新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第六章】數(shù)列 第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題1已知an為等比數(shù)列下面結(jié)論中正確的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，則a1a2 D若a3a1，則a4a2解析設(shè)公比為q，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a11 025的最小n值是 ()A9 B10 C11 D12解析因?yàn)閍11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，則滿足Sn1 025的最小n值是11.答案C3某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過(guò)150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害為保護(hù)環(huán)境，

2、環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是 ()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的產(chǎn)量anf(n)f(n1)3n2.當(dāng)n1時(shí)也適合，據(jù)題意令an150n5，即數(shù)列從第8項(xiàng)開始超過(guò)150，即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年答案C4在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a10，Sn是數(shù)列an前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n ()A7 B8 C9 D10解析設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a13d)7(a16d)，所以da10，即a1(n1)0，所以n0，同理可得n10時(shí)，an0.故當(dāng)n9時(shí)，Sn取得最大值答案C5設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，

3、則f(2)f(4)f(2n)等于 ()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析由題意可設(shè)f(x)kx1(k0)，則(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)2n23n.答案A6若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則Tn的結(jié)果可化為()A1 B1C. D.解析an2n1，設(shè)bn2n1，則Tnb1b2bn32n1.答案C二、填空題7設(shè)關(guān)于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值為_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 1

4、00.答案10 1008已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則_.解析賦值法如令a，b，c分別為2,4,8，可求出x3，y6，2.答案29設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令anlg xn，則a1a2a3a99的值為_解析由y(n1)xn(xN*)，所以在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率kn1，故切線方程為y(n1)(x1)1，令y0得xn，所以a1a2a3a99lg x1lg x2lg x99lg(x1x2x99)lglg 2.答案210數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：，有如下運(yùn)算和結(jié)論：a24；數(shù)列a1

5、，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比數(shù)列；數(shù)列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n項(xiàng)和為Tn；若存在正整數(shù)k，使Sk10，Sk110，則ak.其中正確的結(jié)論有_(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)解析依題意，將數(shù)列an中的項(xiàng)依次按分母相同的項(xiàng)分成一組，第n組中的數(shù)的規(guī)律是：第n組中的數(shù)共有n個(gè)，并且每個(gè)數(shù)的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n組中的各數(shù)和等于.對(duì)于，注意到212428，因此數(shù)列an中的第24項(xiàng)應(yīng)是第7組中的第3個(gè)數(shù)，即a24，因此正確對(duì)于、，設(shè)bn為、中的數(shù)列的通項(xiàng)，則bn，顯然該數(shù)列是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和等于，因此不正確，正

6、確對(duì)于，注意到數(shù)列的前6組的所有項(xiàng)的和等于10，因此滿足條件的ak應(yīng)是第6組中的第5個(gè)數(shù)，即ak，因此正確綜上所述，其中正確的結(jié)論有.答案三、解答題11已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S535，a5和a7的等差中項(xiàng)為13.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)镾55a335，a5a726，所以解得a13，d2，所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn1.12設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2

7、)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有2，即3n2n2n，123n1cn(nN*)(1)解設(shè)公差為d，則解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34，即b24.所以數(shù)列bn的首項(xiàng)為b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)證明因?yàn)镵n221322(n1)2n，故2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，Knn2n1，則1cn0，所以cn1cn(nN*)14設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求證：an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；(2)若a21，求證：Sn(a1an)，并給出

8、等號(hào)成立的充要條件證明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由題設(shè)條件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，兩式相減得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.綜上，a2對(duì)所有nN*成立從而an是首項(xiàng)為1，公比為a2的等比數(shù)列(2)當(dāng)n1或2時(shí)，顯然Sn(a1an)，等號(hào)成立設(shè)n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要證的不等式化為：1a2aa(1a)(n3)，即證：1a2aa(1a)(n2)，當(dāng)a21時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立當(dāng)1a21時(shí)，a1與a1，(r1,2，n1)同為負(fù)；當(dāng)a21時(shí)，a1與a1，(r1,2，n1)同為正；因此當(dāng)a21且a21時(shí)，總有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式對(duì)r從1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)綜上，當(dāng)a21且a20時(shí)，有Sn(a1an)，當(dāng)且僅當(dāng)n1,2或a21時(shí)等號(hào)成立.