《2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-5 直線與圓錐曲線（理科）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-5 直線與圓錐曲線（理科）（52頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5節(jié) 直線與圓錐曲線題型124 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.(2013重慶理21）如圖，橢圓的中心為原點，長軸在軸上，離心率，過左焦點作軸的垂線交橢圓于兩點，.（1）求該橢圓的標準方程；（2）取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點均在圓外.若，求圓的標準方程.2(2013湖南理21）過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點，相交于點.以為直徑的圓，圓（為圓心）的公共弦所在的直線記為.（1）若，證明；（2）若點到直線的距離的最小值為，求拋物線的方程.3.（2013江西理20） 如圖，橢圓經(jīng)過點，離心率，直線的方程為(1) 求橢圓的方程； (2)
2、 是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點），設(shè)直線與直線相交于點，記 的斜率分別為問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由4.（2014 遼寧理 10）已知點在拋物線：的準線上，過點的直線與在第一象限相切于點，記的焦點為，則直線的斜率為（ ）.A B C D5.（2014 福建理 19）（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩條漸近線分別為，. （1）求雙曲線的離心率； （2）如圖所示，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.6.（2014 天津理 18）（本
3、小題滿分13分）設(shè)橢圓的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為.已知.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切. 求直線的斜率.7.（2014 湖北理 21）（滿分14分）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多，記點的軌跡為.（1）求軌跡為的方程；（2）設(shè)斜率為的直線過定點.求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.8.（2015北京理19）已知橢圓的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點.（1）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表）；（2）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點.問：軸上是否存在
4、點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.8. 解析 （1）因為，所以，又點在橢圓：上，則，因此橢圓的方程為，直線的方程：，令，可得，所以點的坐標是.（2）點與關(guān)于軸對稱，所以，直線的方程：，令，所以可得，則，因為，所以，所以，即，因為，又點在橢圓上，所以，即，所以，得.9.（2015福建理18）已知橢圓過點，且離心率(1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線交橢圓于，兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由9.分析 本小題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想解析 解法一：（1）由已知得，
5、解得，所以橢圓的方程為（2）設(shè)點，的中點為由，得，所以，從而，所以，故，所以故點在以為直徑的圓外解法二：（1）同解法一（2）設(shè)點，則，由，得，所以，從而，所以又，不共線，所以為銳角故點在以為直徑的圓外10.（2015全國I理20）在直角坐標系中，曲線與直線 交于，兩點.（1）當時，分別求在點和處的切線方程；（2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由.10.解析 （1）由題意知，時，聯(lián)立，解得，又，在點處，切線方程為，即，在點處，切線方程為，即故所求切線方程為和（2）存在符合題意的點，證明如下：設(shè)點為符合題意的點，直線，的斜率分別為，聯(lián)立方程，得，故，從而當時，有，則直線與直線的傾斜角互
6、補，故，所以點符合題意11.（2015天津理19）已知橢圓的左焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，.（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.11分析 (1)由橢圓知識先求出的關(guān)系，設(shè)直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值； (2)由(1)設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，由可求出，從而可求橢圓方程；(3)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍.解析 (1)由已知有，又由，可得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解
7、得.(2)由(1)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因為點在第一像限，可得的坐標為，由，解得，所以橢圓方程為.(3)設(shè)點的坐標為，直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.當時，有，因此，于是，得；當時，有，因此，于是，得綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.12.（2016四川理20）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的個頂點，直線與橢圓有且只有一個公共點.（1）求橢圓的方程及點的坐標；（2）設(shè)是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點.證明：存在常數(shù)，
