數(shù)學(xué)第四章 幾何初步與三角形 第七節(jié) 相似三角形

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1、第七節(jié)相似三角形考點(diǎn)一考點(diǎn)一 比例的有關(guān)概念與性質(zhì)比例的有關(guān)概念與性質(zhì) (5(5年年1 1考考) )例例1 1(2018(2018嘉興中考嘉興中考) )如圖，直線如圖，直線l l1 1ll2 2ll3 3，直線，直線ACAC交交l l1 1，l l2 2，l l3 3于點(diǎn)于點(diǎn)A A，B B，C C；直線；直線DFDF交交l l1 1，l l2 2，l l3 3于點(diǎn)于點(diǎn)D D，E E，F(xiàn) F，已，已知知 ，則，則 ABAC13EFDE【分析分析】 根據(jù)題意求出根據(jù)題意求出 ，根據(jù)平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理解答解答【自主解答自主解答】 ， 2.2.ll1 1ll2 2ll3

2、 3， 2.2.故答案為故答案為2.2. BCABABAC13BCABEFDEBCAB利用平行線分線段成比例解題的易錯(cuò)點(diǎn)利用平行線分線段成比例解題的易錯(cuò)點(diǎn)利用平行線分線段成比例解題時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中利用平行線分線段成比例解題時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中的對(duì)應(yīng)線段，正確列出比例式求解、計(jì)算容易觸雷的地的對(duì)應(yīng)線段，正確列出比例式求解、計(jì)算容易觸雷的地方有：方有：(1)(1)比例的對(duì)應(yīng)線段找不準(zhǔn)；比例的對(duì)應(yīng)線段找不準(zhǔn)；(2)(2)比例的性質(zhì)掌握不比例的性質(zhì)掌握不牢，無法進(jìn)行轉(zhuǎn)化牢，無法進(jìn)行轉(zhuǎn)化1 1(2015(2015東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )若若 ，則，則 的值為的值為( )( )yx34x yxD

3、 D2 2(2017(2017臨沂中考臨沂中考) )如圖，已知如圖，已知ABCDABCD，ADAD與與BCBC相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)O.O.若若 ，ADAD1010，則，則AOAO BOOC234 4 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 相似三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年5 5考考) )命題角度命題角度與四邊形有關(guān)的綜合性選擇題與四邊形有關(guān)的綜合性選擇題例例2 2 (2017(2017東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖，在正方形如圖，在正方形ABCDABCD中，中，BPCBPC是等是等邊三角形，邊三角形，BPBP，CPCP的延長(zhǎng)線分別交的延長(zhǎng)線分別交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)E E，F(xiàn) F，連接，連接BDBD，DP

4、DP，BDBD與與CFCF相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)H.H.給出下列結(jié)論：給出下列結(jié)論：BEBE2AE2AE；DFPDFPBPHBPH；PFDPFDPDBPDB；DPDP2 2PHPHPC.PC.其中正確的是其中正確的是( )( )A A B B C C D D【分析分析】 由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)與判定，逐由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)與判定，逐一判定每個(gè)結(jié)論一判定每個(gè)結(jié)論【自主解答自主解答】 BPCBPC是等邊三角形，是等邊三角形，BPBPPCPCBCBC，PBCPBCPCBPCBBPCBPC6060. .在正方形在正方形ABCDABCD中，中，ABABBCBCCDCD，A AADCADC

5、BCDBCD9090，ABEABEDCFDCF3030，BEBE2AE2AE，故正確；，故正確；PCPCCDCD，PCDPCD3030，PDCPDC7575，F(xiàn)DPFDP1515. .DBADBA4545，PBDPBD1515，F(xiàn)DPFDPPBD.PBD.DFPDFPBPCBPC6060，DFPDFPBPHBPH，故正確；，故正確；FDPFDPPBDPBD1515，ADBADB4545，PDBPDB3030，而，而DFPDFP6060，PFDPDBPFDPDB，PFDPFD與與PDBPDB不相似，故錯(cuò)誤；不相似，故錯(cuò)誤；PDHPDHPCDPCD3030，DPHDPHDPCDPC，DPHDPHC

6、PDCPD， ，DPDP2 2PHPHPCPC，故正確故選，故正確故選C.C.DPPCPHDP3 3(2016(2016東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，E E是是ADAD邊的中邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，BEACBEAC，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)F F，連接，連接DFDF，分析下列四個(gè)結(jié)論：，分析下列四個(gè)結(jié)論：AEFAEFCABCAB；CFCF2AF2AF；DFDFDCDC；tanCADtanCAD . .其中正確的結(jié)論有其中正確的結(jié)論有( )( )A A4 4個(gè)個(gè) B B3 3個(gè)個(gè)C C2 2個(gè)個(gè) D D1 1個(gè)個(gè)2B B4 4(2014(2014東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖

