解三角形應(yīng)用舉例》 教案

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1、 個(gè)性化教案 第八節(jié)　解三角形應(yīng)用舉例 適用學(xué)科 數(shù)學(xué) 適用年級(jí) 高一 適用區(qū)域 新課標(biāo) 課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘） 60 知 識(shí) 點(diǎn) 長(zhǎng)度、高度問題 方向、角度問題 方案設(shè)計(jì)問題 教學(xué)目標(biāo) 　　能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 教學(xué)重點(diǎn) 運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力 教學(xué)難點(diǎn) 運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容，并引入本節(jié)課程內(nèi)容 二、知識(shí)講解 考點(diǎn)1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測(cè)量距離問題

2、、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．  考點(diǎn)2 實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語 術(shù)語名稱 術(shù)語意義 圖形表示 仰角與俯角 在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角 方位角 從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．方位角的范圍是(0°，360°) 方向角 正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度 例：(1)北偏東m°： (2)南偏西n°： 坡角 坡面與水平面的夾角 設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝＝tan α

3、 坡度 坡面的垂直高度h和水平寬度l的比  三、例題精析 【例題1】 【題干】隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C、D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離． 【解析】如圖，在△ACD中，∠ACD＝120°， ∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝. 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋

4、BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ km， 所以A，B兩目標(biāo)之間的距離為 km.  【例題2】 【題干】某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高． 【解析】如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD＝40，此時(shí)∠DBF＝45°.過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝30°. 在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30°，∠DBC＝135°， 由正弦定理，得＝， 則BD＝＝20. ∠BDE＝180

5、°－135°－30°＝15°. 在Rt△BED中， BE＝DB sin 15°＝20×＝10(－1)． 在Rt△ABE中，∠AEB＝30°， 則AB＝BEtan 30°＝(3－)． 故塔高為(3－) m.  【例題3】 【題干】如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間． 【解析】設(shè)緝私船應(yīng)沿CD

6、方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD＝10 t海里，BD＝10 t海里， 在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.解得BC＝. 又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小時(shí)≈15分鐘．

7、∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．  【例題4】 【題干】(2013·廣州模擬)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A的北偏東45°且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A的北偏東(45°＋θ)(其中sin θ＝，0°＜θ＜90°)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C. (1)求該船的行駛速度(單位：海里/時(shí))； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由． 【解析】如

8、圖所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin θ＝.因?yàn)?＜θ＜90°，所以cos θ＝＝. BC＝＝10. 所以船的行駛速度為＝15海里/時(shí)． (2)法一：如圖所示 以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點(diǎn)為D. 由題設(shè)，得x1＝y(tǒng)1＝AB＝40， x2＝ACcos∠CAD＝10·cos(45°－θ)＝30， y2＝ACsin∠CAD＝10 ·sin(45°－θ)＝20. 所以過點(diǎn)B，C的直線l的斜率k＝＝2， 直線l的方程為y＝2x－40. 又點(diǎn)E(0，－55)到直線l的距離d＝＝3＜7，

9、 所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域． 法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝. 所以sin∠ABC＝＝ ＝. 在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝＝＝40. 由于AE＝55＞40＝AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE＝AE－AQ＝15. 過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離． 在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7.所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．  四、課堂運(yùn)用 【基礎(chǔ)】 1．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方

10、向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為(　　) A.　　　　　　　　　 B．2 C.或2 D．3 解析：選C　如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得 x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.  2．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則

11、水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：選A　設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.  3．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min

12、后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮芨叨葹?精確到0.1 km)(　　) A．11.4　　　 B．6.6　　　 C．6.5　　　 D．5.6 解析：選B　∵AB＝1 000×1 000×＝ m， ∴BC＝·sin 30°＝ m. ∴航線離山頂h＝×sin 75°≈11.4 km. ∴山高為18－11.4＝6.6 km.  【鞏固】 4.2012年10月29日，超級(jí)風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國(guó)東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進(jìn)10 m到

13、達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________. 解析：∵由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°， ∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°， ∴＝.∴x＝ m. 答案： m  5．(2013·銅川模擬)一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是________海里/小時(shí)．

14、 解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是＝10海里/小時(shí)． 答案：10  【拔高】 6．如圖，某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120°. (1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離； (2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MN

15、P最長(zhǎng)？ 解：(1)如圖所示，連接MP.依題意，有A＝2，＝3. ∵T＝，∴ω＝. ∴y＝2sinx. 當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2sin＝3，∴M(4,3)． 又P(8,0)，∴MP＝＝5km. (2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5， 設(shè)∠PMN＝θ，則0°＜θ＜60°. ∵由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)， 故NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)＝＝sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴當(dāng)θ＝30°時(shí)，NP＋MN最大，即將∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，才能使折線賽道MNP最長(zhǎng)

16、．  7．為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場(chǎng)安排了兩支水槍，如圖，D是著火點(diǎn)，A、B分別是水槍位置，已知AB＝1 5 m，在A處看到著火點(diǎn)的仰角為60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？ 解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°， 由正弦定理得＝， 解得AC＝15 m. 又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15， sin 105°＝sin(45°＋60°)＝. 由正弦定理得＝， 解得BC＝ m. 由勾股定理可得BD＝＝15 m， 綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m，15 m. 

17、 課程小結(jié) 解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形 (1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．  課后作業(yè) 【基礎(chǔ)】 1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km

18、C.a km D．2a km 解析：選B　利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝2a2－2a2×＝3a2，故AB＝a.  2．(2013·永州模擬)張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3

19、km D．2 km 解析：選B　如圖，由條件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°， 所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝， 所以BS＝sin 30°＝3.  3.如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30°，測(cè)得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)(　　) A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析：選C

20、　∵在△ACE中， tan 30°＝＝. ∴AE＝ m. ∵在△AED中，tan 45°＝＝， ∴AE＝ m，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3 m.  【鞏固】 4某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是________ m. 解析：如圖，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝45°， ∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°. 由正弦定理知，＝，解得AO＝ m. 答案

21、：  5.如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80 m，于B處測(cè)得水深BE＝200 m，于C處測(cè)得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值． 解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M， DF＝ ＝＝10， DE＝ ＝＝130， EF＝ ＝＝150. 在△DEF中，由余弦定理得， cos∠DEF＝＝ ＝.  【拔高】 6.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處

22、時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問：乙船每小時(shí)航行多少海里？ 解：如圖，連接A1B2∵由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10， ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1

23、A2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10.因此，乙船的速度為×60＝30海里/時(shí)．  7.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為＝14海里/小時(shí)． (2)法一：在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°， BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝. 即sin α＝＝＝. 法二：在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α， 由余弦定理，得cos α＝， 即cos α＝＝. 因?yàn)棣翞殇J角，所以sin α＝＝ ＝. 29 / 29