東北大學數(shù)值分析 東北大學數(shù)值分析教學大綱與基本要求

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1、 東北大學數(shù)值分析 東北大學數(shù)值分析教學大綱與根本要求 導讀：就愛閱讀網(wǎng)友為您分享以下“東北大學數(shù)值分析教學大綱與根本要求〞的資訊，希望對您有所幫助，感謝您對92to 的支持! 數(shù)值分析教學大綱與根本要求 第一章 緒論 1.1 誤差的來源與誤差的根本概念

2、 1. 誤差的來源 2. 絕對誤差與絕對誤差限 3. 相對誤差與相對誤差限 4. 有效數(shù)字

3、 1.2數(shù)值計算中需要注意的問題 1. 防止兩個相近的數(shù)相減 2. 防止大數(shù)“吃掉〞小數(shù) 3. 注意簡化計算步驟, 減少運算次數(shù)

4、 4. 防止誤差的傳播與積累 本章作為緒論，應先講一些有關數(shù)值分析的根本知識，如數(shù)值分析是處理哪些問題，在工程有什么用途，以及如何學習數(shù)值分析課程。 本章的內(nèi)容只要作簡單介紹，考試內(nèi)容不會涉及到本章的知識點，讓

5、學生記住1.2節(jié)的三點——防止兩個相近的數(shù)相減、防止大數(shù)“吃掉〞小數(shù)和防止誤差的傳播與積累，其中防止誤差的傳播與積累書上沒有，作為補充。 在第一節(jié)課，告訴學生，本學期數(shù)值分析的教學作局部改革并注意以下事項： 〔1〕 更換教材。以薛毅，耿美英編寫的?數(shù)值分析?〔北京工業(yè)大學出版社〕

6、 為教材，不再使用過去的教材〔徐萃薇，孫繩武，計算方法引論〔第二版〕，高等教育出版社，2002.1〕，當然，數(shù)值分析教材大同小異，學生也可以自選教材，我們不強求。 〔2〕 取消過去的上機實習，學習成績以期末考試成績?yōu)闇省惨郧暗恼n程實習報 告占30分，期末考試占70分〕，

7、從某種程度上講，難度加大，不及格的人數(shù)會增多。望同學們認真學習本門課，不要以師兄師姐的經(jīng)驗為準。 〔3〕 考試是半開卷考試——只能帶一本書〔隨便哪本書〕進入考場，不能帶其 他紙張〔特別是A4復印紙〕進入考場。

8、〔4〕 由于孟大志老師已退休，換其他老師出題，不要在平時不學習，到考試時 復印以往的考試題〔這也是不能帶A4復印紙進入考場的原因〕。這次試卷風格可能有大的變化。 以上事項一定要告訴學生，不要在考完試再找老師。

9、 第二章 解非線性方程的數(shù)值方法 2.1二分法 1. 二分法根本概念和定理

10、 2. 算法的根本思想 3. 誤差估計與收斂性分析 4. 算法 5. 算法的優(yōu)缺點

11、 本節(jié)的重點是二分法的根本思想、誤差估計，以及算法的優(yōu)缺點。重點是讓學生掌握如何判定非線性方程組在區(qū)間內(nèi)有根；如何計算迭代次數(shù)；二分法是局部收斂還是大范圍收斂的。 2.2 迭代法 1. 迭代法的根本思想

12、 2. 迭代法的幾何解釋 3. 收斂定理 4. 誤差估計 5. 算法

13、 6. 局部收斂定理 7. 迭代收斂的階 8. 迭代加速 本節(jié)的重點是迭代法的根本思想和幾何解釋。由誤差估計導出算法的終

14、止條件?？荚囶}可能會涉及到如何選擇迭代格式使迭代收斂，給出某種迭代格式，如何判斷它的收斂階。迭代加速只簡單介紹即可，不會出考試題的。 2.3 Newton 1. 算法介紹 2. Newton法的幾何意義

15、 3. 算法 4. Newton法的收斂速率 5. 重根情況 6. Newton下山法

16、 本節(jié)的重點是Newton法的根本思想和幾何意義，如何用Newton求非線性方程的根。Newton在什么情況下收斂是二階的，什么情況下是一階的。考試題要求學生用Newton法導出某種計算公式〔如在沒有開方運算的情況下，如何計算一個數(shù)的開方〕。給出某種迭代格式是二階的，還是一階的〔填空題〕。Newton下山法可以不講。

17、 第三章 線性方程組的數(shù)值解法 3.1 消去法 1. 順序Gauss消去法

18、 2. 列主元Gauss消去法 3. Gauss－Jordan消去法 本節(jié)只要求學生會用列主元消去法求解方程組即可，沒有太多知識點。

19、 3.2 矩陣分解 1. LU分解 2. 解三對角方程組的追趕法 本解的要求是，學生會作矩陣的LU分解并用LU分解求解線性方程組〔可能會有考試題〕。追趕法不要求，可以不講。

