【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪突破熱點(diǎn)題型：第6章 第1節(jié)　不等關(guān)系與不等式

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1、 第一節(jié)　不等關(guān)系與不等式 考點(diǎn)一 比 較 大 小 　 　 [例1]　(1)已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，則f(a)與f(b)的大小關(guān)系是(　　) A．f(a)>f(b)　　 　　 　　B．f(a)”或“<”)． [自主解答]　(1)法一：∵f(a)＝，f(b)＝， ∴f(a)－f(b)＝－＝m2＝m2·＝m2·， 當(dāng)m＝0時(shí)，f(a)＝f(b)；當(dāng)m≠0時(shí)，m2>0， 又a

2、>b>1，∴f(a)0,1618>0，∴1816<1618.即ab>1”改為“a0，又a

3、1， ∴b－a>0，a－1<0，b－1<0，∴f(a)>f(b)．故f(a)≥f(b)．　　 　 　【方法規(guī)律】 比較大小的常用方法 (1)作差法 一般步驟是：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結(jié)論(注意所比較的兩個(gè)數(shù)的符號(hào))． (3)特殊值法 若是選擇題、填空題可以用特殊值法比較大小；若是解答題，可以用特殊值法探究思路． 1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a

4、1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．MN C．M＝N D．不確定 解析：選B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N. 2．當(dāng)a>0，b>0且a≠b時(shí)，比較aabb與abba的大?。? 解：＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b. ∵當(dāng)a>b，即>1時(shí)，a－b>1，∴aabb>

5、abba. 當(dāng)a1，∴aabb>abba.∴當(dāng)a>0，b>0且a≠b時(shí)，aabb>abba. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用　　 1．不等式性質(zhì)的考查主要以客觀題為主，難度中等偏下． 2．高考對(duì)不等式性質(zhì)的考查有以下幾個(gè)命題角度： (1)與充要條件相結(jié)合命題； (2)與命題真假的判斷相結(jié)合命題； (3)求代數(shù)式的取值范圍． [例2]　(1)(20xx·天津高考)設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“a

6、 D．既不充分也不必要條件 (2)(20xx·北京高考)設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則(　　) A．a(chǎn)c>bc B.< C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3 (3)(20xx·湖南高考)設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論： ①>；②acloga(b－c)． 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ (4)(20xx·南通模擬)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是________． [自主解答]　(1)(a－b)·a2<0

7、，則必有a－b<0，即a0>b時(shí)，顯然B不正確；C選項(xiàng)，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，a2b時(shí)，有a3>b3，D是正確的． (3)由不等式性質(zhì)及a>b>1，知<，又c<0，所以>，①正確；由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，知②正確；由a>b>1，c<0，知a－c>b－c>1－c>1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，知③正確． (4)∵4≤≤9，∴≤≤，∴≤≤. 又∵

8、3≤xy2≤8，而＝＝，且≤xy2·≤，∴2≤≤27. [答案]　(1)A　(2)D　(3)D　(4)27 不等式性質(zhì)的應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用． (2)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法． (3)求代數(shù)式的取值范圍．要注意不等式同向可乘性的適用條件以及整體思想的運(yùn)用． 1．已知a>b>0，給出下列四個(gè)不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為(　　) A．①

9、②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解析：選A　由a>b>0，可得a2>b2，①成立；由a>b>0，可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴>，∴()2－(－)2＝2－2b＝2·(－)>0，∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36，則a3＋b3<2a2b，④不成立． 2．若a>0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中正確的命題為________． 解析：

10、∵a>0>b，c0，則ad0>b>－a，知a>－b>0，又－c>－d>0， 因此a·(－c)>(－b)·(－d)，即ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正確； 顯然a－c>b－d，∴③正確；∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，∴④正確． 答案：②③④ 考點(diǎn)三 不等式與函數(shù)、方程的綜合問題 　 [例3]　已知f(x)是定義在(－∞，4]上的減函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得f(m－sin x)≤f對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． [自主解答]　假設(shè)實(shí)數(shù)m存在，依題意，

11、可得 即 因?yàn)閟in x的最小值為－1，且－2的最大值為0，要滿足題意， 必須有解得m＝－或≤m≤3. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪. 【方法規(guī)律】 不等式恒成立問題一般要利用函數(shù)的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min；m≥f(x)恒成立，只需m≥f(x)max. 已知奇函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，α，β，γ∈R，α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，說明：f(α)＋f(β)＋f(γ)的值與0的關(guān)系． 解：由α＋β>0，得α>－β， ∵f(x)在R上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，∴f(α)

12、(γ)<0，f(γ)＋f(α)<0， 以上三式相加，得2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]<0，故f(α)＋f(β)＋f(γ)<0. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種方法——比較大小的方法 　作差比較法與作商比較法是判定兩個(gè)數(shù)或式大小的兩種基本方法，其中變形是關(guān)鍵． 3個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題 (1)在應(yīng)用傳遞性時(shí)，如果兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過去的．如a≤b， bb?ac2>bc2；若無c≠0這個(gè)條件，a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時(shí)，取“＝”)． (3)“a>b>0?an>bn(n∈N*，n>1)”成立的條件是“n為大于1的自然數(shù)，a>b>0”，假如去掉“n為大于1的自然數(shù)”這個(gè)條件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就會(huì)出現(xiàn)“3－1>2－1”的錯(cuò)誤結(jié)論；假如去掉“b>0”這個(gè)條件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就會(huì)出現(xiàn)“32>(－4)2”的錯(cuò)誤結(jié)論．