8、使得，并求的值.12.解析 (1)由已知，則橢圓的方程為.有方程組 得.方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓的方程為.點坐標為.(2)由已知可設(shè)直線的方程為，有方程組，可得.所以點坐標為，.設(shè)點，的坐標分別為，.由方程組可得 方程的判別式為，由，解得.由得，.所以 ，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.13.（2017江蘇17）如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，兩準線之間的距離為點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線的交點在橢圓上，求點的坐標13.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，解得，因此，所以
9、橢圓的標準方程為（2）由（1）知，設(shè)，因為點為第一象限的點，故當時，與相交于，與題設(shè)不符當時，直線的斜率為，直線的斜率為因為，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程為 直線的方程為 聯(lián)立，解得，所以因為點在橢圓上，由對稱性得，即或又點在橢圓上，故由，解得；由，無解因此點的坐標為14.（2017北京理18）已知拋物線過點.過點作直線與拋物線交于不同的兩點，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，其中為原點.（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（2）求證：為線段的中點.14.解析 （1）由拋物線過點，得.所以拋物線的方程為，拋物線的焦點坐標為，準線方程為.（2）解法一：由題意，設(shè)直線
10、的方程為，與拋物線的交點為，.由，得.則，.因為點的坐標為，所以直線的方程為，點的坐標為.因為直線的方程為，所以點的坐標為.因為，所以.故為線段的中點.解法二：要證為的中點，且相同，只需證，等式兩邊同時除以，則有.因為.又，所以等式成立，即為的中點.題型125 弦長與面積問題1.（2013浙江理21）如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑.是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點，交橢圓于另一點（1）求橢圓的方程；（2）求面積取最大值時直線的方程.2.(2013全國新課標卷理20）平面直角坐標系中，過橢圓右焦點的直線交于兩點，為的中點，且的斜率為.（1）求的方程；（2）為上的兩點，若四邊
11、形的對角線，求四邊形的最大值.3（2013廣東理20）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線:的距離為.設(shè) 為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點(1) 求拋物線的方程；(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；(3) 當點在直線上移動時，求的最小值.4（2013四川理20） 已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經(jīng)過點（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于，兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程5（2013湖北理21） 如圖，已知橢圓與 的中心坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，（），過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為記， 和的面積分別為和
12、(1) 當直線與軸重合時，若，求的值；(2) 當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線，使得？并說明理由第21題圖6.(2013福建理18）如圖，在正方形中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，分別將線段和十等分，分點分別記為和，連接，過作軸的垂線與交于點（1） 求證：點都在同一條拋物線上，并求拋物線的方程；（2） 過點作直線與拋物線交于不同的兩點， 若與的面積之比為 ，求直線的方程7.（2014 新課標2理20）（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點，是上一點且與軸垂直.直線與的另一個交點為. （1）若直線的斜率為，求的離心率； （2）若直線在軸上的截距為，且，求.8.（2014 新課標
13、1理20） （本小題滿分12分）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點. （1）求的方程； （2）設(shè)過點的直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求的方程.9.（2014 山東理 21）（本小題滿分14分） 已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有|，當點的橫坐標為時，為正三角形.（1）求的方程；（2）若直線，且和有且只有一個公共點， （i）證明直線過定點，并求出定點坐標； （ii）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.10.（2014 湖南理 21）如圖所示，為坐標原點，橢圓的左右焦點分別為，離
14、心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為,已知，且. （1）求的方程； （2）過點作的不垂直于軸的弦，為的中點，當直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值.11.（2014 安徽理 19）（本小題滿分13分)如圖所示，已知兩條拋物線：和：，過原點的兩條直線和，與，分別交于，兩點，與，分別交于，兩點. （1）證明：； （2）過原點作直線（異于，）與，分別交于，兩點.記與的面積分別為與，求的值.12.（2015湖北理21）一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，且，當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞轉(zhuǎn)動一周（D不動時，N也不動），M
