高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.3 幾何概型課件 理 新人教版

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1、12.3幾何概型基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.幾何概型幾何概型知識(shí)梳理如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 ( 或 )成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為 .2.幾何概型中，事件幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式的概率的計(jì)算公式長(zhǎng)度 面積體積幾何概型3.幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 ；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有 .無限多個(gè)等可能性(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計(jì)算機(jī)

2、或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法.這個(gè)方法的基本步驟是用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；計(jì)算頻率fn(A) 作為所求概率的近似值.4.隨機(jī)模擬方法隨機(jī)模擬方法判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零.()(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()思考辨析思考辨析(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.()(5)與面積有關(guān)的幾

3、何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P .() 考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為答案解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為0,1，長(zhǎng)度為1，0,3區(qū)間長(zhǎng)度為3， 答案解析由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率121()2logx 121()2logx 3.(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是答案解析P(A)P(C)P(D)P(B).4.(2017南昌月考)一個(gè)邊長(zhǎng)為3 cm的正方形薄木板的正中央有一個(gè)直徑為2 cm的圓孔，一只小

4、蟲在木板的一個(gè)面內(nèi)隨機(jī)地爬行，則小蟲恰在離四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于2 cm的區(qū)域內(nèi)的概率等于_.答案解析如圖所示，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2 cm為半徑作圓，與正方形相交截得四個(gè)圓心角為直角的扇形，當(dāng)小蟲落在圖中的黑色區(qū)域時(shí)，它離四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于2 cm，5.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_.答案解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型例例1 (1)(2016全國甲卷)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，

5、紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為答案解析答案解析(3)如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD ，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM1的概率.解答因?yàn)锽60，C45，所以BAC75.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM1”，則可得BAMBAD時(shí)事件N發(fā)生.引申引申探究探究 解答2.本例(3)中，若將“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM1的概率. 解答求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求

6、解.要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度).思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(1)(2016全國乙卷)某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是答案解析如圖所示，畫出時(shí)間軸.小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中， 而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，故ABx|2x3.由幾何概型知，在集合A中任取一個(gè)元素x，答案解析 命題點(diǎn)命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問題與平面圖形面積有關(guān)的問題例例2(2016全國甲卷

7、)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為 答案 解析題型二與面積有關(guān)的幾何概型題型二與面積有關(guān)的幾何概型由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中，命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問題與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問題例例3 答案 解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，命題點(diǎn)命題點(diǎn)3與定積分交匯命題的與定積分交匯命題的問題問題例

8、例4 (2015福建)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_. 答案 解析求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016昌平模擬)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線y20的距離大于2的概率是答案解析作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.當(dāng)

9、點(diǎn)在AEF區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到直線y20的距離大于2.(2)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 _.答案解析由題意知，所給圖中兩陰影部分面積相等， 題型三與體積有關(guān)的幾何概型題型三與體積有關(guān)的幾何概型例例5(1)(2016貴州黔東南州凱里一中期末)一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為答案解析由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心，且棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi). (2)已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取

10、一點(diǎn)P，使得VPABC VSABC的概率是當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，答案解析求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對(duì)立事件去求.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016哈爾濱模擬)在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐SAPC的體積大于 的概率是_.答案解析如圖，三棱錐SABC與三棱錐SAPC的高相同，則事件M發(fā)生的區(qū)域是線段PB.典例典例(1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，則CAM30的概率是_

11、.(2)在長(zhǎng)為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于 的概率為 幾何概型中的“測(cè)度”現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列16錯(cuò)解展示 現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò) 糾錯(cuò)心得(1)在線段上取點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能.(2)兩個(gè)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值，對(duì)應(yīng)的“測(cè)度”是面積.解析解析(1)C90，CAM30，答案答案 返回解析解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，(2)設(shè)任取兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y，則0 x1，且0y1.答案答案 返回課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)1.(2016佛山模擬)如圖，矩形長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依

12、據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積約為答案解析12345678910111213故S16.32.A.16.32 B.15.32 C.8.68 D.7.682.(2016昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是 答案 解析12345678910111213以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，12345678910111213123456789101112133.(2016菏澤一模)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，向圖中的矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投出100粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過10次這樣的試驗(yàn)，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均

13、數(shù)約為39，由此可估計(jì) 的值約為答案解析1234567891011121310( )df xx4.已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使ABD為鈍角三角形的概率為 答案 解析如圖，當(dāng)BE1時(shí)，AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF4時(shí)，BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，ABD為鈍角三角形，123456789101112135.(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線g(x)cos x在矩形ABCD內(nèi)

14、交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 答案 解析1234567891011121344(sincos )d( cossin )|xxxxx 123456789101112136.歐陽修的賣油翁中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計(jì))，則正好落入孔中的概率是_.答案解析123456789101112137.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓

15、心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_.答案解析12345678910111213如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分， 答案 解析123456789101112139.隨機(jī)地向半圓0y (a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于 的概率為_. 答案 解析1234567891011121310.(2017大連月考)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示.若將一

16、個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是_. 答案 解析1234567891011121311.已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1的概率； 解答將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，由ab1得2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)，12345678910111213(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率. 解答12345678910111

17、213若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6，滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.畫出圖形如圖，12345678910111213 解答12345678910111213要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，1234567891011121312345678910111213*13.甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1 h，乙船停泊時(shí)間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率. 解答12345678910111213設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0 x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.12345678910111213A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長(zhǎng)是24的正方形及其內(nèi)部.12345678910111213