20、 3.3 對稱矩陣的Cholesky分解 1. 正定矩陣及其性質(zhì) 2. 平方根法 3. 改良平方根法

21、 本節(jié)重點是平方根法，即Cholesky分解。正定矩陣的性質(zhì)只作為復習，不會作為考試內(nèi)容。平方根法的考試題可能是作Cholesky分解，或者一個矩陣能作平方根法的條件等。改良平方根法講，但不作為考試內(nèi)容〔可以根據(jù)自己的學時掌握〕。 3.4 向量與矩陣的范數(shù)

22、 1. 向量范數(shù) 2. 矩陣范數(shù) 本節(jié)只要求到會計算向量與矩陣的范數(shù)，判斷什么情況下是范數(shù)。這里可能會出些填空題。 3.5 方程組的性態(tài)

23、 1. 關于方程組解的精度 2. 矩陣的條件數(shù) 3. 方程組的性態(tài) 4. 病態(tài)方程組的求解

24、 本節(jié)主要介紹條件數(shù)和病態(tài)方程組的概念。根本要求會計算條件數(shù)〔考試填空題〕，其他內(nèi)容只介紹，不作為考試內(nèi)容。 第四章 解線性方程組的迭代法

25、 4.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 1. Jacobi迭代法 2. Gauss-Seidel迭代法

26、 本節(jié)只需掌握會用兩種迭代格式求解方程組即可。 4.2 迭代法的收斂性 1. 迭代收斂定理 2. 迭代收斂速度

27、 3. 對角占優(yōu)陣 本節(jié)重點掌握如何判斷迭代格式收斂。考試題可能是給出某種迭代格式，如何判斷是否收斂；給出矩陣〔帶有參數(shù)〕兩種迭代格式的收斂區(qū)域是什么。這種題可以是計算題也可以是填空題。對角占優(yōu)矩陣判斷收斂性很容易，要求學生記住。 4.3 超松馳(S

28、OR)迭代法 1. 超松馳迭代法 2. SOR迭代法的收斂性 本節(jié)只要知道什么是超松馳(SOR)迭代法即可。

29、 第五章 插值方法 5.1 Lagrange 插值 1. Lagrange插值多項式

30、 2. Lagrange 插值公式的計算 3. 插值余項 本節(jié)的重點會推導或?qū)懗鯨agrange插值多項式，知道插值多項式是存在且唯一的〔這里可能會出考試題〕。會估計插值余項。

31、 5.2 Newton 插值 1. 均差〔差商〕 2. Newton根本插值公式 3. 差分

32、 4. 等距節(jié)點的Newton插值公式 本節(jié)重點掌握Newton根本插值公式，會計算均差，知道均差與導數(shù)之間的關系〔會出考試題〕。學會用差分計算恒等式。等距節(jié)點的Newton插值公式只作簡單介紹，不作為考試題要求。 5.3 Hermite 插值

33、 1. 二點二次插值公式 2. 二點三次Hermite插值公式 3. Hermite插值公式 4. Newton形式的Hermite插值公式 本節(jié)只需要簡單推導

34、二次和三次的Hermite插值公式，一般情況只需要給出，不需要推導。本節(jié)的重點是掌握Hermite插值的思想，并不用具體計算?？荚囶}可能會是這樣，給二、三個的函數(shù)值，一、二個點的導數(shù)值，用學過的方法構造出一個多項式。 5.4分段低次插值 1. 高次插值多項式的問題

35、 2. 分段線性插值 3. 分段三次Hermite插值 本節(jié)以Runge (龍格) 就給出了一個等距插值多項式不收斂的例子引出，高次插值并不是好的，因此需要低次插值。分段線性插值收斂，但插值函數(shù)不可微〔不光滑〕；分段三次Hermite插值可微，但某些點不存在二階導數(shù)，所以要引進三次樣條

36、插值。本節(jié)內(nèi)容只有概念，沒有計算題可出。 5.5 三次樣條插值 1. 三次樣條插值函數(shù) 2. 三次樣條插值函數(shù)的求法

37、 3. 三次樣條插值的收斂性 掌握三次樣條插值的概念，滿足什么條件的插值函數(shù)是三次樣條插值。計算題不要求，教師根據(jù)自己的學時情況，作簡單的介紹。 第六章 函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬

38、合 6.1正交多項式 1. 正交函數(shù)系的概念 2. 常用的正交多項式 3. 正交

39、多項式的構造 本節(jié)的重點是正交多項式，介紹兩個重要的正交多項式——Chebyshev (切比雪夫)多項式和Legendre (勒讓德)多項式。會構造簡單的正交多項式〔如利用定義構造一個二階的正交多項式〕。 6.2函數(shù)的最正確平方逼近

40、 1. 最正確平方逼近的概念及計算 2. 用正交函數(shù)作最正確平方逼近 本節(jié)介紹只作簡單介紹，不作為考試要求。 6.3最小二乘法

41、 1. 根本概念 2. 用代數(shù)多項式作擬合函數(shù) 3. 用正交函數(shù)作最小二乘

42、 本節(jié)的重點是會用最小二乘方法作數(shù)據(jù)擬合，如線性擬合，或化為線性擬合〔這局部內(nèi)容會出考試題〕。用正交函數(shù)作最小二乘不作要求，如果講不清，這局部內(nèi)容不講。 第七章 數(shù)值積分

