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1、第3節(jié) 拋物線及其性質(zhì)題型120 拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.（2013浙江理15）設(shè)為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點為線段 的中點，若，則直線的斜率等于_.2.(2013全國新課標(biāo)卷理11）設(shè)拋物線的焦點為，點在上，若以為直徑的圓過點，則的方程為（ ）.A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.（2013山東理11） 拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則（ ）.A. B. C. D. 4.(2013天津理5）已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點 若雙曲線的離心率為， 的面積為， 則（ ）. A B C
2、D 5.（2014 湖南理 15）如圖所示，正方形和正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經(jīng)過，兩點，則_.6.（2015陜西理14）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則_6解析 的焦點坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線方程為，所以.命題意圖 考查雙曲線、拋物線的基本概念.7.（2016全國乙理10）以拋物線的頂點為圓心的圓交于，兩點，交的準(zhǔn)線于，兩點.已知， ，則的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）.A. B. C. D.7. B 分析 以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理.解析 設(shè)拋物線為，圓的方程為，如圖所示.設(shè)，點在拋物線上，所以，得，聯(lián)立，解得，即.則的焦點到準(zhǔn)線的距離為4 .故選B.8.（2016
3、浙江理9）若拋物線上的點到焦點的距離為，則到軸的距離是_8. 解析 由題意知，該拋物線的焦點，準(zhǔn)線為.因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，所以點到軸的距離為9.9.（2017北京理18（1）已知拋物線過點.過點作直線與拋物線交于不同的兩點，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，其中為原點.（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；9.解析 （1）由拋物線過點，得.所以拋物線的方程為，拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.10.（2017全國2卷理科16）已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點若為的中點，則 10解析 由，得，焦點為，準(zhǔn)線.如圖所示，由為的中點，故易知線段為梯
4、形的中位線.因為，所以.又由拋物線的定義知，且，所以.題型121 與拋物線有關(guān)的距離和最值問題暫無1.（2014 新課標(biāo)1理10）已知拋物線： 的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則（ ）.A. B. C. D. 2.（2017全國1卷理科10）已知為拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，則的最小值為（ ）.A B C D2. 解析 解法一：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，直線，直線.聯(lián)立，消去整理得，所以，同理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選A.解法二：設(shè)的傾斜角為，拋物線的準(zhǔn)焦距為作垂直準(zhǔn)線于點，垂直軸于點，如圖所示.易知，所以，即
5、，同理，所以.又與垂直，即的傾斜角為，.而，即，所以，當(dāng)時取等號，即的最小值為.故選A.題型122 拋物線中三角形、四邊形的面積問題暫無1.（2014 新課標(biāo)2理10）設(shè)為拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線交于于兩點，為坐標(biāo)原點，則的面積為（ ）.A. B. C. D.2.（2014 四川理 10）已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點），則與面積之和的最小值是（ ）.A B C D3.（2015浙江理5）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是（ ）A. B. C. D. 3. 解析 依題意，故選A4
6、.（2016天津理14）設(shè)拋物線（為參數(shù)，）的焦點為，準(zhǔn)線為.過拋物線上一點作的垂線，垂足為.設(shè)，與相交于點.若，且的面積為，則的值為_.4. 解析 拋物線的普通方程為，.又，則.由拋物線的定義得，所以，則.由，得，所以，即，5.（2016上海理20）有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點或河邊運走于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點為的中點，點的坐標(biāo)為，如圖所示（1）求菜地內(nèi)的分界線的方程；（2）菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值”為設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點，請計算以為一邊，另一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值5.解析 （1）不妨設(shè)設(shè)分界線上任一點為，依題意化簡得（2）因為，所以，設(shè)以為一邊，另一邊過點的矩形的面積為，則，設(shè)五邊形面積為，過作交于點，則，因為，所以五邊形的面積更接近的面積題型（附） 拋物線（線性規(guī)劃）1.（2013江蘇9）拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點是區(qū)域內(nèi)的任意一點，則的取值范圍是 .
2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-3 拋物線及其性質(zhì)（理科）
