高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第4節(jié) 垂直關(guān)系 Word版含解析

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1、 第四節(jié)　垂直關(guān)系 [最新考綱]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題． 1．直線與平面垂直 (1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直． (2)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定 定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì) 定理 如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b 2．二面角 (1)定義：從一條

2、直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角．這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面． (2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3．平面與平面垂直 (1)定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． (2)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂

3、直 ?l⊥α 直線與平面垂直的五個結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面． (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行． (4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直． (5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　) (2)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(　　) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另

4、一個平面．(　　) (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3) ×　(4)× 二、教材改編 1．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且lα，mβ.(　　) A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m A　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．] 2．下列命題中不正確的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β C．如果平

5、面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ A　[A錯誤，l與β可能平行或相交，其余選項均正確．] 3.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________． 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 則△PAB，△PAC為直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC， 從而BC⊥PC. 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．] 4．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O. (1)若PA＝PB＝

6、PC，則點O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心． (1)外　(2)垂　[(1)如圖，∵PO⊥平面ABC，連接OA，OB，OC， 在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2， 同理OB2＝PB2－PO2， OC2＝PC2－PO2. 又PA＝PB＝PC， 故OA＝OB＝OC， ∴O是△ABC的外心． (2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC， ∴PA⊥BC， 又PO⊥BC， ∴BC⊥平面PAO， ∴AO⊥BC， 同理BO⊥AC，CO⊥AB. 故O是△ABC的垂心．] 考點1

7、　直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 　1.證明線面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)垂直于平面的傳遞性． (3)面面垂直的性質(zhì)． 2．證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)． 　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. [證明]　(1)在四棱錐P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， PA，AC平面PAC， ∴CD⊥平面

8、PAC. 而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， PC，CD平面PCD， ∴AE⊥平面PCD， 而PD平面PCD， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD， 而PD平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A， AB，AE平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 　通過本例的訓(xùn)練我們發(fā)現(xiàn)：判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直

9、的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識，特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用． 　如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上 一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB. 求證：PA⊥CD. [證明]　因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°. 設(shè)AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因為PD⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CD平面ABC， 所以

10、PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD. 考點2　平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 　(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是：先尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明． (2)證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)． (3)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件． 　(2019·衡水中學(xué)模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形

11、，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°， DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1. (1)證明：平面PAB⊥平面PBC； (2)求四棱錐P-ABCD的體積． [解]　(1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝， 因為PC＝2，BC＝1，PB＝， 所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB； 因為∠ABC＝90°，所以BC⊥AB， 又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB， 又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. (2)在平面PAB內(nèi)，過點P作PE⊥AB，交BA的延長線于點E，如圖所示． 由(1)知BC⊥平面PAB，

12、因為BC平面ABCD， 所以平面PAB⊥平面ABCD. 又平面PAB∩平面ABCD＝AB, PE⊥AB， 所以PE⊥平面ABCD， 因為在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝. 因為底面ABCD是直角梯形，所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD＝××(1＋2)×1×＝. 　本例第(2)問在求四棱錐P-ABCD的高時，充分利用了三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線線垂直線面垂直面面垂直 [教師備選例題]　 (2015·全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD. (1)證明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝1

13、20°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積． [解]　(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD. 因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE. 故AC⊥平面BED. 又AC平面AEC， 所以平面AEC⊥平面BED. (2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝. 因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝x. 由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2. 從而可得AE＝EC＝ED＝. 所以

14、△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2. 　(2019·銀川一模)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點． (1)求證：平面MOC⊥平面VAB； (2)求三棱錐B-VAC的高． [解]　(1)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點， ∴OC⊥AB. ∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB. ∵OC平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB. (2)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝

