【學案】直接開平方法

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1、 22.2.1 直接開平方法 教學內(nèi)容 運用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程． 教學目標 理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題． 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重難點關(guān)鍵 1．重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想． 2．難點與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷

2、移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題 問題1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點同時出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？

3、 老師點評： 問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 問題2：設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以驗證，2和-2都是方程x·2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值． 所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2． 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±2，如果x換元為2t+1，即（2

4、t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ （學生分組討論） 老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的兩根為t1=-，t2=-- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2．市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積

5、由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率． 分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x．一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去．

6、 所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%． （學生小結(jié)）老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？ 共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 三、鞏固練習 教材P36 練習． 四、應(yīng)用拓展 例3．某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？ 分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2．

7、 解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當成一個數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因為增長率為正數(shù)， 所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達

8、到降次轉(zhuǎn)化之目的． 六、布置作業(yè) 1．教材P45 復習鞏固1、2． 2．選用作業(yè)設(shè)計: 一、選擇題 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根為（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．無實數(shù)根 3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ）． A．（x-）2=，x=± B．

9、（x-）2=-，原方程無解 C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空題 1．若8x2-16=0，則x的值是_________． 2．如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是________． 3．如果a、b為實數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 三、綜合提高題 1．解關(guān)于x的方程（x+m）2=n． 2．某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長

10、40m． （1）雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？ （2）雞場的面積能達到210m2嗎？ 3．在一次手工制作中，某同學準備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學制成方框，并說明你制作的理由嗎？ 答案: 一、1．B 2．D 3．B 二、1．± 2．9或-3 3．-8 三、1．當n≥0時，x+m=±，x1=-m，x2=--m．當n<0時，無解 2．（1）都能達到．設(shè)寬為x，則長為40-2x， 依題意，得：x（40-2x）=180 整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-； 同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，長為40-20=20． （2）不能達到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0， b2-4ac=400-410=-10<0，無解，即不能達到． 3．因要制矩形方框，面積盡可能大， 所以，應(yīng)是正方形，即每邊長為1米的正方形． 5 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改