新編高考數(shù)學浙江理科一輪【第六章】數(shù)列 第5講數(shù)列的綜合應用

新編高考數(shù)學復習資料第5講 數(shù)列的綜合應用一、選擇題1已知an為等比數(shù)列下面結(jié)論中正確的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，則a1a2 D若a3>a1，則a4>a2解析設公比為q，對于選項A，當a1<0，q1時不正確；選項C，當q1時不正確；選項D，當a11，q2時不正確；選項B正確，因為aa2a1a32a.答案B2滿足a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是 ()A9 B10 C11 D12解析因為a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，則滿足Sn>1 025的最小n值是11.答案C3某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害為保護環(huán)境，環(huán)保部門應給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是 ()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的產(chǎn)量anf(n)f(n1)3n2.當n1時也適合，據(jù)題意令an150n5，即數(shù)列從第8項開始超過150，即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年答案C4在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n ()A7 B8 C9 D10解析設公差為d，由題設3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，則n9，當n9時，an>0，同理可得n10時，an<0.故當n9時，Sn取得最大值答案C5設yf(x)是一次函數(shù)，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)f(4)f(2n)等于 ()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析由題意可設f(x)kx1(k0)，則(4k1)2(k1)×(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(2×21)(2×41)(2×2n1)2n23n.答案A6若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則Tn的結(jié)果可化為()A1 B1C. D.解析an2n1，設bn2n1，則Tnb1b2bn32n1.答案C二、填空題7設關于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列an的前n項和為Sn，則S100的值為_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 100.答案10 1008已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則_.解析賦值法如令a，b，c分別為2,4,8，可求出x3，y6，2.答案29設曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令anlg xn，則a1a2a3a99的值為_解析由y(n1)xn(xN*)，所以在點(1,1)處的切線斜率kn1，故切線方程為y(n1)(x1)1，令y0得xn，所以a1a2a3a99lg x1lg x2lg x99lg(x1·x2··x99)lg×××lg 2.答案210數(shù)列an的前n項和為Sn，若數(shù)列an的各項按如下規(guī)律排列：，有如下運算和結(jié)論：a24；數(shù)列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比數(shù)列；數(shù)列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n項和為Tn；若存在正整數(shù)k，使Sk<10，Sk110，則ak.其中正確的結(jié)論有_(將你認為正確的結(jié)論序號都填上)解析依題意，將數(shù)列an中的項依次按分母相同的項分成一組，第n組中的數(shù)的規(guī)律是：第n組中的數(shù)共有n個，并且每個數(shù)的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n組中的各數(shù)和等于.對于，注意到21<24<28，因此數(shù)列an中的第24項應是第7組中的第3個數(shù)，即a24，因此正確對于、，設bn為、中的數(shù)列的通項，則bn，顯然該數(shù)列是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，其前n項和等于×，因此不正確，正確對于，注意到數(shù)列的前6組的所有項的和等于10，因此滿足條件的ak應是第6組中的第5個數(shù)，即ak，因此正確綜上所述，其中正確的結(jié)論有.答案三、解答題11已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S535，a5和a7的等差中項為13.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，因為S55a335，a5a726，所以解得a13，d2，所以an32(n1)2n1，Sn3n×2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn1.12設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.(1)解當n1時，2a1a241a23，當n2時，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差數(shù)列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)解2Snan12n11，當n2時，有2Sn1an2n1，兩式相減整理得an13an2n，則·1，即2.又23，知是首項為3，公比為的等比數(shù)列，23n1，即an3n2n，n1時也適合此式，an3n2n.(3)證明由(2)得.當n2時，n>2，即3n2n>2n，<123n1<.13已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前四項和為14，且a1，a3，a7恰為等比數(shù)列bn的前三項(1)分別求數(shù)列an，bn的前n項和Sn，Tn；(2)記數(shù)列anbn的前n項和為Kn，設cn，求證：cn1>cn(nN*)(1)解設公差為d，則解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34，即b24.所以數(shù)列bn的首項為b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)證明因為Kn2·213·22(n1)·2n，故2Kn2·223·23n·2n(n1)·2n1，得Kn2·2122232n(n1)·2n1，Knn·2n1，則cn.cn1cn>0，所以cn1>cn(nN*)14設數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求證：an是首項為1的等比數(shù)列；(2)若a21，求證：Sn(a1an)，并給出等號成立的充要條件證明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由題設條件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，兩式相減得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.綜上，a2對所有nN*成立從而an是首項為1，公比為a2的等比數(shù)列(2)當n1或2時，顯然Sn(a1an)，等號成立設n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要證的不等式化為：1a2aa(1a)(n3)，即證：1a2aa(1a)(n2)，當a21時，上面不等式的等號成立當1a21時，a1與a1，(r1,2，n1)同為負；當a21時，a1與a1，(r1,2，n1)同為正；因此當a21且a21時，總有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式對r從1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)綜上，當a21且a20時，有Sn(a1an)，當且僅當n1,2或a21時等號成立.