高考數(shù)學(xué) 專題二 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題 理

第3講數(shù)列的綜合問題專題二數(shù)列板塊三專題突破核心考點(diǎn)考情考向分析1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系熱點(diǎn)一利用Sn，an的關(guān)系式求an2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).解答例例1已知等差數(shù)列an中，a22，a3a58，數(shù)列bn中，b12，其前n項(xiàng)和Sn滿足：bn1Sn2(nN*).(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；解解a22，a3a58，2d23d8，d1，ann(nN*).bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2).由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)，bn12bn(nN*，n2).b12，b22b1，bn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，bn2n(nN*).解答兩式相減，得給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：a1anS1Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解解由已知a1anS1Sn，當(dāng)n2時(shí)，由已知可得a1an1S1Sn1，得a1(anan1)an.若a10，則an0，此時(shí)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0.若a12，則2(anan1)an，化簡得an2an1，即此時(shí)數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故an2n(nN*).綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0或an2n.解答(2)若an0，數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn，試問當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最??？并求出最小值.解解因?yàn)閍n0，故an2n.由n50，解得n5，所以當(dāng)n4或n5時(shí)，Tn最小，熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題.解答例例2(2018遵義聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln(1x) .(1)若x0時(shí)，f(x)0，求的最小值；解解由已知可得f(0)0，若0，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)f(0)0，不合題意；則當(dāng)x0時(shí)，f(x)0).(1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)；解解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，由已知，a14000.9m，a20.9(4000.9m)m4000.920.9mm3241.9m.解答(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.解解a30.9(4000.920.9mm)m4000.930.92m0.9mm，an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm(40010m)0.9n10m.由已知nN*，an550，(1)當(dāng)40010m0，即m40時(shí)，顯然滿足題意；(2)當(dāng)40010m0，即m40時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得(40010m)0.910m550，解得m190.綜合得m40；(3)當(dāng)40010m40時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550，解得m55，綜合得40m55.綜上可得所求m的范圍是(0，55.常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從 2017 年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項(xiàng)目.2016 年該項(xiàng)目的凈收入為 5 百萬元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記 2016 年為第 1 年，f(n)為第 1 年至此后第n(nN*)年的累計(jì)利潤(注：含第n年，累計(jì)利潤累計(jì)凈收入累計(jì)投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.解答(1)試求f(n)的表達(dá)式；解解由題意知，第1年至此后第n(nN*)年的累計(jì)投入為82(n1)2n6(千萬元)，第1年至此后第n(nN*)年的累計(jì)凈收入為解答(2)根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說明理由.當(dāng)n3時(shí)，f(n1)f(n)0，故當(dāng)n4時(shí)，f(n)遞增.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答：答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.x4.從而當(dāng)x1,4)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答：答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.真題押題精練1.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1，則S6_.真題體驗(yàn)解析63答案解析解析Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).當(dāng)n1時(shí)，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，S612663.2.(2017山東)已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；解答解解設(shè)數(shù)列xn的公比為q.所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1(nN*).(2)如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 依次連接點(diǎn)P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解答解解過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， 得Tn321(2222n1)(2n1)2n1押題預(yù)測(cè)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù).(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；押題依據(jù)押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識(shí)，考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力.解答押題依據(jù)解解若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3.又取n2，得a1a2S2ka3，于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列.押題依據(jù)押題依據(jù)是高考的熱點(diǎn)問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法“裂項(xiàng)相消法”與“錯(cuò)位相減法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力.解答押題依據(jù)2nb從而Snan1.當(dāng)n2時(shí)，由Sn1an，得anSnSn1an1an，從而其前n項(xiàng)和Sn2n2(nN*).由得bnn2，記C2121220n2n2，則2C2120221n2n1，即n2n900，因?yàn)閚N*且n1，故n9，從而最小正整數(shù)n的值是10.