2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 二次函數(shù)與角度問題

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1、類型二 二次函數(shù)與角度問題例1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(點在點的左邊),與軸交于點,過點作軸的平行線與拋物線交于點,拋物線的頂點為,直線經(jīng)過、兩點.(1) 求此拋物線的解析式;(2)連接、,試比較和的大小,并說明你的理由.【答案】解:(1)CDx軸且點C(0,3),設(shè)點D的坐標為(x,3) 直線y= x+5經(jīng)過D點,3= x+5x=2即點D(2,3) 根據(jù)拋物線的對稱性,設(shè)頂點的坐標為M(1,y),又直線y= x+5經(jīng)過M點,y =1+5,y =4即M(1,4)設(shè)拋物線的解析式為點C(0,3)在拋物線上,a=1即拋物線的解析式為3分(2)作BPAC于點P,MNAB于點N由(1)中拋物線

2、可得點A(3,0),B(1,0),AB=4,AO=CO=3,AC=PAB45ABP=45,PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中,tanBCP=2在RtANM中,M(-1,4),MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB例2、在平面直角坐標系xOy中,拋物線經(jīng)過點N(2,5),過點N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點M,MN=6.(1)求此拋物線的解析式;(2)點P(x,y)為此拋物線上一動點,連接MP交此拋物線的對稱軸于點D,當DMN為直角三角形時,求點P的坐標;(3)設(shè)此拋物線與y軸交于點C,在此拋物線上是否存在點Q,使QMN=CNM ?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,

3、說明理由.【答案】解:(1)過點M、N(2,5),由題意,得M(,). 解得 此拋物線的解析式為. 2分(2)設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點G,若DMN為直角三角形,則.D1(,),(,). 4分直線MD1為,直線為.將P(x,)分別代入直線MD1,的解析式,得,.解得 ,(舍),(1,0). 5分解得 ,(舍),(3,12). 6分(3)設(shè)存在點Q(x,),使得QMN=CNM. 若點Q在MN上方,過點Q作QHMN,交MN于點H,則.即.解得,(舍).(,3). 7分 若點Q在MN下方,同理可得(6,). 8分例3、平面直角坐標系xOy中,拋物線與x軸交于點A、點B,與y軸的正半軸交于點C,點 A

4、的坐標為(1, 0),OB=OC,拋物線的頂點為D (1) 求此拋物線的解析式; (2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足APB=ACB,求點P的坐標; (3) Q為線段BD上一點,點A關(guān)于AQB的平分線的對稱點為,若,求點Q的坐標和此時的面積 【答案】圖9(1) , 拋物線的對稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點A、點B,點A的坐標為, 點B的坐標為,OB3 1分可得該拋物線的解析式為 OB=OC,拋物線與y軸的正半軸交于點C, OC=3,點C的坐標為將點C的坐標代入該解析式,解得a=12分 此拋物線的解析式為(如圖9) 3分 (2)作ABC的外接圓E,設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F,設(shè)E與拋

5、物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點,點關(guān)于x軸的對稱點為點,點、點均為所求點.(如圖10) 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上 、都是弧AB所對的圓周角, ,且射線FE上的其它點P都不滿足由(1)可知 OBC=45,AB=2,OF=2可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上 點E的坐標為 4分 由勾股定理得 點的坐標為 5分由對稱性得點的坐標為 6分符合題意的點P的坐標為、.(3) 點B、D的坐標分別為、,可得直線BD的解析式為,直線BD與x軸所夾的銳角為45 點A關(guān)于AQB的平分線的對稱點為,(如圖11)若設(shè)與AQB的平分線的交點為M,則有 ,Q,B,三點在一條直線

6、上 , 作x軸于點N 點Q在線段BD上, Q,B,三點在一條直線上, , 點的坐標為 點Q在線段BD上, 設(shè)點Q的坐標為,其中 , 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗,在的范圍內(nèi) 點Q的坐標為 7分此時 8分例4、已知,拋物線與x軸交于點A(2,0)、B(8,0),與y軸交于點C(0,4)。直線y=x+m與拋物線交于點D、E(D在E的左側(cè)),與拋物線的對稱點交于點F。(1)求拋物線的解析式;(2)當m=2時,求DCF的大??;(3)若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點P,使DPF450,且滿足條件的點P只有兩個,則m的值為_.(第(3)問不要求寫解答過程)【答案】解:(1)依題意,設(shè)拋物線的解析式為y=

