高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書(shū)：第8章 第4節(jié) 垂直關(guān)系 Word版含解析

第四節(jié)垂直關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直(2)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行ab 2二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直(2)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直l直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()(2)若，aa.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.()答案(1)×(2)×(3) ×(4)×二、教材改編1設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m.()A若l，則B若，則lmC若l，則D若，則lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正確2下列命題中不正確的是()A如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么lAA錯(cuò)誤，l與可能平行或相交，其余選項(xiàng)均正確3.如圖所示，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)4PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而B(niǎo)CPC.因此ABC，PBC也是直角三角形4在三棱錐P­ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心(1)外(2)垂(1)如圖，PO平面ABC，連接OA，OB，OC，在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC，故OAOBOC，O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC可知PA平面PBC，PABC，又POBC，BC平面PAO，AOBC，同理BOAC，COAB.故O是ABC的垂心考點(diǎn)1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.證明線面垂直的常用方法(1)判定定理(2)垂直于平面的傳遞性(3)面面垂直的性質(zhì)2證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.通過(guò)本例的訓(xùn)練我們發(fā)現(xiàn)：判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識(shí)，特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且ADDB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求證：PACD.證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ACCB，在RtACB中，由ACBC，得ABC30°.設(shè)AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DB·BCcos 30°3，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因?yàn)镻D平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是：先尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決，作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明(2)證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過(guò)證明線線垂直線面垂直面面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)(3)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件(2019·衡水中學(xué)模擬)如圖，四棱錐P­ABCD的底面ABCD為直角梯形，ABDC，ABC90°，PAB120°，DCPC2.PAABBC1.(1)證明：平面PAB平面PBC；(2)求四棱錐P­ABCD的體積解(1)證明：在PAB中，由PAAB1，PAB120°，得PB，因?yàn)镻C2，BC1，PB，所以PB2BC2PC2，即BCPB；因?yàn)锳BC90°，所以BCAB，又PBABB，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.(2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PEAB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示由(1)知BC平面PAB，因?yàn)锽C平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.又平面PAB平面ABCDAB, PEAB，所以PE平面ABCD，因?yàn)樵赗tPEA中，PA1，PAE60°，所以PE.因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形，所以四棱錐P­ABCD的體積為VP­ABCD××(12)×1×.本例第(2)問(wèn)在求四棱錐P­ABCD的高時(shí)，充分利用了三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直教師備選例題(2015·全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC，三棱錐E­ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱錐E­ACD的體積VE­ACD×AC·GD·BEx3，故x2.從而可得AEECED.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E­ACD的側(cè)面積為32.(2019·銀川一模)如圖，在三棱錐V­ABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC，且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)(1)求證：平面MOC平面VAB；(2)求三棱錐B­VAC的高解(1)證明：ACBC，O為AB的中點(diǎn)，OCAB.平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC, 平面MOC平面VAB.(2)在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，等邊VAB的面積為SVAB×22×sin 60°，又OC平面VAB，OCOM，AMC中，AM1，AC，MC，SAMC×1×，SVAC2SMAC，由三棱錐V­ABC的體積與三棱錐C­VAB的體積相等，即SVAC·hSVAB·OC, h，即三棱錐B­VAC的高為.考點(diǎn)3平行與垂直的綜合問(wèn)題探索性問(wèn)題中的平行與垂直關(guān)系處理空間中平行或垂直的探索性問(wèn)題，一般先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置，再給出證明探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或n等分點(diǎn)中的某一個(gè)，需根據(jù)相關(guān)的知識(shí)確定點(diǎn)的位置(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)(1)求證：BD平面PAC；(2)若ABC60°，求證：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF平面PAE？說(shuō)明理由解(1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，ABC60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AECD，所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因?yàn)锳E平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，使得CF平面PAE.取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)G，EG.則FGAB，且FGAB.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四邊形CEGF為平行四邊形所以CFEG.因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.對(duì)命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明途徑二：先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性途徑三：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題如圖，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求證：C1E平面ADF；(2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM平面ADF.解(1)證明：連接CE交AD于O，連接OF.因?yàn)镃E，AD為ABC的中線，則O為ABC的重心，故，故OFC1E，因?yàn)镺F平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)當(dāng)BM1時(shí)，平面CAM平面ADF.證明如下：因?yàn)锳BAC，D為BC的中點(diǎn)，故ADBC.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，F(xiàn)C2，故RtCBMRtFCD.易證CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.折疊問(wèn)題中的平行與垂直關(guān)系解決平面圖形翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變”(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變(2018·全國(guó)卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90°.以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQDA，求三棱錐Q­ABP的體積解(1)證明：由已知可得，BAC90°，即BAAC.又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QEAC，垂足為E，則QEDC且QEDC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐Q­ABP的體積為VQ­ABP×SABP×QE××3×2sin 45°×11.本例第(1)問(wèn)是垂直關(guān)系證明問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是抓住“BAAC”折疊過(guò)程中始終不變；本例第(2)問(wèn)是計(jì)算問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是抓住“ACM90°”折疊過(guò)程中始終不變即折疊問(wèn)題的處理可采用：不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決. 教師備選例題如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，則ABEF.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.如圖(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，ADAE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A­BCF，其中BC.(1) (2)(1)證明：DE平面BCF；(2)證明：CF平面ABF.證明(1)在折疊后的圖形中，因?yàn)锳BAC，ADAE，所以，所以DEBC.因?yàn)镈E平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.(2)在折疊前的圖形中，因?yàn)锳BC為等邊三角形，BFCF，所以AFBC，則在折疊后的圖形中，AFBF，AFCF.又BFCF，BC，所以BC2BF2CF2，所以BFCF.又BFAFF，BF平面ABF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.