15、處的筆尖畫出的曲線記為C以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系（1）求曲線的方程；（2）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由第21題圖1第21題圖2xDOMNy12解析（1）設(shè)點，依題意，且，所以，且即且由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為（2）（i）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有. （ii）當直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去，可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以，即. 又由可得；同理可得.由原點到直線的距離為和，可
16、得. 將代入得，. 當時，；當時，.因，則，所以，當且僅當時取等號.所以當時，的最小值為8.綜合（i）（ii）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，OPQ的面積取得最小值8. 13.（2015江蘇18）如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到直線（其中）的距離為（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線分別交直線和于點，若，求直線的方程13.解析 （1）由題意得，故，即，從而，故橢圓的標準方程為（2）解法一（正設(shè)斜率）：若的斜率不存在時，則方程為，此時，易知此時，不滿足題意；當?shù)男甭蕿闀r，此時亦不滿足題意；因此斜率存在且不為，不妨設(shè)斜率為，則方程，不
17、妨設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓，即，因為點在橢圓內(nèi)，故恒成立，所以，故，又，故，因為，故，即，即，整理得，即，即，解得，從而直線方程為或解法二（反設(shè)）：由題意，直線的斜率必不為，故設(shè)直線方程為，不妨設(shè)，與橢圓聯(lián)立，整理得，因為點在橢圓內(nèi)，故恒成立，故，因此，則點的縱坐標為，于是點的橫坐標為，又，故，所以，因為可得，化簡得，即，化簡得，計算得，從而直線方程為或14.（2016浙江理19（1）如圖所示，設(shè)橢圓.求直線被橢圓截得的線段長（用， 表示）；14.解析 （1）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，聯(lián)立方程，得，解得，因此15.（2016江蘇21 C）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為，橢圓的參數(shù)方程為，設(shè)
18、直線與橢圓相交于兩點，求線段的長15. 解析 解法一（求點）：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為，聯(lián)立，解得或，因此解法二（弦長）：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立得，消得，恒成立，故，所以解法三（幾何意義）：橢圓方程化為普通方程為，直線恒過點，該點在橢圓上，將直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程，得，整理得，故，因此16.（2016全國乙理20）設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點.（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，過且與垂直的直線與圓交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍. 16.解
19、析 (1)如圖所示，圓的圓心為，半徑，因為，所以.又因為，所以，于是 ，所以.故為定值.又，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，由，得.故點的軌跡的方程為.（2）因為直線與軸不重合，故可設(shè)的方程為，過且與垂直的直線方程為.由，得.設(shè)，則，.得.由，得.設(shè)，則，.得.四邊形的面積.因為，所以，故. 即四邊形面積的取值范圍是.17.（2016全國甲理20）已知橢圓:的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，.（1）當，時，求的面積；（2）當時，求的取值范圍.17.解析（1）解法一：當時，由于，根據(jù)對稱性可知，所以 ，得，所以.又，所以，所以.解法二：設(shè)點，且交軸于點. 因為，且
20、，所以， .由，得.又，所以，解之得或.所以 ，所以.（2）解法一：設(shè)直線，.則，所以.同理.因為，所以.所以.解法二：設(shè)直線AM的方程為，聯(lián)立并整理得，解得或，所以，所以.因為，所以，整理得，因為橢圓E的焦點在x軸，所以，即，整理得，解得18.（2016山東理21）平面直角坐標系中，橢圓：的離心率是，拋物線：的焦點是的一個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是上的動點，且位于第一象限，在點處的切線與交與不同的兩點，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點.（i）求證：點在定直線上;（ii）直線與軸交于點，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標.18.解析（1）由題意知，可得
21、：.因為拋物線的焦點為，所以，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程得，由，得，且，因此，將其代入得，因為，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點的縱坐標為，即點在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為，令得，所以，又，所以，所以，令，則，當，即時，取得最大值，此時，滿足，所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為.19.（20 1 7天津理19）設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；（2）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的