15、， ∴AB＝2，OC＝1， ∴等邊△VAB的面積為S△VAB＝×22×sin 60°＝， 又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM， △AMC中，AM＝1，AC＝，MC＝， ∴S△AMC＝×1×＝，∴S△VAC＝2S△MAC＝， 由三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等， 即S△VAC·h＝S△VAB·OC, ∴h＝＝， 即三棱錐B-VAC的高為. 考點3　平行與垂直的綜合問題 　探索性問題中的平行與垂直關(guān)系 　處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據(jù)條件猜測點的位置，再給出證明．探索點存在問題，點多為中點或n等分點中的某一個，需根據(jù)相關(guān)的知識確定點的位置．

16、 　(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點． (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE； (3)棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由． [解]　(1)證明：因為PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC. (2)證明：因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD，所以A

17、B⊥AE. 又AB∩PA＝A， 所以AE⊥平面PAB. 因為AE平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. (3)棱PB上存在點F，使得CF∥平面PAE. 取F為PB的中點，取G為PA的中點，連接CF，F(xiàn)G，EG. 則FG∥AB，且FG＝AB. 因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點， 所以CE∥AB，且CE＝AB. 所以FG∥CE，且FG＝CE. 所以四邊形CEGF為平行四邊形． 所以CF∥EG. 因為CF平面PAE，EG平面PAE， 所以CF∥平面PAE. 　對命題條件的探索的三種途徑 途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明． 途徑二：先通過

18、命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性． 途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題． 　如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. (1)求證：C1E∥平面ADF； (2)設(shè)點M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF. [解]　(1)證明：連接CE交AD于O，連接OF. 因為CE，AD為△ABC的中線， 則O為△ABC的重心， 故＝＝，故OF∥C1E， 因為OF平面ADF，C1E平面ADF， 所以C1E∥平面ADF. (2)當(dāng)BM＝1時，平面CAM⊥平面

19、ADF. 證明如下：因為AB＝AC，D為BC的中點， 故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BB1⊥平面ABC，BB1平面B1BCC1， 故平面B1BCC1⊥平面ABC. 又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD平面ABC， 所以AD⊥平面B1BCC1， 又CM平面B1BCC1，故AD⊥CM. 又BM＝1，BC＝2，CD＝1，F(xiàn)C＝2， 故Rt△CBM≌Rt△FCD. 易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD平面ADF， 故CM⊥平面ADF. 又CM平面CAM， 故平面CAM⊥平面ADF. 　折疊問題中的平行與垂直關(guān)系 　解決平面圖形翻

20、折問題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變”． (1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變； (2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變． 　(2018·全國卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達(dá)點D的位置，且AB⊥DA. (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q-ABP的體積． [解]　(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC平面ACD， 所

21、以AB⊥平面ACD. 又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3. 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2. 如圖，過點Q作QE⊥AC，垂足為E， 則QE∥DC且QE＝DC. 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱錐Q-ABP的體積為 VQ-ABP＝×S△ABP×QE ＝××3×2sin 45°×1＝1. 　本例第(1)問是垂直關(guān)系證明問題，求解的關(guān)鍵是抓住“BA⊥AC”折疊過程中始終不變；本例第(2)問是計算問題，求解的關(guān)鍵是抓住“∠ACM＝90°”折疊過程中始終不變

22、．即折疊問題的處理可采用：不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決. [教師備選例題] 如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. [證明]　(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD， 則AB∥EF. 又因為EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD.

23、 因為AD平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC， BC平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC. 　如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分 別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC＝. (1)　　　　　 　　(2) (1)證明：DE∥平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF. [證明]　(1)在折疊后的圖形中，因為AB＝AC，AD＝AE，所以＝， 所以DE∥BC. 因為DE平面BCF，BC平面BCF， 所以DE∥平面BCF. (2)在折疊前的圖形中，因為△ABC為等邊三角形，BF＝CF， 所以AF⊥BC，則在折疊后的圖形中，AF⊥BF，AF⊥CF. 又BF＝CF＝，BC＝， 所以BC2＝BF2＋CF2， 所以BF⊥CF. 又BF∩AF＝F，BF平面ABF， AF平面ABF， 所以CF⊥平面ABF.