)木( (即點(diǎn)即點(diǎn)D D在直線在直線ACAC上上) )?請(qǐng)你?請(qǐng)你計(jì)算計(jì)算KCKC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 步步20003
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