2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型二 二次函數(shù)與角度問題

類型二 二次函數(shù)與角度問題例1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，過點作軸的平行線與拋物線交于點，拋物線的頂點為，直線經(jīng)過、兩點.（1） 求此拋物線的解析式；（2）連接、，試比較和的大小，并說明你的理由.【答案】解：（1）CDx軸且點C（0，3），設(shè)點D的坐標為(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過D點，3= x+5x=2即點D(2，3) 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點的坐標為M（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過M點，y =1+5，y =4即M（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點C（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為3分（2）作BPAC于點P，MNAB于點N由（1）中拋物線可得點A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45°ABP=45°，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB例2、在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點N（2,5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點M，MN=6.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P（x,y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當DMN為直角三角形時，求點P的坐標；（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使QMN=CNM ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.【答案】解：（1）過點M、N（2，5），由題意，得M（，）. 解得 此拋物線的解析式為. 2分（2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點G，若DMN為直角三角形，則.D1（，），（，）. 4分直線MD1為，直線為.將P（x，）分別代入直線MD1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）設(shè)存在點Q（x，），使得QMN=CNM. 若點Q在MN上方，過點Q作QHMN，交MN于點H，則.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若點Q在MN下方，同理可得（6，）. 8分例3、平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點為D (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足APB=ACB，求點P的坐標； (3) Q為線段BD上一點，點A關(guān)于AQB的平分線的對稱點為，若，求點Q的坐標和此時的面積 【答案】圖9（1） ， 拋物線的對稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點A、點B，點A的坐標為， 點B的坐標為，OB3 1分可得該拋物線的解析式為 OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點C， OC=3，點C的坐標為將點C的坐標代入該解析式，解得a=12分 此拋物線的解析式為（如圖9） 3分 （2）作ABC的外接圓E，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設(shè)E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點，點關(guān)于x軸的對稱點為點，點、點均為所求點.（如圖10） 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上 、都是弧AB所對的圓周角， ，且射線FE上的其它點P都不滿足由（1）可知 OBC=45°，AB=2，OF=2可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上 點E的坐標為 4分 由勾股定理得 點的坐標為 5分由對稱性得點的坐標為 6分符合題意的點P的坐標為、.（3） 點B、D的坐標分別為、，可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45° 點A關(guān)于AQB的平分線的對稱點為，（如圖11）若設(shè)與AQB的平分線的交點為M，則有 ，Q，B，三點在一條直線上 ， 作x軸于點N 點Q在線段BD上， Q，B，三點在一條直線上， ， 點的坐標為 點Q在線段BD上， 設(shè)點Q的坐標為，其中 ， 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗，在的范圍內(nèi) 點Q的坐標為 7分此時 8分例4、已知，拋物線與x軸交于點A（2,0）、B（8,0），與y軸交于點C（0，4）。直線y=x+m與拋物線交于點D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對稱點交于點F。（1）求拋物線的解析式；（2）當m=2時，求DCF的大小；（3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點P，使DPF450，且滿足條件的點P只有兩個，則m的值為_.（第（3）問不要求寫解答過程）【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），拋物線與y軸交于點C（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3，m=2，直線的解析式為y=x+2，直線y=x+2與拋物線交于點D、E，與拋物線的對稱軸交于點F，F(xiàn)、D兩點的坐標分別為F（3，5），D（-2，0）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為M，可得CM=FM=MD=5，F(xiàn)、D、C三點在以M為圓心，半徑為5的圓上DCF=DMF=45°（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點坐標為G（3，-）設(shè)F（3，3+m），則FG=m+3+，設(shè)D關(guān)于對稱軸的對稱點為D1，當四邊形DGD1F為正方形時，滿足題意，此時P點與頂點G重合，或者與D1重合，故DD1=FG，D點橫坐標為：x=-（FG-3）=-，縱坐標為-（FG-3-m）=，將D點坐標拋物線解析式，解得m=-例5、如圖，拋物線，與軸交于點，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標軸上是否存在點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由； （III）直線交軸于點，為拋物線頂點若，的值【答案】解：（I），且代入，得（II）當可證 同理: 如圖當當綜上，坐標軸上存在三個點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形，分別是，（III） 又例6、如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax28ax16a6經(jīng)過點B（0，4）.求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點為D，過點D、B作直線交x軸于點A，點C在拋物線的對稱軸上，且C點的縱坐標為-4，聯(lián)結(jié)BC、AC.求證：ABC是等腰直角三角形；在的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點A、B，是否存在直線l，使ABC是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請說明理由 圖（1） 備用圖 【答案】解：由題意知： 解得： 拋物線的解析式為：-1分證明 ：由拋物線的解析式知:頂點D坐標為（4,6） 點C的縱坐標為4，且在拋物線的對稱軸上C點坐標為(4，4)設(shè)直線BD解析式為： 有：，BD解析式為直線BD與x軸的交點A的坐標為（8,0）過點C作CE軸于點E，則CE=4，BE=8又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90°CEBBOA(SAS)-2分CB=AB, 1=22+3=90°，2+3=90°1+3=90°，即ABC=90°ABC是等腰直角三角形-3分存在.當CAB=90°時，如圖1所示， ABABOAB=BAO易證:ECA=OAB圖1ECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐標為(2,0)直線l解析式為-5分當ACB=90°時，如圖2所示，圖2過點C作CE軸于點E，易證AFCBECAF=BE由tanBAO=設(shè)B坐標為（0，n）有B坐標為（0，）直線l解析式為-7分例7、已知：拋物線yx22xm-2交y軸于點A（0，2m-7）與直線yx交于點B、C（B在右、C在左）（1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得，若存在，求出點F的坐標，若不存在，說明理由；（3）射線OC上有兩個動點P、Q同時從原點出發(fā)，分別以每秒個單位長度、每秒2個單位長度的速度沿射線OC運動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標軸），設(shè)運動時間為t秒，若PMQ與拋物線yx22xm-2有公共點，求t的取值范圍【答案】解：（1）點A（0，2m-7）代入yx22xm-2，得m=5拋物線的解析式為yx22x3 2分（2）由得，B（），C（）B（）關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為可得直線的解析式為，由，可得 5分（3）當在拋物線上時，可得，當在拋物線上時，可得，舍去負值，所以t的取值范圍是8分12