43、 7.1 Newton---Cotes求積公式 1. 數(shù)值求積公式的構造和它的代數(shù)精確度 2. 梯形求積公式 3. Simpson求積公式

44、 4. Cotes求積公式 5. Newton-Cotes求積公式 6. 計算穩(wěn)定性問題 本節(jié)的重點是這些問題的根本概念。會計算代數(shù)精確度〔出考

45、試題，如何計算某求積公式的代數(shù)精確度〕。課上詳細推導梯形求積公式和Simpson求積公式，其他公式不用推導。從計算穩(wěn)定性問題出發(fā)，引出高階公式不好的概念〔只要講清理念就行，這里不會有習題〕，所以需要復化公式。 7.2復化求積公式 1. 復化梯形公式

46、 2. 復化Simpson公式 3. 復化Cotes公式 這節(jié)內(nèi)容是本章的重點。會用復化梯形公式和復化Simpson公式計算積分〔出考題〕，會用復化梯形公式和復化Simpson公式余項來估計復化的次數(shù)〔出考題〕。

47、 7.3 Romberg 求積法 1. 變步長的梯形公式 2. Romberg〔龍貝格〕求積公式 3. Romberg 求積法

48、 4. Richardson (理查森)外推加速法 Romberg〔龍貝格〕求積公式是求積公式中最有效的公式，所以一定要介紹。但其計算復雜，計算比擬費時〔以前幾乎每年到有這類題作為考試，今年就不出了〕。Richardson (理查森)外推加速法不作為要求，只要讓學生知道，Romberg〔龍

49、 貝格〕求積公式的合理性即可。 7.4 Gauss求積公式 1. Gauss點

50、 2. Gauss-Legendre 公式 3. Gauss-Legendre 公式的使用 4. Gauss型求積公式的余項及穩(wěn)定性 5. 帶權的Gauss公式

51、 這局部內(nèi)容只作簡單介紹，不作為考試要求。教師可根據(jù)學時情況選講，也可以不講〔如果學時不夠〕。 第八章 常微分方程的數(shù)值解

52、 8.1 Euler方法 1. Euler 方法 2. 梯形公式和改良Euler方法 重點是介紹這三種方法，會作簡單的計算。注意，這里有顯式格式和隱式格式，這一點后面會用到?？荚囶}可能會是一些簡單的

53、計算，或遞推公式。 8.2 Runge--Kutta 方法 1. Runge--Kutta〔龍格--庫塔〕方法的根本思想 2. 二階Runge--Kutta法

54、 3. 四階Runge--Kutta法 4. 變步長的Runge--Kutta法 本節(jié)的重點是Runge--Kutta〔龍格--庫塔〕方法的根本思想，會用四階Runge--Kutta法計算微分方程。變步長的Runge--Kutta法可能不講。

55、 8.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 1. 單步法的收斂性 2. 單步法的穩(wěn)定性 3. 穩(wěn)定性的意義

56、 收斂性和穩(wěn)定性是本節(jié)的重要概念。會計算某些計算公式的穩(wěn)定區(qū)間，或判斷是否為無條件穩(wěn)定的。會討論上述算法〔顯式、隱式〕的優(yōu)缺點〔主要從收斂性和穩(wěn)定性方面考慮〕，這里會出填空題或計算題。 8.4 線性多步法 1. 線

57、性多步法的一般公式 2. Adams外推公式 3. Adams內(nèi)插公式 4. 預報---校正公式

58、 多步方法只作簡單介紹即可。會用公式計算即可，不必作過多的介紹。 8.5 常微分方程組和高階微分方程的數(shù)值方法 1. Euler方法

59、 2. 梯形公式和改良Euler 方法 3. Runge--Kutta 方法 4. Adams方法 5. 剛性方程組

60、 這局部內(nèi)容書上沒有，但對于工程計算還是有用的，可根據(jù)情況作適當?shù)慕榻B。 注意： 1. 本次課共54學時，13.5次課〔

61、每次課4學時〕，大家上13次課，0.5次 答疑。然后我們在考試前再安排一次答疑。 2. 考試時間由研究生部統(tǒng)一安排〔在考試周〕，我們負責巡考。 3. 考試后，我們一起閱卷〔流水作業(yè)〕。

62、 4. 在課程結(jié)束，或在考試前，我將試卷出好，大家看看有什么問題。出題 內(nèi)容就是我在前面提到過的地方。 5. 有問題有紅字改后發(fā)給我。然后再發(fā)給大家。我們就按上述要求上課，

63、 這樣大家也可以節(jié)省一點時間。 薛毅 2021-2-21 百度搜索“就愛閱讀〞,專業(yè)資料,生活學習,盡在就愛閱讀網(wǎng)92to ,您的在線圖書館