2018年高考數(shù)學(xué) 專題31 空間中直線、平面平行位置關(guān)系的證明方法解題模板

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1、 專題31 空間中直線、平面平行位置關(guān)系的證明方法 【高考地位】 立體幾何是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年高考大題必有立體幾何題，尤其是第一問主要考查證明線面垂直、平行，面面垂直等問題，解決這類問題的方法主要有：幾何法和空間向量法. 在高考中其難度屬中檔題. 【方法點(diǎn)評】 方法一 幾何法 使用情景：轉(zhuǎn)化的直線或平面比較容易找到 解題模板：第一步 按照線線平行得到線面平行，進(jìn)而得出面面平行的思路分析解答； 第二步 找到關(guān)鍵的直線或平面； 第三步 得出結(jié)論. 例1 如圖，在棱長均為4的三棱柱中， 分別是和的中點(diǎn). （1）求證： 平面 （2）若平面平面，求三棱錐

2、的體積. (方法 2)在 中，因?yàn)椋? 所以為正三角形，因此. 因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為， 平面， 所以平面，即是三棱錐的高. 在中，由，得的面積. 在中，因?yàn)?，所? 所以三棱錐的體積. 【點(diǎn)評】證明線面平行的思路一般有兩種：一是在所證的平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可；二是通過證明已知直線所在的平面與已知平面平行，進(jìn)而得到這條直線與已知平面平行的結(jié)論. 例2 已知四棱錐P – ABCD 中，底面ABCD為平行四邊形．點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求證：平面MNQ∥平面PBC． 【答案】詳見解析.

3、 【點(diǎn)評】由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行．一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行． 【變式演練1】　如圖，正方形的邊長為2，分別為線段的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn)． 求證：； 【答案】詳見解析. 【解析】 試題分析：證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾條件，如本題利用正方形性質(zhì)得，從而有平面．而線線平行的證明，一般利用線面平行性質(zhì)定理，即從兩平面交線出發(fā)給予證明. 試題解析：證明：在正方形中，因?yàn)槭堑?/p>

4、中點(diǎn)，所以． 又因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所以? 【變式演練2】如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上. 若是中點(diǎn)，證明：平面. 【答案】詳見解析. 【解析】 試題分析：證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識，如本題利用三角形中位線性質(zhì)得線線平行. 試題解析：證明：連結(jié)BC1，交B1C于E，連結(jié)ME． 因?yàn)?直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中點(diǎn)，所以側(cè)面BB1C1C為矩形， ME為△ABC1的中位線，所以 ME// AC1．

5、 因?yàn)?ME平面B1CM， AC1平面B1CM，所以 AC1∥平面B1C. 【變式演練3】已知正方體ABCD –A1B1C1D1 證：平面AB1D1∥平面C1BD. 【答案】詳見解析. 考點(diǎn)：空間直線與平面的平行的判定及性質(zhì). 【變式演練4】已知：空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn).求證EF∥平面BCD. 【答案】詳見解析. 考點(diǎn)：空間直線與平面的平行的判定及性質(zhì). 方法二 空間向量法 使用情景：轉(zhuǎn)化的直線或平面不容易找到，而一直條件方便建立空間直角坐標(biāo)比較容易寫出 解題模板：第一步 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； 第二步

6、 分別寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線方向向量； 第三步 利用向量的關(guān)系得到直線和平面的關(guān)系即可. 例3 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn)，求證：MN∥平面A1BD. 【答案】詳見解析. 【解析】如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則可得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)． 【點(diǎn)評】用向量證明線面平行的方法有： (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； (2)證明該直線方向向量與平面

7、內(nèi)某直線的方向向量平行； (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示； (4)本題易錯點(diǎn)為：只證明MN∥A1D，而忽視MN?平面A1BD. 【變式演練5】已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證： (1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F. 【答案】詳見解析. 【解析】(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)． 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．設(shè)n1