7、，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為菱形，為菱形，ABABBDBD，點(diǎn)點(diǎn)B B，C C，D D，G G四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓O O上，連接上，連接BGBG并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)F F，連接，連接DGDG并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E，BDBD與與CGCG交于點(diǎn)交于點(diǎn)H H，連，連接接FHFH，下列結(jié)論：，下列結(jié)論：AEAEDFDF；FHABFHAB；DGHDGHBGEBGE；當(dāng)當(dāng)CGCG為為O O的直徑時(shí)，的直徑時(shí)，DFDFAF.AF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )( )A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4D D命題角度命題角度相似三角

8、形的綜合相似三角形的綜合例例3 3 (2017(2017東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABCABC中，中，BACBAC120120，ABABACAC2 2，點(diǎn)，點(diǎn)D D是是BCBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)( (不與不與B B，C C重重合合) )，在，在ACAC上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E E，使，使ADEADE3030. .(1)(1)求證：求證：ABDABDDCEDCE；(2)(2)設(shè)設(shè)BDBDx x，AEAEy y，求，求y y關(guān)于關(guān)于x x的函的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x x的取值范圍；的取值范圍；(3)(3)當(dāng)當(dāng)ADEADE是等腰三角形時(shí)，求是

9、等腰三角形時(shí)，求AEAE的長(zhǎng)的長(zhǎng)【分析分析】 (1) (1)根據(jù)兩角相等證明三角形相似；根據(jù)兩角相等證明三角形相似；(2)(2)容易求得容易求得BCBC的長(zhǎng)，根據(jù)的長(zhǎng)，根據(jù)(1)(1)中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確定取值范圍；定取值范圍；(3)(3)分三種情況進(jìn)行討論分三種情況進(jìn)行討論【自主解答自主解答】 (1)(1)在等腰在等腰ABCABC中，中，BACBAC120120，ABDABDACBACB3030，ABDABDADE.ADE.ADCADCADEADEEDCEDCABDABDDABDAB，EDCEDCDABDAB，ABDABDDCE.DCE.(

10、2)AB(2)ABACAC2 2，BACBAC120120，BCBC2 2 ，則，則DCDC2 2 x x，ECEC2 2y.y.ABDABDDCEDCE，化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得y y33(3)(3)當(dāng)當(dāng)ADADDEDE時(shí)，時(shí)，由由(1)(1)可知，此時(shí)可知，此時(shí)ABDABDDCEDCE，則則ABABCDCD，即，即2 22 2 x x，x x2 2 2 2，代入，代入y y x x2 2 x x2 2，解得解得y y4 42 2 ，即，即AEAE4 42 .2 .3123333當(dāng)當(dāng)AEAEEDED時(shí)，時(shí)，EADEADEDAEDA3030，AEDAED120120，DECDEC6060，EDCEDC90

11、90，則則EDED ECEC，即，即y y (2(2y)y)，解得解得y y ，即，即AEAE . .12122323當(dāng)當(dāng)ADADAEAE時(shí)，時(shí)，AEDAEDEDAEDA3030，EADEAD120120，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)D D與點(diǎn)與點(diǎn)B B重合，與題目不符，此情況不存在重合，與題目不符，此情況不存在綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)ADEADE是等腰三角形時(shí)，是等腰三角形時(shí)，AEAE4 42 2 或或 . .3235 5(2015(2015東營(yíng)中考東營(yíng)中考) )如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，ABCABC9090，ABABBC.BC.點(diǎn)點(diǎn)D D是線段是線段ABAB上的一點(diǎn)，連接上的一點(diǎn)，連接CD.CD

12、.過點(diǎn)過點(diǎn)B B作作BGCDBGCD，分別交分別交CDCD，CACA于點(diǎn)于點(diǎn)E E，F(xiàn) F，與過點(diǎn)，與過點(diǎn)A A且垂直于且垂直于ABAB的直線相交于的直線相交于點(diǎn)點(diǎn)G G，連接，連接DF.DF.給出以下四個(gè)結(jié)論：給出以下四個(gè)結(jié)論： ；若點(diǎn)；若點(diǎn)D D是是ABAB的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則AFAF ABAB；當(dāng)；當(dāng)B B，C C，F(xiàn) F，D D四點(diǎn)在同一個(gè)圓四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，上時(shí)，DFDFDBDB；若；若 ，則，則S SABCABC9S9SBDFBDF，其中正確，其中正確的結(jié)論序號(hào)是的結(jié)論序號(hào)是( )( )AGABAFFC23DBAD12A A B B C C D D6 6(2018(2018東營(yíng)中