22、面積為，求直線的方程.19.解析 (1)依題意設(shè)點，由題意知，且.由對稱性知拋物線的準線方程為，則，解得，于是.從而橢圓的方程為，拋物線的方程為.(2)由于準線的方程為，依題意設(shè)()，則.因為，則，得直線的方程為 將式代入中化簡得.設(shè)點，由韋達定理得，則，即，則，于是得直線方程為.令，解得，即.則，于是，化簡得，即得.代入式化簡得直線方程為，或.20.（2017山東理21）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖所示，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為，.求的最大值，并求取得最大值時
23、，直線的斜率.20.解析 （1）由題意知 ，所以 ，因此橢圓的方程為.（2）設(shè)點，聯(lián)立方程消去整理得，由題意知，且，所以，由題意可知圓的半徑.由題設(shè)知，所以，因此直線的方程為.聯(lián)立方程，解得，因此 .由題意可知 ，而.令，則，因此 ，當且僅當，即時等號成立，此時，所以 ，因此，所以的最大值為.綜上所述，的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.題型126 中點弦問題1.（2014 湖南理 21）如圖所示，為坐標原點，橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為,已知，且. （1）求的方程； （2）過點作的不垂直于軸的弦，為的中點，當直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值.2.（
24、2014 大綱理 21）（本小題滿分12分）已知拋物線：的焦點為，直線與軸的交點為，與的交點為，且.（1）求的方程；（2）過的直線與相交于兩點，若的垂直平分線與相交于兩點，且四點在同一圓上，求的方程.3.（2015全國II理20）已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2） 若過點,延長線段與交于點，四邊形能否平行四邊行？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由.3. 分析（1）求解斜率的有關(guān)問題時，要注意斜率是否存在，然后用斜率的求解方法及直線與圓錐曲線的關(guān)系來進行求解. （2）存在性探究問題的解答不妨設(shè)存在，然后進行計算
25、求解.注意分類討論思想的應(yīng)用和計算的正確性.解析 （1） 根據(jù)題意，因為直線不平行于坐標軸，則斜率必然存在，故設(shè)直線為，則，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（2）不妨設(shè)四邊形能為平行四邊形因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，且由(1)得的方程為設(shè)點的橫坐標為由得，即將點的坐標代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形，當且僅當線段與線段互相平分，即于是解得，因為，所以當?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形命題意圖 解析幾何的考查的方向主要體現(xiàn)在對直線和圓錐曲線方程的計算上，特別是對存在性問題的探究和計算能力的考查，在方法上相對固定，計算難度比較大.
26、4.（2015陜西理20）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的方程4解析 （1）解法一: 由面積法可知，所以. 解法二: 直線經(jīng)過 兩點，由截距式得直線方程為，由點到直線的距離，解法三: 過點的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率. (2)由題意知，是弦的中點，且.設(shè)則， ，-得，.因此方程為.所以，.所以5.（2015浙江理19）已知橢圓上兩個不同的點關(guān)于直線對稱（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標原點）5解析（1）設(shè)：，設(shè)的中點由所以，所以代入直線方程得，. 代入解得
27、, 或.評注 本題還可利用點差法來求解.（2）令，則，又到直線的距離.所以，當且僅當，即時取等號.所以的面積的最大值為.6.（2016江蘇22）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知直線，拋物線（1）若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程；（2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和求證：線段上的中點坐標為；求的取值范圍6.解析 （1）因為，所以與軸的交點坐標為，即拋物線的焦點為，所以，故（2）解法一：設(shè)點，則由，得，故，又因為關(guān)于直線對稱，所以，即，所以，又因為中點一定在直線上，所以，故線段上的中點坐標為；因為中點坐標為，所以，即，所以，即關(guān)于的二次方程有兩個不等根，因此，解得解法二：設(shè)點，線段
28、的中點，因為點和關(guān)于直線對稱，所以直線垂直平分線段，于是直線的斜率為，則可設(shè)其方程為由消去得，（*）因為 和是拋物線上的相異兩點，所以，從而，化簡得方程（*）的兩根為，從而因為在直線上，所以因此，線段的中點坐標為因為在直線上，所以，即由知，于是，所以因此的取值范圍為題型127 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用1(2013湖南理21）過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點，相交于點.以為直徑的圓，圓（為圓心）的公共弦所在的直線記為.（1）若，證明；（2）若點到直線的距離的最小值為，求拋物線的方程.2.(2013安徽理18）設(shè)橢圓的焦點在軸上.（1）若橢圓的焦距為，求橢圓的方程；（2）
29、設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)的點，直線交軸于點，并且.證明：當變化時，點在某定直線上. 3.(2013天津理18） 設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)， 分別為橢圓的左右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點 若，求的值4. (2013安徽理13）已知直線交拋物線于兩點.若該拋物線上存在點，使得為直角，則的取值范圍為 .5.（2014 重慶理 21）如圖，設(shè)橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，的面積為.（1） 求該橢圓的標準方程；（2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的
