2018年高考數(shù)學(xué) 專題31 空間中直線、平面平行位置關(guān)系的證明方法解題模板

專題31 空間中直線、平面平行位置關(guān)系的證明方法【高考地位】立體幾何是高考的重點內(nèi)容之一，每年高考大題必有立體幾何題，尤其是第一問主要考查證明線面垂直、平行，面面垂直等問題，解決這類問題的方法主要有：幾何法和空間向量法. 在高考中其難度屬中檔題.【方法點評】方法一 幾何法使用情景：轉(zhuǎn)化的直線或平面比較容易找到解題模板：第一步 按照線線平行得到線面平行，進而得出面面平行的思路分析解答；第二步 找到關(guān)鍵的直線或平面；第三步 得出結(jié)論.例1 如圖，在棱長均為4的三棱柱中， 分別是和的中點.（1）求證： 平面（2）若平面平面，求三棱錐的體積. (方法 2)在 中，因為，所以為正三角形，因此.因為平面平面，交線為， 平面，所以平面，即是三棱錐的高.在中，由，得的面積.在中，因為，所以.所以三棱錐的體積.【點評】證明線面平行的思路一般有兩種：一是在所證的平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可；二是通過證明已知直線所在的平面與已知平面平行，進而得到這條直線與已知平面平行的結(jié)論.例2 已知四棱錐P ABCD 中，底面ABCD為平行四邊形點M、N、Q分別在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD求證：平面MNQ平面PBC【答案】詳見解析.【點評】由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行【變式演練1】如圖，正方形的邊長為2，分別為線段的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱分別交于點求證：；【答案】詳見解析.【解析】試題分析：證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾條件，如本題利用正方形性質(zhì)得，從而有平面而線線平行的證明，一般利用線面平行性質(zhì)定理，即從兩平面交線出發(fā)給予證明. 試題解析：證明：在正方形中，因為是的中點，所以又因為平面，所以平面因為平面，且平面平面，所以 【變式演練2】如圖，直三棱柱中，點在線段上.若是中點，證明：平面.【答案】詳見解析.【解析】試題分析：證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識，如本題利用三角形中位線性質(zhì)得線線平行.試題解析：證明：連結(jié)BC1，交B1C于E，連結(jié)ME因為 直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中點，所以側(cè)面BB1C1C為矩形，ME為ABC1的中位線，所以 ME/ AC1 因為 ME平面B1CM， AC1平面B1CM，所以 AC1平面B1C. 【變式演練3】已知正方體ABCD A1B1C1D1 證：平面AB1D1平面C1BD.【答案】詳見解析.考點：空間直線與平面的平行的判定及性質(zhì).【變式演練4】已知：空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、AD的中點.求證EF平面BCD.【答案】詳見解析.考點：空間直線與平面的平行的判定及性質(zhì).方法二 空間向量法使用情景：轉(zhuǎn)化的直線或平面不容易找到，而一直條件方便建立空間直角坐標比較容易寫出解題模板：第一步 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；第二步 分別寫出各點的坐標，求出直線方向向量；第三步 利用向量的關(guān)系得到直線和平面的關(guān)系即可.例3 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點，求證：MN平面A1BD.【答案】詳見解析.【解析】如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設(shè)正方體的棱長為1，則可得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)【點評】用向量證明線面平行的方法有：(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示；(4)本題易錯點為：只證明MNA1D，而忽視MN平面A1BD.【變式演練5】已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.【答案】詳見解析.【解析】(1)如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE一個法向量，則n1，n1，即，解得.令z12，則y11，所以n1(0，1,2)考點：空間向量證明直線、平面的平行；【高考再現(xiàn)】1. 【2017課表1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是 A B C D【答案】A【解析】試題分析：由B，ABMQ，則直線AB平面MNQ；由C，ABMQ，則直線AB平面MNQ；由D，ABNQ，則直線AB平面MNQ故A不滿足，選A【考點】空間位置關(guān)系判斷【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面2. 【2017課標II，文18】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面 , （1）證明：直線平面;（2）若面積為，求四棱錐的體積.【答案】（）見解析（） 3. 【2017課標II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點。（1）證明：直線 平面PAB；【解析】（1）取的中點，連結(jié)，。因為是的中點，所以,由得，又,所以。四邊形為平行四邊形，。又平面，平面，故平面。4. 【2017天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2. （）求證：MN平面BDE； 5. 【2017浙江，19】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點（）證明：平面PAB；【反饋練習(xí)】1. 【2018湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】已知是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面.若，則；如果，則；若，且，則；若不平行，則與不可能垂直于同一平面.其中為真命題的是_【答案】2. 【2018黑龍江齊齊哈爾第八中學(xué)模擬】如圖所示，直三棱柱中， ， ， 為棱的中點.（）探究直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（）若，求三棱錐的體積.【解析】（）連接，設(shè)，因為四邊形為矩形，所以為的中點.設(shè)為的中點，連接， ，則，且.由已知，且，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，即.因為平面， 平面，所以平面.（）易知平面，由（）可知， 平面.所以點到平面的距離等于點到平面的距離，所以.因為，所以，故三棱錐的體積為.3. 【2018天津耀華中學(xué)模擬】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面， ， 為的中點， ，四棱錐的體積為.（）求證： 平面；平面， 平面，平面4. 【2018山西實驗中學(xué)模擬】如圖所示， 為的直徑，點在上（不與重合)， 平面，點分別為線段的中點. 為線段上(除點外）的一個動點.（1）求證： 平面；（2）求證： . 5. 【2018天津第一中學(xué)模擬】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直， 為的中點.（1）求證： 平面；（2）求證： 平面； 6. 【2018湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】如圖，在矩形中， ， 平面， ， 為的中點.（1）求證： 平面；（2）記四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，求. 7. 【2018河北邢臺育才中學(xué)模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形， ，平面平面在棱上運動.（1）當(dāng)在何處時， 平面；（2）當(dāng)平面時，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）當(dāng)為中點時， 平面設(shè)，在中， 為中位線，即，又平面平面， 平面.8.【2018湖南湘東五校聯(lián)考】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，（I）求證：；（II）求多面體的體積. 平面.（）在正方形中，又是等邊三角形，所以，所以于是又，平面，又，平面于是多面體是由直三棱柱和四棱錐組成的.又直三棱柱的體積為，四棱錐的體積為，故多面體的體積為.9.【2018河北邢臺市育才中學(xué)模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形， ，平面平面在棱上運動.（1）當(dāng)在何處時， 平面；（2）已知為的中點， 與交于點，當(dāng)平面時，求三棱錐的體積.（2）為的中點， 則 又，且 ，又.又，點為的中點， 到平面的距離為.10. 【2018湖南師大附中模擬】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形， .（）若，求證： 平面；（）求證：平面平面；，為平行四邊形，平面， 平面，平面；（）證明：四邊形為菱形， 是的中點，平面，平面，平面平面；11. 【2018黑龍江大慶實驗中模擬】在如圖所示的五面體中，面為直角梯形， ，平面 平面， ， 是邊長為2的正三角形.（1）證明： ；（2）證明： 平面 23