13、考東營(yíng)中考)(1)(1)某學(xué)校某學(xué)校“智慧方園智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：一個(gè)題目：如圖如圖1 1，在，在ABCABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)O O在線段在線段BCBC上，上，BAOBAO3030，OACOAC7575，AOAO3 3 ，BOCOBOCO1313，求，求ABAB的長(zhǎng)的長(zhǎng)經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B B作作BDACBDAC，交，交AOAO的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)點(diǎn)D D，通過構(gòu)造，通過構(gòu)造ABDABD就可以解決問題就可以解決問題( (如圖如圖2)2)請(qǐng)回答：請(qǐng)回答：ADBADB ，ABAB 3(2)(2)請(qǐng)參考以上解題思路，解決問題：請(qǐng)參考以上

14、解題思路，解決問題：如圖如圖3 3，在四邊形，在四邊形ABCDABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線ACAC與與BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，ACACADAD，AOAO3 3 ，ABCABCACBACB7575，BOODBOOD1313，求，求DCDC的長(zhǎng)的長(zhǎng)3解：解：(1)75(1)754 4提示：提示：BDACBDAC，ADBADBOACOAC7575，BODBODCOACOA，DOAODOAOBOCOBOCO，DO3 DO3 1313，DODO ，ADAD4 .4 .ABDABD180180BACBAC180180303075757575，ADBADBABDABD，ABABADAD4 .4 .3

15、3333(2)(2)如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)B B作作BEADBEAD，交，交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E E，作，作BCFBCFCBFCBF，CFCF交交BEBE于點(diǎn)于點(diǎn)F.F.類比類比(1)(1)小題，由小題，由BOEBOEDOADOA，可得，可得OEOE ，AEAE4 .4 .ABCABCACBACB7575，BAEBAE3030，BEBEAEAEtanBAEtanBAE4 4 tan 30tan 304.4.BOEBOEDOADOA，BEADBEADBODOBODO，3334AD4AD1313，ADAD12.12.CBFCBFABCABCABEABE757560601515，BCFBCFCBFCBF

16、1515，CFECFEBCFBCFCBFCBF3030，CECE CFCF BF.BF.1212設(shè)設(shè)CECEx x，在，在RtRtCEFCEF中，由勾股定理得中，由勾股定理得x x2 2(4(42x)2x)2 2(2x)(2x)2 2，解得解得x x1 18 84 (4 (舍去舍去) )，x x2 28 84 4 ，ACACAEAECECE4 4 8 84 4 8 8，DCDC3333考點(diǎn)三考點(diǎn)三 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用 (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018臨沂中考臨沂中考) )如圖，利用標(biāo)桿如圖，利用標(biāo)桿BEBE測(cè)量建筑物的高測(cè)量建筑物的高度已知標(biāo)桿度已知標(biāo)桿

17、BEBE高高1.2 m1.2 m，測(cè)得，測(cè)得ABAB1.6 m1.6 m，BCBC12.4 m12.4 m則建筑物則建筑物CDCD的高是的高是( )( )A A9.3 m B9.3 m B10.5 m10.5 mC C12.4 m D12.4 m D14 m14 m【分析分析】 先證明先證明ABEABEACDACD，再利用相似三角形的性質(zhì)，再利用相似三角形的性質(zhì)及比例性質(zhì)求出及比例性質(zhì)求出CDCD即可即可【自主解答自主解答】由題意知由題意知BECDBECD，ABEABEACDACD，解得解得CDCD10.5m.10.5m.故選故選B.B.7 7如圖，網(wǎng)高為如圖，網(wǎng)高為0.80.8米，擊球點(diǎn)到網(wǎng)

18、的水平距離為米，擊球點(diǎn)到網(wǎng)的水平距離為3 3米，小米，小明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)4 4米的位置上，則球拍擊球的高度米的位置上，則球拍擊球的高度h h為為_米米 1.4 1.4 8 8(2018(2018泰安中考泰安中考) )九章算術(shù)九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在的著作，在“勾股勾股”章中有這樣一個(gè)問題：章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方二今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？見木？”用今天的話說，大意是：如圖，用今天的話說，大意是：如圖，DEFGDEFG是一座邊長(zhǎng)為是一座邊長(zhǎng)為200200步步(“(“步步”是古代的長(zhǎng)度單位是古代的長(zhǎng)度單位) )的正方形小城，東門的正方形小城，東門H H位于位于GDGD的中點(diǎn)，南門的中點(diǎn)，南門K K位于位于EDED的中點(diǎn)，出東門的中點(diǎn)，出東門1515步步的的A A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于位于A A處的樹木處的樹木( (即點(diǎn)即點(diǎn)D D在直線在直線ACAC上上) )？請(qǐng)你？請(qǐng)你計(jì)算計(jì)算KCKC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 步步20003