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1、第2節(jié) 雙曲線及其性質(zhì)題型116 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2013江西理14)拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn),若為等邊三角形,則 2.(2013陜西理11) 雙曲線的離心率為,則等于 .3(2013廣東理7)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,離心率等于,在雙曲線的方程是( ).A B C D4.(2014 天津理 5)已知雙曲線的一條漸近線平行于直線:,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上,則雙曲線的方程為().A. B.C. D.5.(2014 廣東理 4)若實(shí)數(shù)滿足則曲線與曲線的( ).A.焦距相等 B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 C. 虛半軸長(zhǎng)相等 D.離心率相等6.(2014 北京理 11)設(shè)雙曲
2、線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與具有相同漸近線,則的方程為_(kāi);漸近線方程為_(kāi).7.(2015福建理3)若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在雙曲線上,且,則( ).A11B9 C5D37解析由雙曲線定義得,即,得故選B8.(2015廣東理7)已知雙曲線的離心率,且其右焦點(diǎn)為,則雙曲線的方程為( ).A B C D8解析 因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為,且離心率為,所以,所以,所以所求雙曲線方程為.故選C9.(2015天津理6)已知雙曲線 的一條漸近線過(guò)點(diǎn) ,且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為( ).A B C D9解析 雙曲線的漸近線方程為,由點(diǎn)在漸近線上,所以,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線方程上,所以
3、,由此可解得,所以雙曲線方程為.故選D.10.(2016江蘇3)在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的焦距是 10. 解析 ,故焦距為11.(2016全國(guó)乙理5)已知方程Error! No bookmark name given.Error! No bookmark name given.表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為,則的取值范圍是( ).A. B. C. D.11. A 解析 由表示雙曲線,則,得,所以焦距,得,因此.故選A.12.(2016天津理6)已知雙曲線,以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于,四點(diǎn),四邊形的面積為,則雙曲線的方程為( ).A. B. C.
4、 D.12. D 解析 根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)在第一象限,聯(lián)立,得.所以,得.故雙曲線的方程為.故選D.13.(2016北京理13)雙曲線的漸近線為正方形的邊,所在的直線,點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形的邊長(zhǎng)為,則_.13. 解析 可得雙曲線C的漸近線方程為,所以.再由正方形的邊長(zhǎng)為,得其對(duì)角線的長(zhǎng),所以,解得.14.(2017北京理9)若雙曲線的離心率為,則實(shí)數(shù)_.14. 解析 由題知,則.15.(2017天津理5)已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,離心率為.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( ).A. B. C. D.15.解析 由題意得,所以.又因?yàn)?,所以,則雙曲線方程為.
5、故選B.16.(2017全國(guó)3卷理科5)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則的方程為( ).ABCD16解析 因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為,則 又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),易知,則 由,,解得,則雙曲線的方程為.故選B.題型117 雙曲線的漸近線1.(2013江蘇3)雙曲線的兩條漸近線的方程為 .2(2013四川理6)拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是( )A. B. C. D.3. (2013福建理3)雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于( ).A. B. C. D. 4.(2014 新課標(biāo)1理4)已知是雙曲線:的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為( ).A. B. C. D
6、. 5.(2014 山東理 10)已知,橢圓的方程為,雙曲線的方程為,與的離心率之積為,則的漸近線方程為( ).A. B. C. D.6.(2014 北京理 11)設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與具有相同漸近線,則的方程為_(kāi);漸近線方程為_(kāi).7.(2015安徽理4)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是( ).A B C D7. 解析 由題可得選項(xiàng)A,C的漸近線方程都為,但選項(xiàng)A的焦點(diǎn)在軸上故選C8.(2015北京理10)已知雙曲線的一條漸近線為,則 .8. 解析 依題意,雙曲線的漸近線方程為,則,得.9.(2015江蘇12)在平面直角坐標(biāo)系中,為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)到直線的距離大于恒成立,則實(shí)
7、數(shù)的最大值為 9. 解析 找到到直線的最小距離(或取不到),該值即為實(shí)數(shù)的最大值由雙曲線的漸近線為,易知與平行,因此該兩平行線間的距離即為最小距離(且無(wú)法達(dá)到),故實(shí)數(shù)的最大值為10.(2015四川理5)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn),則( ).A. B. C. 6D. 10. 解析 由題意可得,故.所以漸近線的方程為.將代入漸近線方程,得.則.故選D.11.(2015浙江理9)雙曲線的焦距是 ,漸近線方程是 11. 解析 因?yàn)?,所以焦距是,漸近線方程為.12.(2015重慶理10)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,過(guò)作的垂線與雙曲線交于,兩點(diǎn),過(guò),分別作,的垂線
