高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔：第一部分 考點(diǎn)十七 推理與證明 Word版含解析

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1、 考點(diǎn)十七　推理與證明 一、選擇題 1．(2019·河北衡水質(zhì)檢四)利用反證法證明：若＋＝0，則x＝y(tǒng)＝0，假設(shè)為(　　) A．x，y都不為0 B．x，y不都為0 C．x，y都不為0，且x≠y D．x，y至少有一個(gè)為0 答案　B 解析　x＝y(tǒng)＝0的否定為x≠0或y≠0，即x，y不都為0，故選B. 2．(2019·重慶巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考七)某演繹推理的“三段”分解如下： ①函數(shù)f(x)＝lg x是對(duì)數(shù)函數(shù)；②對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)＝lg x是增函數(shù)． 則按照演繹推理的三段論模式，排序正確的是(　　) A．①→②→③ B．

2、③→②→① C．②→①→③ D．②→③→① 答案　C 解析　大前提是②，小前提是①，結(jié)論是③.故排列的次序應(yīng)為②→①→③，故選C. 3．若P＝－，Q＝－，a≥0，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P0，Q>0，＝＝， ＝＝， 所以<，所以P>Q. 4．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72020的末兩位數(shù)字為(　　) A．01 B．43 C．07 D．49 答案　A 解析　72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝

3、823543，即7n的末兩位數(shù)分別為49,43,01,07，周期為4，又2020＝504×4＋4，則72020的末兩位數(shù)與74的末兩位數(shù)相同，故選A. 5．設(shè)x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三數(shù)(　　) A．至少有一個(gè)不大于2 B．都大于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都小于2 答案　C 解析　a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，等號(hào)成立，所以a，b，c三數(shù)至少有一個(gè)不小于2，故選C. 6．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，則照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是(　　) 答案　

4、A 解析　觀察三個(gè)圖案知，其規(guī)律是每次閃爍，三塊黑色區(qū)域都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩個(gè)角．故選A. 7．觀察下列不等式：＋1<2，2＋<2，＋<4，＋2<2，…，據(jù)此可以歸納猜想出的一般結(jié)論為(　　) A.＋<2(n∈N) B.＋<2(n∈N) C.＋<2(n≥2且n∈N*) D.＋<2(n≥2且n∈N*) 答案　D 解析?。?<2即為＋<2，2＋<2即為＋<2，＋<4即為＋<2，＋2<2即為＋<2，故可以歸納猜想出的一般結(jié)論是：＋<2(n≥2且n∈N*)，故選D. 8．在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四

5、面體S－ABC中，若SA，SB，SC兩兩互相垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在四面體S－ABC中，三條棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，則可以把該四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，其中SA＝a，SB＝b，SC＝c是一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)，所以外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則半徑R＝，故選A. 二、填空題 9．觀察三角形數(shù)組，可以推測(cè)：該數(shù)組第八行的和為________． 答案　1296 解析　第一行的和為12，第二行的和為32＝(1＋2)2， 第三行的和為62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和為(

6、1＋2＋3＋4)2＝102， … 第八行的和為(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296. 10．所有真約數(shù)(除本身之外的正約數(shù))的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)(也稱為完備數(shù)、完美數(shù))，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…按此規(guī)律，8128可表示為________． 答案　26＋27＋…＋212 解析　因?yàn)?＝21＋22,28＝22＋23＋24，所以496＝16×31＝24×(25－1)＝＝24＋25＋26＋27＋28

