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1、第2節(jié) 雙曲線及其性質(zhì)題型116 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.（2013江西理14）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則 2.(2013陜西理11） 雙曲線的離心率為，則等于 .3（2013廣東理7）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率等于，在雙曲線的方程是（ ）.A B C D4.（2014 天津理 5）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（）.A. B.C. D.5.（2014 廣東理 4）若實(shí)數(shù)滿足則曲線與曲線的（ ）.A.焦距相等 B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 C. 虛半軸長(zhǎng)相等 D.離心率相等6.（2014 北京理 11）設(shè)雙曲
2、線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為_(kāi)；漸近線方程為_(kāi).7.（2015福建理3）若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（ ）.A11B9 C5D37解析由雙曲線定義得，即，得故選B8.（2015廣東理7）已知雙曲線的離心率，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ）.A B C D8解析 因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為，且離心率為，所以，所以，所以所求雙曲線方程為.故選C9.（2015天津理6）已知雙曲線 的一條漸近線過(guò)點(diǎn) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ）.A B C D9解析 雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在漸近線上，所以，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線方程上，所以
3、，由此可解得，所以雙曲線方程為.故選D.10.（2016江蘇3）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距是 10. 解析 ，故焦距為11.（2016全國(guó)乙理5）已知方程Error! No bookmark name given.Error! No bookmark name given.表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D.11. A 解析 由表示雙曲線，則，得，所以焦距，得，因此.故選A.12.（2016天津理6）已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，四點(diǎn)，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（ ）.A. B. C.
4、 D.12. D 解析 根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，聯(lián)立，得.所以，得.故雙曲線的方程為.故選D.13.（2016北京理13）雙曲線的漸近線為正方形的邊，所在的直線，點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形的邊長(zhǎng)為，則_.13. 解析 可得雙曲線C的漸近線方程為，所以.再由正方形的邊長(zhǎng)為，得其對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，解得.14.（2017北京理9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)_.14. 解析 由題知，則.15.（2017天津理5）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（ ）.A. B. C. D.15.解析 由題意得，所以.又因?yàn)?，所以，則雙曲線方程為.
5、故選B.16.（2017全國(guó)3卷理科5）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（ ）.ABCD16解析 因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則 又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知，則 由,，解得，則雙曲線的方程為.故選B.題型117 雙曲線的漸近線1.（2013江蘇3）雙曲線的兩條漸近線的方程為 .2（2013四川理6）拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（ ）A. B. C. D.3. (2013福建理3）雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于（ ）.A. B. C. D. 4.（2014 新課標(biāo)1理4）已知是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為（ ）.A. B. C. D
6、. 5.（2014 山東理 10）已知,橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）.A. B. C. D.6.（2014 北京理 11）設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為_(kāi)；漸近線方程為_(kāi).7.（2015安徽理4）下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（ ）.A B C D7. 解析 由題可得選項(xiàng)A，C的漸近線方程都為，但選項(xiàng)A的焦點(diǎn)在軸上故選C8.（2015北京理10）已知雙曲線的一條漸近線為，則 .8. 解析 依題意，雙曲線的漸近線方程為，則，得.9.（2015江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)到直線的距離大于恒成立，則實(shí)
7、數(shù)的最大值為 9. 解析 找到到直線的最小距離（或取不到），該值即為實(shí)數(shù)的最大值由雙曲線的漸近線為，易知與平行，因此該兩平行線間的距離即為最小距離（且無(wú)法達(dá)到），故實(shí)數(shù)的最大值為10.（2015四川理5）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，則（ ）.A. B. C. 6D. 10. 解析 由題意可得，故.所以漸近線的方程為.將代入漸近線方程，得.則.故選D.11.（2015浙江理9）雙曲線的焦距是 ，漸近線方程是 11. 解析 因?yàn)?，所以焦距是，漸近線方程為.12.（2015重慶理10）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作，的垂線
