東北大學(xué)數(shù)值分析 東北大學(xué)數(shù)值分析教學(xué)大綱與基本要求

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1、 東北大學(xué)數(shù)值分析 東北大學(xué)數(shù)值分析教學(xué)大綱與根本要求 導(dǎo)讀：就愛閱讀網(wǎng)友為您分享以下“東北大學(xué)數(shù)值分析教學(xué)大綱與根本要求〞的資訊，希望對(duì)您有所幫助，感謝您對(duì)92to 的支持! 數(shù)值分析教學(xué)大綱與根本要求 第一章 緒論 1.1 誤差的來源與誤差的根本概念

2、 1. 誤差的來源 2. 絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限 3. 相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限 4. 有效數(shù)字

3、 1.2數(shù)值計(jì)算中需要注意的問題 1. 防止兩個(gè)相近的數(shù)相減 2. 防止大數(shù)“吃掉〞小數(shù) 3. 注意簡化計(jì)算步驟, 減少運(yùn)算次數(shù)

4、 4. 防止誤差的傳播與積累 本章作為緒論，應(yīng)先講一些有關(guān)數(shù)值分析的根本知識(shí)，如數(shù)值分析是處理哪些問題，在工程有什么用途，以及如何學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程。 本章的內(nèi)容只要作簡單介紹，考試內(nèi)容不會(huì)涉及到本章的知識(shí)點(diǎn)，讓

5、學(xué)生記住1.2節(jié)的三點(diǎn)——防止兩個(gè)相近的數(shù)相減、防止大數(shù)“吃掉〞小數(shù)和防止誤差的傳播與積累，其中防止誤差的傳播與積累書上沒有，作為補(bǔ)充。 在第一節(jié)課，告訴學(xué)生，本學(xué)期數(shù)值分析的教學(xué)作局部改革并注意以下事項(xiàng)： 〔1〕 更換教材。以薛毅，耿美英編寫的?數(shù)值分析?〔北京工業(yè)大學(xué)出版社〕

6、 為教材，不再使用過去的教材〔徐萃薇，孫繩武，計(jì)算方法引論〔第二版〕，高等教育出版社，2002.1〕，當(dāng)然，數(shù)值分析教材大同小異，學(xué)生也可以自選教材，我們不強(qiáng)求。 〔2〕 取消過去的上機(jī)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)成績以期末考試成績?yōu)闇?zhǔn)〔以前的課程實(shí)習(xí)報(bào) 告占30分，期末考試占70分〕，

7、從某種程度上講，難度加大，不及格的人數(shù)會(huì)增多。望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)本門課，不要以師兄師姐的經(jīng)驗(yàn)為準(zhǔn)。 〔3〕 考試是半開卷考試——只能帶一本書〔隨便哪本書〕進(jìn)入考場，不能帶其 他紙張〔特別是A4復(fù)印紙〕進(jìn)入考場。

8、〔4〕 由于孟大志老師已退休，換其他老師出題，不要在平時(shí)不學(xué)習(xí)，到考試時(shí) 復(fù)印以往的考試題〔這也是不能帶A4復(fù)印紙進(jìn)入考場的原因〕。這次試卷風(fēng)格可能有大的變化。 以上事項(xiàng)一定要告訴學(xué)生，不要在考完試再找老師。

9、 第二章 解非線性方程的數(shù)值方法 2.1二分法 1. 二分法根本概念和定理

10、 2. 算法的根本思想 3. 誤差估計(jì)與收斂性分析 4. 算法 5. 算法的優(yōu)缺點(diǎn)

11、 本節(jié)的重點(diǎn)是二分法的根本思想、誤差估計(jì)，以及算法的優(yōu)缺點(diǎn)。重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握如何判定非線性方程組在區(qū)間內(nèi)有根；如何計(jì)算迭代次數(shù)；二分法是局部收斂還是大范圍收斂的。 2.2 迭代法 1. 迭代法的根本思想

12、 2. 迭代法的幾何解釋 3. 收斂定理 4. 誤差估計(jì) 5. 算法

13、 6. 局部收斂定理 7. 迭代收斂的階 8. 迭代加速 本節(jié)的重點(diǎn)是迭代法的根本思想和幾何解釋。由誤差估計(jì)導(dǎo)出算法的終