7、，…，8128＝64×127＝26×(27－1)＝＝26＋27＋…＋212. 11．(2019·遼寧朝陽(yáng)重點(diǎn)高中第四次模擬)甲、乙、丙、丁四名學(xué)生，僅有一人閱讀了語(yǔ)文老師推薦的一篇文章．當(dāng)它們被問(wèn)到誰(shuí)閱讀了該篇文章時(shí)，甲說(shuō)：“丙或丁閱讀了”；乙說(shuō)：“丙閱讀了”；丙說(shuō)：“甲和丁都沒(méi)有閱讀”；丁說(shuō)：“乙閱讀了”．假設(shè)這四名學(xué)生中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的，那么讀了該篇文章的學(xué)生是________． 答案　乙 解析　若甲閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都不對(duì)，不滿足題意；若乙閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲、乙說(shuō)的都不對(duì)，丙、丁說(shuō)的都對(duì)，滿足題意；若丙閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲、乙、丙

8、說(shuō)的都對(duì)，丁說(shuō)的不對(duì)，不滿足題意；若丁閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲說(shuō)的對(duì)，乙、丙、丁說(shuō)的都不對(duì)，不滿足題意． 12．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________. 答案　 解析　設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為b1，公比為q≠0.則bm＝c＝b1qm－1，bn＝d＝b1qn－1，＝b·q(n－m)(n＋m－1)，所以＝b1qn＋m－1＝bm＋n. 三、解答題 13．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出如下數(shù)

9、列： ①5,3,1，－1，－3，－5，－7，…； ②－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…. (1)對(duì)于數(shù)列①，計(jì)算S1，S2，S4，S5；對(duì)于數(shù)列②，計(jì)算S1，S3，S5，S7； (2)根據(jù)上述結(jié)果，對(duì)于存在正整數(shù)k，滿足ak＋ak＋1＝0的這一類等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的規(guī)律，猜想一個(gè)正確的結(jié)論，并加以證明． 解　(1)對(duì)于數(shù)列①：S1＝5，S2＝8，S4＝8，S5＝5； 對(duì)于數(shù)列②：S1＝－14，S3＝－30，S5＝－30，S7＝－14. (2)∵ak＋ak＋1＝0，∴2a1＝(1－2k)d， ∴S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d＝[(2

10、k－n)(1－2k)＋(2k－n)(2k－n－1)－(1－2k)n－n(n－1)]＝[2k－4k2－n＋2nk＋4k2－2kn－2k－2nk＋n2＋n－n＋2kn－n2＋n]＝·0＝0. 一、選擇題 1．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，依此規(guī)律，若 ＝8，則a，b的值分別是(　　) A．48,7 B．61,7 C．63,8 D．65,8 答案　C 解析　由 ＝2， ＝3， ＝4，…，歸納可得 ＝n ，故當(dāng)n＝8時(shí)，b＝8，a＝82－1＝63，故選C. 2．(2019·河北衡水十三中質(zhì)檢四)平面內(nèi)的一條直線將平面分成2部分，兩條相交直線將平面分成4部分，三條兩兩相交且不共點(diǎn)

11、的直線將平面分成7部分，…，則平面內(nèi)六條兩兩相交且任意三條不共點(diǎn)的直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)為(　　) A．16 B．20 C．21 D．22 答案　D 解析　由題意得k條直線增加到k＋1條直線時(shí)增加k＋1個(gè)部分，所以平面內(nèi)六條兩兩相交且任意三條不共點(diǎn)的直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)為6＋5＋4＋3＋2＋2＝22，選D. 3．平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊長(zhǎng)為 ，直角頂點(diǎn)到斜邊的距離為.空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為 ，則三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)

12、三條棱長(zhǎng)分別為x，y，z，又因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3， ∴S1＝xy，S2＝y(tǒng)z，S3＝xz，則S2S3＝×xyz2＝S1z2，∴z＝ . ∵類比推理可得底面積為，若三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h，可知三棱錐體積為V＝S1× ＝h× ， ∴h＝＝，故選C. 4．(2019·北京通州一模)由正整數(shù)組成的數(shù)對(duì)按規(guī)律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，….若數(shù)對(duì)(m，n)滿足(m2－1)(n2－3)＝2019，其中m，n∈N*，則數(shù)對(duì)(m，n)排在(　　) A．