7、a(x+2)(x-8),拋物線與y軸交于點C(0,-4),-4=a(0+2)(0-8)解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8),即y=x2-x-4;(2)由(1)可得拋物線的對稱軸為x=3,m=2,直線的解析式為y=x+2,直線y=x+2與拋物線交于點D、E,與拋物線的對稱軸交于點F,F(xiàn)、D兩點的坐標分別為F(3,5),D(-2,0)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為M,可得CM=FM=MD=5,F(xiàn)、D、C三點在以M為圓心,半徑為5的圓上DCF=DMF=45(3)由拋物線解析式可知,拋物線頂點坐標為G(3,-)設(shè)F(3,3+m),則FG=m+3+,設(shè)D關(guān)于對稱軸的對稱點為D1,當四邊形DG

8、D1F為正方形時,滿足題意,此時P點與頂點G重合,或者與D1重合,故DD1=FG,D點橫坐標為:x=-(FG-3)=-,縱坐標為-(FG-3-m)=,將D點坐標拋物線解析式,解得m=-例5、如圖,拋物線,與軸交于點,且(I)求拋物線的解析式;(II)探究坐標軸上是否存在點,使得以點為頂點的三角形為直角三角形?若存在,求出點坐標,若不存在,請說明理由; (III)直線交軸于點,為拋物線頂點若,的值【答案】解:(I),且代入,得(II)當可證 同理: 如圖當當綜上,坐標軸上存在三個點,使得以點為頂點的三角形為直角三角形,分別是,(III) 又例6、如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線y=

9、ax28ax16a6經(jīng)過點B(0,4).求拋物線的解析式;設(shè)拋物線的頂點為D,過點D、B作直線交x軸于點A,點C在拋物線的對稱軸上,且C點的縱坐標為-4,聯(lián)結(jié)BC、AC.求證:ABC是等腰直角三角形;在的條件下,將直線DB沿y軸向下平移,平移后的直線記為l ,直線l 與x軸、y軸分別交于點A、B,是否存在直線l,使ABC是直角三角形,若存在求出l 的解析式,若不存在,請說明理由 圖(1) 備用圖 【答案】解:由題意知: 解得: 拋物線的解析式為:-1分證明 :由拋物線的解析式知:頂點D坐標為(4,6) 點C的縱坐標為4,且在拋物線的對稱軸上C點坐標為(4,4)設(shè)直線BD解析式為: 有:,BD解

10、析式為直線BD與x軸的交點A的坐標為(8,0)過點C作CE軸于點E,則CE=4,BE=8又OB=4,OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90CEBBOA(SAS)-2分CB=AB, 1=22+3=90,2+3=901+3=90,即ABC=90ABC是等腰直角三角形-3分存在.當CAB=90時,如圖1所示, ABABOAB=BAO易證:ECA=OAB圖1ECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐標為(2,0)直線l解析式為-5分當ACB=90時,如圖2所示,圖2過點C作CE軸于點E,易證AFCBECAF=BE由tanBAO=設(shè)B坐標為(0,n)有B坐標為(0,)直線l

11、解析式為-7分例7、已知:拋物線yx22xm-2交y軸于點A(0,2m-7)與直線yx交于點B、C(B在右、C在左)(1)求拋物線的解析式; (2)設(shè)拋物線的頂點為E,在拋物線的對稱軸上是否存在一點F,使得,若存在,求出點F的坐標,若不存在,說明理由;(3)射線OC上有兩個動點P、Q同時從原點出發(fā),分別以每秒個單位長度、每秒2個單位長度的速度沿射線OC運動,以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ(直角邊分別平行于坐標軸),設(shè)運動時間為t秒,若PMQ與拋物線yx22xm-2有公共點,求t的取值范圍【答案】解:(1)點A(0,2m-7)代入yx22xm-2,得m=5拋物線的解析式為yx22x3 2分(2)由得,B(),C()B()關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為可得直線的解析式為,由,可得 5分(3)當在拋物線上時,可得,當在拋物線上時,可得,舍去負值,所以t的取值范圍是8分12

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