14、止條件?？荚囶}可能會(huì)涉及到如何選擇迭代格式使迭代收斂，給出某種迭代格式，如何判斷它的收斂階。迭代加速只簡單介紹即可，不會(huì)出考試題的。 2.3 Newton 1. 算法介紹 2. Newton法的幾何意義

15、 3. 算法 4. Newton法的收斂速率 5. 重根情況 6. Newton下山法

16、 本節(jié)的重點(diǎn)是Newton法的根本思想和幾何意義，如何用Newton求非線性方程的根。Newton在什么情況下收斂是二階的，什么情況下是一階的?？荚囶}要求學(xué)生用Newton法導(dǎo)出某種計(jì)算公式〔如在沒有開方運(yùn)算的情況下，如何計(jì)算一個(gè)數(shù)的開方〕。給出某種迭代格式是二階的，還是一階的〔填空題〕。Newton下山法可以不講。

17、 第三章 線性方程組的數(shù)值解法 3.1 消去法 1. 順序Gauss消去法

18、 2. 列主元Gauss消去法 3. Gauss－Jordan消去法 本節(jié)只要求學(xué)生會(huì)用列主元消去法求解方程組即可，沒有太多知識(shí)點(diǎn)。

19、 3.2 矩陣分解 1. LU分解 2. 解三對(duì)角方程組的追趕法 本解的要求是，學(xué)生會(huì)作矩陣的LU分解并用LU分解求解線性方程組〔可能會(huì)有考試題〕。追趕法不要求，可以不講。

20、 3.3 對(duì)稱矩陣的Cholesky分解 1. 正定矩陣及其性質(zhì) 2. 平方根法 3. 改良平方根法

21、 本節(jié)重點(diǎn)是平方根法，即Cholesky分解。正定矩陣的性質(zhì)只作為復(fù)習(xí)，不會(huì)作為考試內(nèi)容。平方根法的考試題可能是作Cholesky分解，或者一個(gè)矩陣能作平方根法的條件等。改良平方根法講，但不作為考試內(nèi)容〔可以根據(jù)自己的學(xué)時(shí)掌握〕。 3.4 向量與矩陣的范數(shù)

22、 1. 向量范數(shù) 2. 矩陣范數(shù) 本節(jié)只要求到會(huì)計(jì)算向量與矩陣的范數(shù)，判斷什么情況下是范數(shù)。這里可能會(huì)出些填空題。 3.5 方程組的性態(tài)

23、 1. 關(guān)于方程組解的精度 2. 矩陣的條件數(shù) 3. 方程組的性態(tài) 4. 病態(tài)方程組的求解

24、 本節(jié)主要介紹條件數(shù)和病態(tài)方程組的概念。根本要求會(huì)計(jì)算條件數(shù)〔考試填空題〕，其他內(nèi)容只介紹，不作為考試內(nèi)容。 第四章 解線性方程組的迭代法

25、 4.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 1. Jacobi迭代法 2. Gauss-Seidel迭代法

26、 本節(jié)只需掌握會(huì)用兩種迭代格式求解方程組即可。 4.2 迭代法的收斂性 1. 迭代收斂定理 2. 迭代收斂速度

27、 3. 對(duì)角占優(yōu)陣 本節(jié)重點(diǎn)掌握如何判斷迭代格式收斂。考試題可能是給出某種迭代格式，如何判斷是否收斂；給出矩陣〔帶有參數(shù)〕兩種迭代格式的收斂區(qū)域是什么。這種題可以是計(jì)算題也可以是填空題。對(duì)角占優(yōu)矩陣判斷收斂性很容易，要求學(xué)生記住。 4.3 超松馳(S

28、OR)迭代法 1. 超松馳迭代法 2. SOR迭代法的收斂性 本節(jié)只要知道什么是超松馳(SOR)迭代法即可。

29、 第五章 插值方法 5.1 Lagrange 插值 1. Lagrange插值多項(xiàng)式

30、 2. Lagrange 插值公式的計(jì)算 3. 插值余項(xiàng) 本節(jié)的重點(diǎn)會(huì)推導(dǎo)或?qū)懗鯨agrange插值多項(xiàng)式，知道插值多項(xiàng)式是存在且唯一的〔這里可能會(huì)出考試題〕。會(huì)估計(jì)插值余項(xiàng)。