13、第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位 答案　B 解析　2019＝3×673(673為質(zhì)數(shù))，故或(m，n∈N*)，得m＋n＝28，在所有數(shù)對(duì)中，兩數(shù)之和不超過(guò)27的有1＋2＋3＋…＋26＝×26＝351個(gè)，在兩數(shù)之和為28的數(shù)對(duì)中，(2,26)為第二個(gè)[第一個(gè)是(1,27)]，故數(shù)對(duì)(2,26)排在第351＋2＝353位，故選B. 答案　A 解析　＝. 6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在 中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值

14、x，這可以通過(guò)方程＝x確定x＝2，則1＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)1＋＝x，則1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故選C. 7．面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　) A. B. C. D.

15、 答案　B 解析　根據(jù)三棱錐的體積公式V＝SH，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. 8．下面推理過(guò)程中使用了類比推理方法，其中推理正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①“數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式為|AB|＝，平面上兩點(diǎn)間距離公式為|AB|＝”，類比推出“空間內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為|AB|＝”； ②“代數(shù)運(yùn)算中的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2”類比推出“向量中的運(yùn)算(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2仍成立”； ③“平面內(nèi)兩不重合的直線不平行就相交”類比到空間，“空間內(nèi)兩不重合的直線不平行就相交”也

16、成立； ④“圓x2＋y2＝1上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝1”，類比推出“橢圓＋＝1(a>b>0)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1”． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　對(duì)于①，根據(jù)空間內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式可知，類比正確；對(duì)于②，(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，類比正確；對(duì)于③，在空間不平行的兩直線，有相交和異面兩種情況，類比錯(cuò)誤；對(duì)于④，橢圓＋＝1(a>b>0)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1為真命題．綜合上述，可知正確個(gè)數(shù)為3，故選C. 二、填空題 9．觀察下列等式：

17、－2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； … 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. 答案　 解析　觀察前4個(gè)等式，由歸納推理可知 －2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝. 10．(2019·全國(guó)卷Ⅱ改編)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)． 甲：我的成績(jī)比乙高． 乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高． 丙：我的成績(jī)比乙高． 成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人中成績(jī)最高的是________． 答案　甲 解析　若

18、甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲、乙、丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲、乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意． 11．(2019·山東淄博3月模擬)古代埃及數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外，其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個(gè)單分?jǐn)?shù)和的形式．例如＝＋，可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)人，如果每人，不夠，每人，余，再將這分成5份，每人得，這樣每人分得＋.形如(n＝2,3，4，…)的分?jǐn)?shù)的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此規(guī)律，＝________(n

19、＝2,3,4，…)． 答案　＋ 解析　通過(guò)分析題目所給的特殊項(xiàng)，的分解是由兩個(gè)部分構(gòu)成，第一個(gè)部分是，第二個(gè)部分是，故＝＋. 12．(2019·山東威海二模)“克拉茨猜想”又稱“3n＋1猜想”，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩·克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n為奇數(shù)就將它乘3加1，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)m經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算后得到1，則m的值為________． 答案　10或64 解析　如果正整數(shù)m按照上述規(guī)則經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算得到1，則經(jīng)過(guò)5次運(yùn)算后得到的一定是2；經(jīng)過(guò)4次運(yùn)算后得到的一定是4；經(jīng)過(guò)3次運(yùn)

20、算后得到的為8或1(不符合題意，舍去)；經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算后得到的是16；經(jīng)過(guò)1次運(yùn)算后得到的是5或32；所以開始時(shí)的數(shù)為10或64.所以正整數(shù)m的值為10或64. 三、解答題 13．先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：a＋a≥. 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2， 則f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a， 因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，從而得a＋a≥. (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣式； (2)參考上述證法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明． 解　(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1， 則a＋a＋…＋a≥. (2)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2， 則f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a， 因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0， 從而得a＋a＋…＋a≥.