8、，兩垂線交于點(diǎn).若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 12. 解析 根據(jù)題意知點(diǎn)一定在軸上，所以點(diǎn)到直線的距離為，由圖知，又因?yàn)椋?，解出，所以，根?jù)實(shí)際情況，所以故選A13.（2016上海理21（1）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于，兩點(diǎn).若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；13.解析 （1）由已知，不妨取，則，由題意，又，所以，即，解得，因此漸近線方程為14.（2017江蘇08）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是 14.解析 雙曲線的漸近線方程為，而右準(zhǔn)線為，
9、所以，從而故填15.（2017山東理14）.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .15. 解析 設(shè)，由題意得.又，所以，從而雙曲線的漸近線方程為.題型118 雙曲線離心率的值及取值范圍1(2013湖南理14）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若 且的最小內(nèi)角為，則的離心率為_(kāi).2.（2013浙江理9）如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是，在第二.四象限的公共點(diǎn).若四邊形為矩形，則的離心率是A. B. C. D.3（2013湖北理5）已知，則雙曲線與 的（ ）. A 實(shí)軸長(zhǎng)相等 B虛軸長(zhǎng)相等 C焦距相等 D離心率相等4.（2014 重慶理 8）
10、設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，則該雙曲線的離心率為（ ）.A. B. C. D. 5.（2014 湖北理 9）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）.A. B. C.3 D.26.（2014 浙江理 14）設(shè)直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是_.7.（2015湖北理8）將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A對(duì)任意的， B當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C對(duì)任意的， D當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，7解析 由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選D.命題意圖 考查雙曲線的有
11、關(guān)概念、性質(zhì)及比較實(shí)數(shù)大小的基本方法8.（2015湖南理13）設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的離心率為 .8. 解析 根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，短軸端點(diǎn)為，從而可知點(diǎn)在雙曲線上，所以.9.（2015全國(guó)II理11）已知為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（ ）A. B. C. D. 9. 解析 設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，由，則過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為， 在中，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，即有，所以.故選D命題意圖 在圓錐曲線的考查中，雙曲線經(jīng)常以選擇或填空題的形式出現(xiàn).一般抓住其定義和性質(zhì)可以求解.本題中要充分利用頂角為的等腰三角形
12、的性質(zhì)來(lái)求解.10.(2015山東理15)平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn). 若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為 .10.解析 由題意，可設(shè)所在直線方程為，則所在直線方程為，聯(lián)立，解得，而拋物線的焦點(diǎn)為的垂心，所以，所以，所以，所以，所以11.（2016山東理13）已知雙曲線，若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的離心率是_. 11. 解析 由題意，又因?yàn)?，則，于是點(diǎn)在雙曲線上，代入方程，得，再由得的離心率為.12.（2016全國(guó)甲理11）已知，是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與軸垂直，則E的離心率為（ ）.A. B. C. D.212. A 解析 離心率，因?yàn)?，?/p>
13、以.故選A13.（2016四川理19）已知數(shù)列的首項(xiàng)為， 為數(shù)列的前項(xiàng)和， ，其中， .（1）若，成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：.13.解析 （1）由已知得，兩式相減得到，.又由得到，故對(duì)所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.從而.由，成等差數(shù)列，可得，即，則.又，所以.所以.（2）由（1）可知，.所以雙曲線的離心率 .由，解得.因?yàn)椋?于是，故.14.（2107全國(guó)2卷理科9）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ）.A2 B C D14解析 取漸近線，化成一般式，圓心到直線的距離為，得，故選A.15.（2017全國(guó)1卷理科15）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn).若，則的離心率為_(kāi).15. 解析 如圖所示，.因?yàn)椋?，從?又因?yàn)?，所以，解得，則.題型119 雙曲線的焦點(diǎn)三角形1.（2014 大綱理 9）已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則（ ）.A B C D
2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-2 雙曲線及其性質(zhì)（理科）