31、 5.2 Newton 插值 1. 均差〔差商〕 2. Newton根本插值公式 3. 差分

32、 4. 等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式 本節(jié)重點(diǎn)掌握Newton根本插值公式，會(huì)計(jì)算均差，知道均差與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系〔會(huì)出考試題〕。學(xué)會(huì)用差分計(jì)算恒等式。等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式只作簡單介紹，不作為考試題要求。 5.3 Hermite 插值

33、 1. 二點(diǎn)二次插值公式 2. 二點(diǎn)三次Hermite插值公式 3. Hermite插值公式 4. Newton形式的Hermite插值公式 本節(jié)只需要簡單推導(dǎo)

34、二次和三次的Hermite插值公式，一般情況只需要給出，不需要推導(dǎo)。本節(jié)的重點(diǎn)是掌握Hermite插值的思想，并不用具體計(jì)算?？荚囶}可能會(huì)是這樣，給二、三個(gè)的函數(shù)值，一、二個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，用學(xué)過的方法構(gòu)造出一個(gè)多項(xiàng)式。 5.4分段低次插值 1. 高次插值多項(xiàng)式的問題

35、 2. 分段線性插值 3. 分段三次Hermite插值 本節(jié)以Runge (龍格) 就給出了一個(gè)等距插值多項(xiàng)式不收斂的例子引出，高次插值并不是好的，因此需要低次插值。分段線性插值收斂，但插值函數(shù)不可微〔不光滑〕；分段三次Hermite插值可微，但某些點(diǎn)不存在二階導(dǎo)數(shù)，所以要引進(jìn)三次樣條

36、插值。本節(jié)內(nèi)容只有概念，沒有計(jì)算題可出。 5.5 三次樣條插值 1. 三次樣條插值函數(shù) 2. 三次樣條插值函數(shù)的求法

37、 3. 三次樣條插值的收斂性 掌握三次樣條插值的概念，滿足什么條件的插值函數(shù)是三次樣條插值。計(jì)算題不要求，教師根據(jù)自己的學(xué)時(shí)情況，作簡單的介紹。 第六章 函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬

38、合 6.1正交多項(xiàng)式 1. 正交函數(shù)系的概念 2. 常用的正交多項(xiàng)式 3. 正交

39、多項(xiàng)式的構(gòu)造 本節(jié)的重點(diǎn)是正交多項(xiàng)式，介紹兩個(gè)重要的正交多項(xiàng)式——Chebyshev (切比雪夫)多項(xiàng)式和Legendre (勒讓德)多項(xiàng)式。會(huì)構(gòu)造簡單的正交多項(xiàng)式〔如利用定義構(gòu)造一個(gè)二階的正交多項(xiàng)式〕。 6.2函數(shù)的最正確平方逼近

40、 1. 最正確平方逼近的概念及計(jì)算 2. 用正交函數(shù)作最正確平方逼近 本節(jié)介紹只作簡單介紹，不作為考試要求。 6.3最小二乘法

41、 1. 根本概念 2. 用代數(shù)多項(xiàng)式作擬合函數(shù) 3. 用正交函數(shù)作最小二乘

42、 本節(jié)的重點(diǎn)是會(huì)用最小二乘方法作數(shù)據(jù)擬合，如線性擬合，或化為線性擬合〔這局部內(nèi)容會(huì)出考試題〕。用正交函數(shù)作最小二乘不作要求，如果講不清，這局部內(nèi)容不講。 第七章 數(shù)值積分

43、 7.1 Newton---Cotes求積公式 1. 數(shù)值求積公式的構(gòu)造和它的代數(shù)精確度 2. 梯形求積公式 3. Simpson求積公式

44、 4. Cotes求積公式 5. Newton-Cotes求積公式 6. 計(jì)算穩(wěn)定性問題 本節(jié)的重點(diǎn)是這些問題的根本概念。會(huì)計(jì)算代數(shù)精確度〔出考

45、試題，如何計(jì)算某求積公式的代數(shù)精確度〕。課上詳細(xì)推導(dǎo)梯形求積公式和Simpson求積公式，其他公式不用推導(dǎo)。從計(jì)算穩(wěn)定性問題出發(fā)，引出高階公式不好的概念〔只要講清理念就行，這里不會(huì)有習(xí)題〕，所以需要復(fù)化公式。 7.2復(fù)化求積公式 1. 復(fù)化梯形公式