8、＝(x1，y1，z1)是平面ADE一個法向量，則n1⊥，n1⊥，即，解得.令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 考點(diǎn)：空間向量證明直線、平面的平行； 【高考再現(xiàn)】 1. 【2017課表1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由B，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，則直線AB∥平

9、面MNQ；由D，AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ．故A不滿足，選A． 【考點(diǎn)】空間位置關(guān)系判斷 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面． 2. 【2017課標(biāo)II，文18】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面 , （1）證明：直線平面; （2）若△面積為，求四棱錐

10、的體積. 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 3. 【2017課標(biāo)II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。 （1）證明：直線 平面PAB； 【解析】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，。 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥,,由得∥，又,所以。四邊形為平行四邊形，∥。 又平面，平面，故平面。 4. 【2017天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求證：MN∥平面BDE； 5. 【2017浙江，19】（本題滿分1

11、5分）如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：平面PAB； 【反饋練習(xí)】 1. 【2018湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】已知是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面. ①若，則； ②如果，則； ③若，且，則； ④若不平行，則與不可能垂直于同一平面. 其中為真命題的是__________． 【答案】②④ 2. 【2018黑龍江齊齊哈爾第八中學(xué)模擬】如圖所示，直三棱柱中， ， ， 為棱的中點(diǎn). （Ⅰ）探究直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；

12、（Ⅱ）若，求三棱錐的體積. 【解析】（Ⅰ）連接，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn).設(shè)為的中點(diǎn)，連接， ，則，且. 由已知，且，則，且， 所以四邊形為平行四邊形， 所以，即. 因?yàn)槠矫妫?平面，所以平面. （Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面. 所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離， 所以.因?yàn)椋? 所以， 故三棱錐的體積為. 3. 【2018天津耀華中學(xué)模擬】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面， ， 為的中點(diǎn)， ，四棱錐的體積為. （Ⅰ）求證： 平面； ∵平面， 平面， ∴平面 4. 【2018山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬】如圖所示， 為的直徑，點(diǎn)在上（不與重合)，

13、平面，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn). 為線段上(除點(diǎn)外）的一個動點(diǎn). （1）求證： 平面； （2）求證： . 5. 【2018天津第一中學(xué)模擬】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直， 為的中點(diǎn). （1）求證： 平面； （2）求證： 平面； 6. 【2018湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】如圖，在矩形中， ， 平面， ， 為的中點(diǎn). （1）求證： 平面； （2）記四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，求. 7. 【2018河北邢臺育才中學(xué)模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形， ，平面平面在棱上運(yùn)動. （1）當(dāng)在何處時， 平面； （2）當(dāng)平面時，求直

14、線與平面所成角的正弦值. 【解析】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時， 平面設(shè)，在中， 為中位線，即，又平面平面， 平面. 8.【2018湖南湘東五校聯(lián)考】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，． （I）求證：； （II）求多面體的體積. ∥平面. （Ⅱ）在正方形中，，又是等邊三角形，所以， 所以 于是 又，平面， 又，平面 于是多面體是由直三棱柱和四棱錐組成的. 又直三棱柱的體積為， 四棱錐的體積為， 故多面體的體積為. 9.【2018河北邢臺市育才中學(xué)模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形， ，平面平面在棱上運(yùn)動. （1）當(dāng)在何處時， 平面； （2）

15、已知為的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，當(dāng)平面時，求三棱錐的體積. （2）為的中點(diǎn)， 則 又 ，且 ，又. . . 又，點(diǎn)為的中點(diǎn)， 到平面的距離為. . 10. 【2018湖南師大附中模擬】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點(diǎn)為，四邊形為梯形， . （Ⅰ）若，求證： 平面； （Ⅱ）求證：平面平面； ∵，∴，∴為平行四邊形， ∴， ∵平面， 平面， ∴平面； （Ⅱ）證明：∵四邊形為菱形， ∴， ∵， 是的中點(diǎn)， ∴， ∵， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面； 11. 【2018黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中模擬】在如圖所示的五面體中，面為直角梯形， ，平面 平面， ， 是邊長為2的正三角形. （1）證明： ； （2）證明： 平面． 23