30、兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑.6.（2014 天津理 18）（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為.已知.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切. 求直線的斜率.7.（2014 陜西理 20）（本小題滿分13分）如圖所示，曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點為，其中的離心率為.（1） 求的值；（2） 過點的直線與分別交于（均異于點），若，求直線的方程.8.（2015全國I理5）已知是雙曲線上的一點，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（ ）.A B C D8.解析 由題可得，且，即，所
31、以，解得故選A9.（2015湖南理20）已知拋物線的焦點F也是橢圓 的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與 同向.（）若，求直線的斜率.（）設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形.9. 解析 (1) 由知其焦點的坐標為（0，1），因為也是橢圓的一個焦點，所以 又與的公共弦長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點坐標為，所以 聯(lián)立 得，故的方程為.(2) 如圖所示，設(shè)，. ()因與同向，且 ，所以 ，從而 ，即，于是. 設(shè)直線的斜率為，則的方程為.由 得，而是這個方程的兩根，所以 由 得，而是這個方
32、程的兩根，所以 將 代入得 ，即，所以 ，解得 ，即直線的斜率為.()由 得 ，所以在點處的切線方程為，即.令得，即，所以，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角. 故直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形.10. (2015山東理20)平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是. 以為圓心以為半徑的圓與以為圓心以為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點. 過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.（i）求的值；（ii）求面積的最大值.10.解析 （1）由題意知，則又，可得，所以橢圓的方程為（2）由（1）知橢圓的方程為（）設(shè)，由題意知因為，又，即，所以，
33、即（）設(shè)，將代入橢圓的方程，可得，由，可得 則有，所以因為直線與軸的交點坐標為，所以的面積設(shè)將代入橢圓的方程，可得，由，可得 由可知，因此，故，當且僅當，即時取得最大值由（）知，面積為，所以面積的最大值為11.（2016四川理8）設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為（ ）.A. B. C. D.11.解析 設(shè)，（不妨設(shè)），則，.因為，所以，所以，所以（當且僅當時，即時取“” ），所以.故選C.12.（2016上海理21）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在
34、，且，求的斜率 12.解析 （1）由已知，不妨取，則，由題意，又，所以，即，解得，因此漸近線方程為（2）若，則雙曲線為，所以，解法一：不妨設(shè)的中點為，由得，即設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消得，所以，且，故，因此，即，所以，整理得，即，所以直線的斜率為解法二：設(shè)，則，所以，又 （*）因為，所以，代入（*）式得，直線的斜率存在，故，所以，設(shè)直線為，代入，得，所以，且，故，即，所以直線的斜率為13.（2016天津理19）設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值
35、范圍. 13.解析 （1）由，即，可得.又，所以，因此，所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得或.由題意得，從而.由（1）知，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，解得.在中，由，得，即，化簡得，即，解得或.所以直線的斜率的取值范圍為.14（2107全國3卷理科20）已知拋物線，過點的直線交與，兩點，圓是以線段為直徑的圓（1）求證：坐標原點在圓上；（2）設(shè)圓過點，求直線與圓的方程14解析 （1）顯然當直線斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合題意設(shè)，聯(lián)立，得，恒大于，所以，即點在圓上（2）若圓過點，則，即，即，即
36、，化簡得，解得或.當時，設(shè)圓心為，則，半徑，則圓.當時，設(shè)圓心為，半徑，則圓.題型128 定點問題暫無1. (2013安徽理18）設(shè)橢圓的焦點在軸上.（1）若橢圓的焦距為，求橢圓的方程；（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)的點，直線交軸于點，并且.證明：當變化時，點在某定直線上.2. (2013陜西理20）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為。（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）已知點，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，若軸是的角平分線，證明直線過定點.3.（2014 遼寧理 20） （本小題滿分12分）圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切
37、點為（如圖），雙曲線過點且離心率為. （1）求的方程； （2）橢圓過點且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于，兩點，若以線段為直徑的圓過點，求的方程.4.（2017全國2卷理科20）設(shè)為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足.（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.求證：過點且垂直于的直線過的左焦點. 4解析 （1）設(shè)點，易知，又，所以點.又在橢圓上，所以，即（2）由題知，設(shè)，則，由，得.又由（1）知，所以，從而，即.又過點存在唯一直線的垂直于，所以過點且垂直于的直線過曲線的左焦點.5.（2107全國1卷理科20）已知橢圓，四點，中恰有三點在橢圓上.（1）求的方程；（2）