46、 2. 復(fù)化Simpson公式 3. 復(fù)化Cotes公式 這節(jié)內(nèi)容是本章的重點(diǎn)。會(huì)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分〔出考題〕，會(huì)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式余項(xiàng)來估計(jì)復(fù)化的次數(shù)〔出考題〕。

47、 7.3 Romberg 求積法 1. 變步長的梯形公式 2. Romberg〔龍貝格〕求積公式 3. Romberg 求積法

48、 4. Richardson (理查森)外推加速法 Romberg〔龍貝格〕求積公式是求積公式中最有效的公式，所以一定要介紹。但其計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算比擬費(fèi)時(shí)〔以前幾乎每年到有這類題作為考試，今年就不出了〕。Richardson (理查森)外推加速法不作為要求，只要讓學(xué)生知道，Romberg〔龍

49、 貝格〕求積公式的合理性即可。 7.4 Gauss求積公式 1. Gauss點(diǎn)

50、 2. Gauss-Legendre 公式 3. Gauss-Legendre 公式的使用 4. Gauss型求積公式的余項(xiàng)及穩(wěn)定性 5. 帶權(quán)的Gauss公式

51、 這局部內(nèi)容只作簡單介紹，不作為考試要求。教師可根據(jù)學(xué)時(shí)情況選講，也可以不講〔如果學(xué)時(shí)不夠〕。 第八章 常微分方程的數(shù)值解

52、 8.1 Euler方法 1. Euler 方法 2. 梯形公式和改良Euler方法 重點(diǎn)是介紹這三種方法，會(huì)作簡單的計(jì)算。注意，這里有顯式格式和隱式格式，這一點(diǎn)后面會(huì)用到。考試題可能會(huì)是一些簡單的

53、計(jì)算，或遞推公式。 8.2 Runge--Kutta 方法 1. Runge--Kutta〔龍格--庫塔〕方法的根本思想 2. 二階Runge--Kutta法

54、 3. 四階Runge--Kutta法 4. 變步長的Runge--Kutta法 本節(jié)的重點(diǎn)是Runge--Kutta〔龍格--庫塔〕方法的根本思想，會(huì)用四階Runge--Kutta法計(jì)算微分方程。變步長的Runge--Kutta法可能不講。

55、 8.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 1. 單步法的收斂性 2. 單步法的穩(wěn)定性 3. 穩(wěn)定性的意義

56、 收斂性和穩(wěn)定性是本節(jié)的重要概念。會(huì)計(jì)算某些計(jì)算公式的穩(wěn)定區(qū)間，或判斷是否為無條件穩(wěn)定的。會(huì)討論上述算法〔顯式、隱式〕的優(yōu)缺點(diǎn)〔主要從收斂性和穩(wěn)定性方面考慮〕，這里會(huì)出填空題或計(jì)算題。 8.4 線性多步法 1. 線

57、性多步法的一般公式 2. Adams外推公式 3. Adams內(nèi)插公式 4. 預(yù)報(bào)---校正公式

58、 多步方法只作簡單介紹即可。會(huì)用公式計(jì)算即可，不必作過多的介紹。 8.5 常微分方程組和高階微分方程的數(shù)值方法 1. Euler方法

59、 2. 梯形公式和改良Euler 方法 3. Runge--Kutta 方法 4. Adams方法 5. 剛性方程組

60、 這局部內(nèi)容書上沒有，但對(duì)于工程計(jì)算還是有用的，可根據(jù)情況作適當(dāng)?shù)慕榻B。 注意： 1. 本次課共54學(xué)時(shí)，13.5次課〔

61、每次課4學(xué)時(shí)〕，大家上13次課，0.5次 答疑。然后我們?cè)诳荚嚽霸侔才乓淮未鹨伞? 2. 考試時(shí)間由研究生部統(tǒng)一安排〔在考試周〕，我們負(fù)責(zé)巡考。 3. 考試后，我們一起閱卷〔流水作業(yè)〕。

62、 4. 在課程結(jié)束，或在考試前，我將試卷出好，大家看看有什么問題。出題 內(nèi)容就是我在前面提到過的地方。 5. 有問題有紅字改后發(fā)給我。然后再發(fā)給大家。我們就按上述要求上課，

63、 這樣大家也可以節(jié)省一點(diǎn)時(shí)間。 薛毅 2021-2-21 百度搜索“就愛閱讀〞,專業(yè)資料,生活學(xué)習(xí),盡在就愛閱讀網(wǎng)92to ,您的在線圖書館