新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第7章 立體幾何初步 第2節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積學案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　簡單幾何體的表面積與體積 [考綱傳真]　了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式． (對應學生用書第95頁) [基礎知識填充] 1．多面體的表(側)面積 因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和． 2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側面 展開圖　 側面 積公式　 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝ π(r1＋r2)l 3. 柱、錐、臺和球的表面積和體積 　　　　名稱 幾何體　　　 表面積 體積

2、 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [知識拓展] 1．正四面體的表面積與體積 棱長為a的正四面體，其表面積為a2，體積為a3. 2．幾個與球有關的切、接常用結論 (1)正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝A． ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝A． (2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外

3、接球的半徑為R，則2R＝. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，棱長為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑R內(nèi)＝a，外接球半徑R外＝A． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (2)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(　　) (4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝A．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個

4、半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm　　　 B．2 cm　　　 C．3 cm　　　 D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．] 3．(20xx·全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖7-2-1，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　)

5、 圖7-2-1 A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 B　[設米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)．故選B．] 4．(20xx·全國卷Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________． 14π　[∵長方體的頂點都在球O的球面上， ∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑． 設球的半徑為R， 則2R＝＝. ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×2＝14π.] 5．(20xx·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖

6、如圖7-2-2所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是________cm3. 【導學號：00090233】 圖7-2-2 　[由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面為邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的四棱錐組成，V＝V正方體＋V四棱錐＝8 cm3＋ cm3＝ cm3.] (對應學生用書第96頁) 簡單幾何體的表面積 　(1)某幾何體的三視圖如圖7-2-3所示，則該幾何體的表面積等于(　　) 圖7-2-3 A．8＋2　　 B．11＋2 C．14＋2 D．15 (2)(20xx·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖7-2-4所示

7、，則該幾何體的表面積是(　　) 【導學號：00090234】 圖7-2-4 A．48＋π B．48－π C．48＋2π D．48－2π (1)B　(2)A　[(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示． 直角梯形斜腰長為＝，所以底面周長為4＋，側面積為4＋2＋2＋2＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3. 所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. (2)該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12

8、＝48＋π，故選A． [規(guī)律方法]　1.(1)多面體與旋轉體的表面積等于側面面積與底面面積之和．(2)簡單組合體：應搞清各構成部分，并注意重合部分的處理． 2．若以三視圖的形式給出，解題的關鍵是對給出的三視圖進行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． [變式訓練1]　(1)(20xx·全國卷Ⅲ)如圖7-2-5，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖7-2-5 A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 (2)(20xx·全國卷Ⅰ)如圖7-2-6，某幾何體

9、的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖7-2-6 A．17π B．18π C．20π D．28π (1)B　(2)A　[(1)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B． (2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A．] 簡單幾何體的體積 　(1)在梯

10、形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D．2π (2)(20xx·全國卷Ⅱ)如圖7-2-7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) 圖7-2-7 A．90π B．63π C．42π D．36π (1)C　(2)B　[(1)過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半

11、徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐而得到的，如圖所示． 由于V圓柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π， V圓錐＝π·CE2·DE＝π·12×(2－1)＝， 所以該幾何體的體積V＝V圓柱－V圓錐＝2π－＝. (2)法一：(割補法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得． 將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π. 故選B． 法二：(估值法)由題意，知V圓柱

12、＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項可知只有63π符合． 故選B．] [規(guī)律方法]　1.若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． 2．若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法(轉換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補形法等方法進行求解． 3．若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． [變式訓練2]　(1)(20xx·唐山模擬)一個幾何體的三視圖如圖7-2-8所示，則其體積為(　　) 圖7-2-8 A．π＋2 B．2π＋4 C．

13、π＋4 D．2π＋2 (2)(20xx·天津高考)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖7-2-9所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3. 【導學號：00090235】 圖7-2-9 (1)A　(2)2　[(1)該幾何體為組合體，左邊為三棱柱，右邊為半圓柱，其體積V＝×2×1×2＋π×12×2＝2＋π.故選A． (2)由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長為2，對應高為1，所以其體積V＝Sh＝×2×1×3＝2.] 多面體與球的切、接問題 　(20xx·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．

14、若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π　　　　 B．　　　　 C．6π　　　　 D． B　[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，則r＝2. 此時2r＝4＞3，不合題意． 因此球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大． 由2R＝3，即R＝. 故球的最大體積V＝πR3＝π.] [母題探究1]　若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB＝

15、3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積． [解]　將直三棱柱補形為長方體ABEC-A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC-A1B1E1C1的外接球， 所以體對角線BC1的長為球O的直徑． 因此2R＝＝13， 故S球＝4πR2＝169π. [母題探究2]　若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積． [解]　如圖，設球心為O，半徑為r， 則在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝， 則球O的體積V球＝πr3＝π×3＝. [規(guī)律方法]　1.與球有關的組合體問題，一種是

16、內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題． 2．若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題． [變式訓練3]　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π (2)(20xx·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面

17、的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) 【導學號：00090236】 A．π B． C． D． (1)C　(2)B　[(1)如圖，設球的半徑為R，∵∠AOB＝90°， ∴S△AOB＝R2. ∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值， ∴當點C到平面AOB的距離最大時，VO-ABC最大， ∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VO-ABC最大為×R2×R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π. 故選C． (2)設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B．]