解三角形應用舉例》 教案

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1、 個性化教案 第八節(jié)　解三角形應用舉例 適用學科 數(shù)學 適用年級 高一 適用區(qū)域 新課標 課時時長（分鐘） 60 知 識 點 長度、高度問題 方向、角度問題 方案設計問題 教學目標 　　能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. 教學重點 運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決實際問題的能力 教學難點 運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決實際問題的能力 教學過程 一、復習預習 教師引導學生復習上節(jié)內(nèi)容，并引入本節(jié)課程內(nèi)容 二、知識講解 考點1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題

2、、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．  考點2 實際應用中的常用術語 術語名稱 術語意義 圖形表示 仰角與俯角 在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角 方位角 從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角．方位角的范圍是(0°，360°) 方向角 正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)××度 例：(1)北偏東m°： (2)南偏西n°： 坡角 坡面與水平面的夾角 設坡角為α，坡度為i，則i＝＝tan α

3、 坡度 坡面的垂直高度h和水平寬度l的比  三、例題精析 【例題1】 【題干】隔河看兩目標A與B，但不能到達，在岸邊選取相距 km的C、D兩點，同時，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標A、B之間的距離． 【解析】如圖，在△ACD中，∠ACD＝120°， ∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝. 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋

4、BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ km， 所以A，B兩目標之間的距離為 km.  【例題2】 【題干】某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高． 【解析】如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD＝40，此時∠DBF＝45°.過點B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝30°. 在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30°，∠DBC＝135°， 由正弦定理，得＝， 則BD＝＝20. ∠BDE＝180

5、°－135°－30°＝15°. 在Rt△BED中， BE＝DB sin 15°＝20×＝10(－1)． 在Rt△ABE中，∠AEB＝30°， 則AB＝BEtan 30°＝(3－)． 故塔高為(3－) m.  【例題3】 【題干】如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間． 【解析】設緝私船應沿CD

6、方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10 t海里，BD＝10 t海里， 在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.解得BC＝. 又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小時≈15分鐘．

7、∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．  【例題4】 【題干】(2013·廣州模擬)在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A的北偏東45°且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A的北偏東(45°＋θ)(其中sin θ＝，0°＜θ＜90°)且與點A相距10海里的位置C. (1)求該船的行駛速度(單位：海里/時)； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由． 【解析】如

8、圖所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin θ＝.因為0＜θ＜90°，所以cos θ＝＝. BC＝＝10. 所以船的行駛速度為＝15海里/時． (2)法一：如圖所示 以A為原點建立平面直角坐標系，設點B，C的坐標分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點為D. 由題設，得x1＝y(tǒng)1＝AB＝40， x2＝ACcos∠CAD＝10·cos(45°－θ)＝30， y2＝ACsin∠CAD＝10 ·sin(45°－θ)＝20. 所以過點B，C的直線l的斜率k＝＝2， 直線l的方程為y＝2x－40. 又點E(0，－55)到直線l的距離d＝＝3＜7，

9、 所以船會進入警戒水域． 法二：如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝. 所以sin∠ABC＝＝ ＝. 在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝＝＝40. 由于AE＝55＞40＝AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE＝AE－AQ＝15. 過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離． 在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7.所以船會進入警戒水域．  四、課堂運用 【基礎】 1．某人向正東方向走x km后，向右轉150°，然后朝新方

10、向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為(　　) A.　　　　　　　　　 B．2 C.或2 D．3 解析：選C　如圖所示，設此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得 x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.  2．一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則

11、水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：選A　設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.  3．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min

12、后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮芨叨葹?精確到0.1 km)(　　) A．11.4　　　 B．6.6　　　 C．6.5　　　 D．5.6 解析：選B　∵AB＝1 000×1 000×＝ m， ∴BC＝·sin 30°＝ m. ∴航線離山頂h＝×sin 75°≈11.4 km. ∴山高為18－11.4＝6.6 km.  【鞏固】 4.2012年10月29日，超級風暴“桑迪”襲擊美國東部，如圖，在災區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進x m到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉105°，行進10 m到

13、達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么x＝________. 解析：∵由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°， ∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°， ∴＝.∴x＝ m. 答案： m  5．(2013·銅川模擬)一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是________海里/小時．

14、 解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是＝10海里/小時． 答案：10  【拔高】 6．如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°. (1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離； (2)應如何設計，才能使折線段賽道MN

15、P最長？ 解：(1)如圖所示，連接MP.依題意，有A＝2，＝3. ∵T＝，∴ω＝. ∴y＝2sinx. 當x＝4時，y＝2sin＝3，∴M(4,3)． 又P(8,0)，∴MP＝＝5km. (2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5， 設∠PMN＝θ，則0°＜θ＜60°. ∵由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)， 故NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)＝＝sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴當θ＝30°時，NP＋MN最大，即將∠PMN設計為30°時，才能使折線賽道MNP最長

16、．  7．為撲滅某著火點，現(xiàn)場安排了兩支水槍，如圖，D是著火點，A、B分別是水槍位置，已知AB＝1 5 m，在A處看到著火點的仰角為60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？ 解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°， 由正弦定理得＝， 解得AC＝15 m. 又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15， sin 105°＝sin(45°＋60°)＝. 由正弦定理得＝， 解得BC＝ m. 由勾股定理可得BD＝＝15 m， 綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m，15 m. 

17、 課程小結 解三角形應用題常有以下兩種情形 (1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．  課后作業(yè) 【基礎】 1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km

18、C.a km D．2a km 解析：選B　利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝2a2－2a2×＝3a2，故AB＝a.  2．(2013·永州模擬)張曉華同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3

19、km D．2 km 解析：選B　如圖，由條件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°， 所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝， 所以BS＝sin 30°＝3.  3.如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)(　　) A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析：選C

20、　∵在△ACE中， tan 30°＝＝. ∴AE＝ m. ∵在△AED中，tan 45°＝＝， ∴AE＝ m，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3 m.  【鞏固】 4某路邊一樹干被臺風吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點與樹干底部的距離是________ m. 解析：如圖，設樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠ABO＝45°， ∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°. 由正弦定理知，＝，解得AO＝ m. 答案

21、：  5.如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測得水深AD＝80 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值． 解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M， DF＝ ＝＝10， DE＝ ＝＝130， EF＝ ＝＝150. 在△DEF中，由余弦定理得， cos∠DEF＝＝ ＝.  【拔高】 6.如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處

22、時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．問：乙船每小時航行多少海里？ 解：如圖，連接A1B2∵由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10， ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1

23、A2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10.因此，乙船的速度為×60＝30海里/時．  7.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為＝14海里/小時． (2)法一：在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°， BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝. 即sin α＝＝＝. 法二：在△ABC中，因為AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α， 由余弦定理，得cos α＝， 即cos α＝＝. 因為α為銳角，所以sin α＝＝ ＝. 29 / 29