38、設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于，兩點.若直線與直線的斜率的和為，求證：過定點.5. 解析 （1）根據(jù)橢圓對稱性，必過，又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點.將代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的方程為（2）當斜率不存在時，設(shè)，得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足當斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立，消去整理得，則，又，此時，存在使得成立所以直線的方程為.當時，所以過定點題型129 定值問題1.（2013山東理22）橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；（3）在（2）的條
39、件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點，設(shè)直線，人斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.2.（2014 江西理 20）（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線：的右焦點，點分別在的兩條漸近線上，軸，（為坐標原點）. （1）求雙曲線的方程； （2）過上一點的直線：與直線相交于點，與直線相交于點.證明:點在上移動時，恒為定值，并求此定值.3.（2014 北京理 19）（本小題14分）已知橢圓，（1） 求橢圓的離心率.（2） 設(shè)為原點.若點在橢圓上，點在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.4.（2015四川理20）如圖所示，橢圓：的離心率是，過點的動直線與橢圓
40、相交于兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由. 4.分析 （1）根據(jù)橢圓的對稱性，當直線與軸平行時，將這個點的坐標代入橢圓的方程，得.再根據(jù)離心率得，又，三者聯(lián)立，解方程組即可得，進而得橢圓的方程為；（2）先利用與軸平行和垂直這兩種特殊情況找出點的坐標為.接下來聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系證明：對任意的直線，均有.設(shè)，由圖可看出，為了證明，只需證明，為此作點關(guān)于軸對稱的點，這樣將問題轉(zhuǎn)化為證三點共線.解析 （1）由已知點在橢圓上.所以，解得，.所以
41、橢圓方程為.（2）當直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點.如果存在定點滿足條件，則，即.所以點在軸上，可設(shè)點的坐標為.當直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點.則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.當直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，的坐標分別為，.聯(lián)立，得.其判別式，所以，.因此.易知，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為.又，所以，即三點共線.所以.故存在與點不同的定點，使得恒成立. 5.（2016北京理19）已知橢圓的離心率為，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點，直線與
42、軸交于點，直線與軸交于點.求證：為定值.5.解析 可先作出本題的圖形：（1）由題設(shè)，可得解得.所以橢圓的方程是.（2）解法一：設(shè)橢圓上一點，則.(i) 當時，直線. 令，得.所以.直線.令，得，所以.所以將代入上式得，故為定值.(ii) 當時，所以.綜上所述，為定值.解法二：可設(shè)，再求得，所以.評注 同第（2）問的解法，還可證得以下結(jié)論：若點在橢圓上，橢圓的右頂點、上頂點分別是，直線與軸交于點，直線與軸交于點，則.題型130 最值問題暫無1.（2013廣東理20）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線:的距離為設(shè) 為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點(1) 求拋物線的方程；(2) 當
43、點為直線上的定點時，求直線的方程；(3) 當點在直線上移動時，求的最小值.2.（2014 浙江理 21）(本題滿分15分)如圖，設(shè)橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限.（1） 已知直線的斜率為，用表示點的坐標；（2） 若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為.3.（2014 福建理 9）設(shè)分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（ ）.A. B. C. D.4.（2014 山東理 21）（本小題滿分14分） 已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有|，當點的橫坐標為時，為正三角形.（1）求的方程；（2）若直線，且和有且只有一
44、個公共點， （i）證明直線過定點，并求出定點坐標； （ii）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.5.（2014 四川理 20）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于點.（i）證明：平分線段（其中為坐標原點）；（ii）當最小時，求點的坐標.6. （2107浙江21）如圖所示，已知拋物線.點，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）求的最大值.6.解析 （1）設(shè)直線的斜率為，已知，則.因為，所以，所以直線斜率的取值范圍是.（2）因為直線，且，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，解得點的橫坐標是.因為，所以，令，因為，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當時，取得最大值.
2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-5 直線與圓錐曲線（理科）