8、,兩垂線交于點(diǎn).若到直線的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( ).A. B. C. D. 12. 解析 根據(jù)題意知點(diǎn)一定在軸上,所以點(diǎn)到直線的距離為,由圖知,又因?yàn)椋?,解出,所以,根?jù)實(shí)際情況,所以故選A13.(2016上海理21(1)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,直線過(guò)且與雙曲線交于,兩點(diǎn).若的傾斜角為,是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;13.解析 (1)由已知,不妨取,則,由題意,又,所以,即,解得,因此漸近線方程為14.(2017江蘇08)在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn),其焦點(diǎn)是,則四邊形的面積是 14.解析 雙曲線的漸近線方程為,而右準(zhǔn)線為,
9、所以,從而故填15.(2017山東理14).在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn),若,則該雙曲線的漸近線方程為 .15. 解析 設(shè),由題意得.又,所以,從而雙曲線的漸近線方程為.題型118 雙曲線離心率的值及取值范圍1(2013湖南理14)設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是上一點(diǎn),若 且的最小內(nèi)角為,則的離心率為_(kāi).2.(2013浙江理9)如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),分別是,在第二.四象限的公共點(diǎn).若四邊形為矩形,則的離心率是A. B. C. D.3(2013湖北理5)已知,則雙曲線與 的( ). A 實(shí)軸長(zhǎng)相等 B虛軸長(zhǎng)相等 C焦距相等 D離心率相等4.(2014 重慶理 8)
10、設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)使得,則該雙曲線的離心率為( ).A. B. C. D. 5.(2014 湖北理 9)已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( ).A. B. C.3 D.26.(2014 浙江理 14)設(shè)直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點(diǎn),若點(diǎn)滿足,則該雙曲線的離心率是_.7.(2015湖北理8)將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度,得到離心率為的雙曲線,則( ) A對(duì)任意的, B當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), C對(duì)任意的, D當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),7解析 由題意,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選D.命題意圖 考查雙曲線的有
11、關(guān)概念、性質(zhì)及比較實(shí)數(shù)大小的基本方法8.(2015湖南理13)設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),若上存在點(diǎn),使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn),則的離心率為 .8. 解析 根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè),短軸端點(diǎn)為,從而可知點(diǎn)在雙曲線上,所以.9.(2015全國(guó)II理11)已知為雙曲線的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)在上,為等腰三角形,且頂角為,則的離心率為( )A. B. C. D. 9. 解析 設(shè)雙曲線方程為,如圖所示,由,則過(guò)點(diǎn)作軸,垂足為, 在中,故點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入雙曲線方程可得,即有,所以.故選D命題意圖 在圓錐曲線的考查中,雙曲線經(jīng)常以選擇或填空題的形式出現(xiàn).一般抓住其定義和性質(zhì)可以求解.本題中要充分利用頂角為的等腰三角形
12、的性質(zhì)來(lái)求解.10.(2015山東理15)平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn). 若的垂心為的焦點(diǎn),則的離心率為 .10.解析 由題意,可設(shè)所在直線方程為,則所在直線方程為,聯(lián)立,解得,而拋物線的焦點(diǎn)為的垂心,所以,所以,所以,所以,所以11.(2016山東理13)已知雙曲線,若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上,的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn),且,則的離心率是_. 11. 解析 由題意,又因?yàn)?,則,于是點(diǎn)在雙曲線上,代入方程,得,再由得的離心率為.12.(2016全國(guó)甲理11)已知,是雙曲線E:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,與軸垂直,則E的離心率為( ).A. B. C. D.212. A 解析 離心率,因?yàn)?,?/p>
13、以.故選A13.(2016四川理19)已知數(shù)列的首項(xiàng)為, 為數(shù)列的前項(xiàng)和, ,其中, .(1)若,成等差數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)雙曲線 的離心率為 ,且 ,證明:.13.解析 (1)由已知得,兩式相減得到,.又由得到,故對(duì)所有都成立.所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.從而.由,成等差數(shù)列,可得,即,則.又,所以.所以.(2)由(1)可知,.所以雙曲線的離心率 .由,解得.因?yàn)椋?于是,故.14.(2107全國(guó)2卷理科9)若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則的離心率為( ).A2 B C D14解析 取漸近線,化成一般式,圓心到直線的距離為,得,故選A.15.(2017全國(guó)1卷理科15)已知雙曲線的右頂點(diǎn)為,以為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn).若,則的離心率為_(kāi).15. 解析 如圖所示,.因?yàn)椋?,從?又因?yàn)?,所以,解得,則.題型119 雙曲線的焦點(diǎn)三角形1.(2014 大綱理 9)已知雙曲線的離心率為,焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,若,則( ).A B C D