【學(xué)案】直接開平方法

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1、 22.2.1 直接開平方法 教學(xué)內(nèi)容 運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． 教學(xué)目標(biāo) 理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題． 提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷

2、移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題 問題1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？

3、 老師點(diǎn)評(píng)： 問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 問題2：設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以驗(yàn)證，2和-2都是方程x·2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值． 所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2． 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±2，如果x換元為2t+1，即（2

4、t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ （學(xué)生分組討論） 老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的兩根為t1=-，t2=-- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2．市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積

5、由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率． 分析：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x．一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去．

6、 所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%． （學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？ 共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 三、鞏固練習(xí) 教材P36 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例3．某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬(wàn)元，第一季度總營(yíng)業(yè)額為3.31萬(wàn)元，求該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少？ 分析：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x，那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的，應(yīng)是（1+x）2．

7、 解：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù)， 所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為10%． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達(dá)

8、到降次轉(zhuǎn)化之目的． 六、布置作業(yè) 1．教材P45 復(fù)習(xí)鞏固1、2． 2．選用作業(yè)設(shè)計(jì): 一、選擇題 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根為（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．無(wú)實(shí)數(shù)根 3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ）． A．（x-）2=，x=± B．

9、（x-）2=-，原方程無(wú)解 C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空題 1．若8x2-16=0，則x的值是_________． 2．如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是________． 3．如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 三、綜合提高題 1．解關(guān)于x的方程（x+m）2=n． 2．某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)

10、40m． （1）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？ （2）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到210m2嗎？ 3．在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長(zhǎng)4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說明你制作的理由嗎？ 答案: 一、1．B 2．D 3．B 二、1．± 2．9或-3 3．-8 三、1．當(dāng)n≥0時(shí)，x+m=±，x1=-m，x2=--m．當(dāng)n<0時(shí)，無(wú)解 2．（1）都能達(dá)到．設(shè)寬為x，則長(zhǎng)為40-2x， 依題意，得：x（40-2x）=180 整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-； 同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，長(zhǎng)為40-20=20． （2）不能達(dá)到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0， b2-4ac=400-410=-10<0，無(wú)解，即不能達(dá)到． 3．因要制矩形方框，面積盡可能大， 所以，應(yīng)是正方形，即每邊長(zhǎng)為1米的正方形． 5 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改