數(shù)學(xué)第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形

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1、5.3 正弦、余弦定理及解三角形高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一正弦、余弦定理考點(diǎn)一正弦、余弦定理1.正弦定理、余弦定理ABC中,三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,ABC的外接圓半徑為R.(1)正弦定理=2R.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.sinaAsinbBsincC知識(shí)清單推論:cosA=,cosB=,cosC=.2.解斜三角形的類(lèi)型(1)已知兩角一邊,用正弦定理,有解時(shí),只有一解.(2)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,用正弦定理,有解的情況可分為以下幾種(在ABC中,已知a、b和角A):2222bcabc2222

2、cabac2222abcab上表中A為銳角且absinA時(shí),無(wú)解;A為鈍角時(shí),a=b或ab,均無(wú)解.(3)已知三邊,用余弦定理,有解時(shí),只有一解.(4)已知兩邊及夾角,用余弦定理,必有一解.3.三角形面積設(shè)ABC的三邊為a、b、c,所對(duì)的三個(gè)角分別為A、B、C,面積為S.(1)S=ah(h為BC邊上的高);(2)S=absinC;(3)S=2R2sinAsinBsinC(R為ABC的外接圓半徑);(4)S=(R為ABC的外接圓半徑);(5)S=.12124abcR()()()p papbpc1()2pabc考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用1.距離的測(cè)量2.高的測(cè)量3.實(shí)際問(wèn)

3、題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的背景可測(cè)元素圖形目標(biāo)及解法底部可到達(dá)a、求AB:AB=atan底部不可到達(dá)a、求AB:(1)在ACD中,用正弦定理求AD;(2)AB=ADsin叫俯角(如圖(a)所示).(2)方位角指從某點(diǎn)的正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為(如圖(b)所示).(3)坡角指坡面與水平面所成的銳二面角. 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形解三角形時(shí),要注意用正弦定理,還是用余弦定理更方便、簡(jiǎn)捷.基本原則:(1)若已知一條邊和兩個(gè)角,則用正弦

4、定理;(2)若已知兩條邊和其中一邊的對(duì)角,則既可以用正弦定理,也可以用余弦定理;(3)若已知兩條邊和兩邊的夾角,則用余弦定理;(4)若已知三條邊,則用余弦定理.例1(2017浙江名校協(xié)作體期初,17)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c=2,C=.(1)當(dāng)2sin2A+sin(2B+C)=sinC時(shí),求ABC的面積;(2)求ABC周長(zhǎng)的最大值.3方法技巧方法1解題導(dǎo)引(1)三角變換,分cosA=0和cosA0討論利用正、余弦定理得a、b的值由面積公式得結(jié)論(2)由余弦定理得關(guān)于a,b的關(guān)系利用基本不等式得a+b的最大值結(jié)論解析(1)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC

5、,得4sinAcosA+sin(A-B)=sin(A+B),即2sinAcosA=sinBcosA,當(dāng)cosA=0時(shí),A=,B=,由正弦定理得a=,b=,當(dāng)cosA0時(shí),sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,由余弦定理得a2+b2-ab=4,解得a=,b=,(6分)故SABC=absinC=.(7分)(2)由余弦定理可得a2+b2-ab=4,所以(a+b)2=4+3ab4+,得(a+b)216,所以0a+b4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).(13分)故ABC周長(zhǎng)的最大值為6. (15分)264 332 332 334 33122 3323()4ab評(píng)析本題考查了利用正弦、余弦定理解三角形,

6、三角形面積公式,三角恒等變換,利用基本不等式求最大值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力. 利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題1.常見(jiàn)幾種類(lèi)型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題,計(jì)算面積問(wèn)題,航海問(wèn)題,物理問(wèn)題等.2.解題時(shí)需要注意的幾個(gè)問(wèn)題(1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞,并能準(zhǔn)確地找到這些角;(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來(lái),發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件.例2(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度方法2CD=m.解析依題意有AB=600,CAB=30,CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB.ACB=45,在ABC中,由=,得=,有CB=300,在RtBCD中,CD=CBtan30=100,則此山的高度CD為100m.sinABACBsinCBCAB600sin45sin30CB266答案1006