數(shù)學(xué)第十章 概率與統(tǒng)計 第一節(jié) 隨機事件的概率 文

第一節(jié)隨機事件的概率總綱目錄教材研讀1.事件的分類考點突破2.頻率和概率3.事件的關(guān)系與運算考點二隨機事件的頻率與概率考點一隨機事件的關(guān)系考點三互斥事件、對立事件的概率4.概率的幾個基本性質(zhì)1.事件的分類事件的分類教材研讀教材研讀確定事件必然事件在條件S下,一定會一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下,可能發(fā)生也可能不可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件2.頻率和概率頻率和概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對于給定的隨機事件A,隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上,把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率,簡稱為A的概率.Ann3.事件的關(guān)系與運算事件的關(guān)系與運算名稱定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關(guān)系若BA,且BA,那么稱事件A與事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件事件A或事件或事件B發(fā)生發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件事件A發(fā)生且事件發(fā)生且事件B發(fā)生發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥AB=對立事件若AB為不可能不可能事件,AB為必然必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件AB=且AB=U(U為全集)4.概率的幾個基本性質(zhì)概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的范圍為0,1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥,則P(AB)=P(A)+P(B).概率加法公式的推廣概率加法公式的推廣(1)當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果時,要用到概率加法公式的推廣,即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).(2)P()=1-P(A1A2An)=1-P(A1)-P(A2)-P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.12nAAA (5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件,則AB為必然事件,P(AB)=1,P(A)=1-P(B).1.下列事件中,隨機事件的個數(shù)為()物體在只受重力的作用下會自由下落;方程x2+2x+8=0有兩個實根;某信息臺每天的某段時間收到信息咨詢的請求次數(shù)超過10次;下周六會下雨.A.1B.2C.3D.4B答案答案B為必然事件,為不可能事件,為隨機事件.2.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是對立事件,那么()A.甲是乙的充分但不必要條件B.甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件B答案答案B兩個事件是對立事件,則它們一定互斥,反之不一定成立.3.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”()A.是互斥事件,不是對立事件B.是對立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是對立事件D.既不是互斥事件也不是對立事件C答案答案C“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況,這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集,且不能同時發(fā)生,故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件,也是對立事件,故選C.4.給出下面三個命題:設(shè)有一大批產(chǎn)品,已知其次品率為0.1,則從中任取100件,必有10件是次品;做7次拋硬幣的試驗,結(jié)果3次出現(xiàn)正面,因此,出現(xiàn)正面的概率是;隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.其中真命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.337A答案答案A,從中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故是假命題.,拋硬幣時出現(xiàn)正面的概率是,不是,故是假命題.,頻率和概率不是一回事,故是假命題,故選A.12375.從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在160,175(單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為.0.3答案答案0.3解析解析由對立事件的概率公式可求得該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1-(0.2+0.5)=0.3.6.甲、乙兩人下棋,兩人和棋的概率是,乙獲勝的概率是,則乙不輸?shù)母怕适?121356答案答案56解析解析乙不輸即為兩人和棋或乙獲勝,因此乙不輸?shù)母怕蕿?=.121356310710考點一隨機事件的關(guān)系考點一隨機事件的關(guān)系考點突破考點突破典例典例1(1)從1,2,3,7這7個數(shù)中任取兩個數(shù),其中:恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù);至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù);至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù);至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中,是對立事件的是()A.B.C.D.(2)在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是,那么概率是的事件是()A.至多有1張移動卡B.恰有1張移動卡C.都不是移動卡D.至少有1張移動卡解析解析(1),“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個都是奇數(shù)或一奇一偶”,而從1,2,3,7這7個數(shù)中任取兩個數(shù),根據(jù)取到數(shù)的奇偶性知共有三種情況:“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”,故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件,易知其余都不是對立事件.(2)“至多有1張移動卡”包含“1張是移動卡,1張是聯(lián)通卡”“2張全是聯(lián)通卡”兩種情況,它是“2張全是移動卡”的對立事件,故選A.答案答案(1)C(2)A方法技巧方法技巧判斷互斥、對立事件的方法(1)定義法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件.(2)集合法由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.A1-1設(shè)條件甲:“事件A與事件B是對立事件”,結(jié)論乙:“概率滿足P(A)+P(B)=1”,則甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A答案答案A若事件A與事件B是對立事件,則AB為必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.投擲一枚硬幣3次,事件A:“至少出現(xiàn)一次正面”,事件B:“3次出現(xiàn)正面”,則P(A)=,P(B)=,滿足P(A)+P(B)=1,但A,B不是對立事件.78181-2袋中裝有3個白球,4個黑球,從中任取3個球,則恰有1個白球和全是白球;至少有1個白球和全是黑球;至少有1個白球和至少有2個白球;至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事件中,是互斥事件但不是對立事件的為()A.B.C.D.A答案答案A由題意可知,事件均不是互斥事件;為互斥事件,但又是對立事件,滿足題意的只有,故選A.典例典例2(2017課標(biāo)全國,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:考點二隨機事件的頻率與概率考點二隨機事件的頻率與概率最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解析解析(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6450-4450=900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8.2 16369036257490規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.2-1(2016課標(biāo)全國,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010解析解析(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為=0.55,故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為=0.3,故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得60502003030200調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05典例典例3某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值;(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53考點三互斥事件、對立事件的概率考點三互斥事件、對立事件的概率解析解析(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為=1.9(分鐘).(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.1 15 1.5 302 252.5 203 10100 15100320301003102510014因為A=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=.故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為.32031014710710規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是間接法,先求該事件的對立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題時,多考慮間接法.A3-1圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率是,都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.B.C.D.11712351712351735C答案答案C設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=AB,且事件A與B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=+=,即任意取出2粒恰好是同一色的概率為.171235173517353-2某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎券中獎的概率;(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.解析解析(1)P(A)=,P(B)=,P(C)=.(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設(shè)“1張獎券中獎”為事件M,則M=ABC.A、B、C兩兩互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=.故1張獎券中獎的概率為.(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張1100010100011005010001201 10501000611000611000獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,P(N)=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)=1-=.故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.11100010098910009891000