高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型課件 理 新人教版

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1、12.3幾何概型基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識基礎知識自主學習自主學習1.幾何概型幾何概型知識梳理如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 ( 或 )成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為 .2.幾何概型中，事件幾何概型中，事件A的概率的計算公式的概率的計算公式長度 面積體積幾何概型3.幾何概型試驗的兩個基本特點幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 ；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有 .無限多個等可能性(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計算機

2、或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法.這個方法的基本步驟是用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；計算頻率fn(A) 作為所求概率的近似值.4.隨機模擬方法隨機模擬方法判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等.()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()思考辨析思考辨析(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.()(5)與面積有關的幾

3、何概型的概率與幾何圖形的形狀有關.()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P .() 考點自測1.(教材改編)在線段0,3上任投一點，則此點坐標小于1的概率為答案解析坐標小于1的區(qū)間為0,1，長度為1，0,3區(qū)間長度為3， 答案解析由幾何概型的概率計算公式得所求概率121()2logx 121()2logx 3.(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是答案解析P(A)P(C)P(D)P(B).4.(2017南昌月考)一個邊長為3 cm的正方形薄木板的正中央有一個直徑為2 cm的圓孔，一只小

4、蟲在木板的一個面內(nèi)隨機地爬行，則小蟲恰在離四個頂點的距離都大于2 cm的區(qū)域內(nèi)的概率等于_.答案解析如圖所示，分別以正方形的四個頂點為圓心，2 cm為半徑作圓，與正方形相交截得四個圓心角為直角的扇形，當小蟲落在圖中的黑色區(qū)域時，它離四個頂點的距離都大于2 cm，5.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_.答案解析設質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一與長度、角度有關的幾何概型題型一與長度、角度有關的幾何概型例例1 (1)(2016全國甲卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，

5、紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為答案解析答案解析(3)如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD ，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM1的概率.解答因為B60，C45，所以BAC75.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM1”，則可得BAMBAD時事件N發(fā)生.引申引申探究探究 解答2.本例(3)中，若將“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”，求BM1的概率. 解答求解與長度、角度有關的幾何概型的方法求與長度(角度)有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求

6、解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).思維升華 跟蹤訓練跟蹤訓練1(1)(2016全國乙卷)某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是答案解析如圖所示，畫出時間軸.小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中， 而當他的到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，故ABx|2x3.由幾何概型知，在集合A中任取一個元素x，答案解析 命題點命題點1與平面圖形面積有關的問題與平面圖形面積有關的問題例例2(2016全國甲卷

7、)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為 答案 解析題型二與面積有關的幾何概型題型二與面積有關的幾何概型由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，命題點命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題例例3 答案 解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，命題點命題點3與定積分交匯命題的與定積分交匯命題的問題問題例

8、例4 (2015福建)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_. 答案 解析求解與面積有關的幾何概型的注意點求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.思維升華 跟蹤訓練跟蹤訓練2(1)(2016昌平模擬)設不等式組 表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y20的距離大于2的概率是答案解析作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)為頂點的三角形區(qū)域.當

9、點在AEF區(qū)域內(nèi)時，點到直線y20的距離大于2.(2)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 _.答案解析由題意知，所給圖中兩陰影部分面積相等， 題型三與體積有關的幾何概型題型三與體積有關的幾何概型例例5(1)(2016貴州黔東南州凱里一中期末)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為答案解析由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內(nèi). (2)已知正三棱錐SABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取

10、一點P，使得VPABC VSABC的概率是當P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，答案解析求解與體積有關的幾何概型的注意點對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件去求.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練3(2016哈爾濱模擬)在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐SAPC的體積大于 的概率是_.答案解析如圖，三棱錐SABC與三棱錐SAPC的高相同，則事件M發(fā)生的區(qū)域是線段PB.典例典例(1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點M，則CAM30的概率是_

11、.(2)在長為1的線段上任取兩點，則這兩點之間的距離小于 的概率為 幾何概型中的“測度”現(xiàn)場糾錯系列現(xiàn)場糾錯系列16錯解展示 現(xiàn)場糾錯 糾錯心得(1)在線段上取點，則點在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能.(2)兩個變量在某個范圍內(nèi)取值，對應的“測度”是面積.解析解析(1)C90，CAM30，答案答案 返回解析解析(1)因為點M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，(2)設任取兩點所表示的數(shù)分別為x，y，則0 x1，且0y1.答案答案 返回課時作業(yè)課時作業(yè)1.(2016佛山模擬)如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此實驗數(shù)據(jù)為依

12、據(jù)可以估計出橢圓的面積約為答案解析12345678910111213故S16.32.A.16.32 B.15.32 C.8.68 D.7.682.(2016昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點， ，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是 答案 解析12345678910111213以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，12345678910111213123456789101112133.(2016菏澤一模)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，向圖中的矩形區(qū)域內(nèi)隨機投出100粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過10次這樣的試驗，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均

13、數(shù)約為39，由此可估計 的值約為答案解析1234567891011121310( )df xx4.已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一點D，則使ABD為鈍角三角形的概率為 答案 解析如圖，當BE1時，AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，ABD為鈍角三角形；當BF4時，BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C、F點)上時，ABD為鈍角三角形，123456789101112135.(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線g(x)cos x在矩形ABCD內(nèi)

14、交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 答案 解析1234567891011121344(sincos )d( cossin )|xxxxx 123456789101112136.歐陽修的賣油翁中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計)，則正好落入孔中的概率是_.答案解析123456789101112137.有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓

15、心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_.答案解析12345678910111213如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分， 答案 解析123456789101112139.隨機地向半圓0y (a為正常數(shù))內(nèi)擲一點，點落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與x軸的夾角小于 的概率為_. 答案 解析1234567891011121310.(2017大連月考)正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示.若將一

16、個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_. 答案 解析1234567891011121311.已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次，第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab1的概率； 解答將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，由ab1得2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個，12345678910111213(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率. 解答12345678910111

17、213若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6，滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.畫出圖形如圖，12345678910111213 解答12345678910111213要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，1234567891011121312345678910111213*13.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率. 解答12345678910111213設甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0 x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當且僅當甲比乙早到達1 h以上或乙比甲早到達2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.12345678910111213A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.12345678910111213