2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題19 以三角形為背景的證明與計算(含解析)

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1、專題19 以三角形為背景的證明與計算考點分析【例1】(2019山東中考真題)如圖,已知等邊,于,為線段上一點,且,連接,BF,于,連接(1)求證:;(2)試說明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系【答案】(1)詳見解析;(2),理由詳見解析【解析】(1)是等邊三角形,且,(2),.理由如下:連接,是等邊三角形,且,.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理,熟練運(yùn)用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵【例2】(2019山東中考真題)小圓同學(xué)對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.(一)猜測探究在中,是平面內(nèi)任意一點,將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度,得到

2、線段,連接(1)如圖1,若是線段上的任意一點,請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是 ,與的數(shù)量關(guān)系是 ;(2)如圖2,點是延長線上點,若是內(nèi)部射線上任意一點,連接,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由(二)拓展應(yīng)用如圖3,在中,是上的任意點,連接,將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn),得到線段,連接求線段長度的最小值【答案】(一)(1)結(jié)論:,理由見解析;(2)如圖2中,中結(jié)論仍然成立理由見解析;(二)的最小值為【解析】(一)(1)結(jié)論:,理由:如圖1中,(),故答案為,(2)如圖2中,中結(jié)論仍然成立理由:,(),(二)如圖3中,在上截取,連接,作于,作于,(),當(dāng)?shù)闹底钚r,的值最小,在

3、中,在,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)點與重合時,的值最小,的最小值為【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形,垂線段最短等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題,屬于中考壓軸題考點集訓(xùn)1(2019湖北中考真題)如圖,在中,是邊上的一點,平分,交邊于點,連接(1)求證:;(2)若,求的度數(shù)【答案】(1)見解析;(2)【解析】(1)證明:平分,在和中,;(2),平分,在中,【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理;熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義,證明三角形全

4、等是解題的關(guān)鍵2(2019浙江中考真題)如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AB邊上一點,過點C作CFAB交ED的延長線于點F,(1)求證:BDECDF;(2)當(dāng)ADBC,AE1,CF2時,求AC的長【答案】(1)見解析;(2).【解析】解:(1),.是邊上的中線,.(2),.,.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3(2019天津)在RtABC中,A=90,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點若等腰RtADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到等腰RtRtAD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0180),記直線BD1與CE1的交點為P(1)

5、如圖1,當(dāng)=90時,線段BD1的長等于 ,線段CE1的長等于 ;(直接填寫結(jié)果)(2)如圖2,當(dāng)=135時,求證:BD1=CE1 ,且BD1CE1 ;(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值(直接寫出結(jié)果)【答案】(1)BD1=,CE1=;(2)見解析;(3)1 +【解析】解:(1)解:A=90,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點,AE=AD=2,等腰RtADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到等腰RtAD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0180),當(dāng)=90時,AE1=2,E1AE=90,;(2)證明:當(dāng)=135時,如下圖:由旋轉(zhuǎn)可知D1AB=E1AC=135又AB=AC,AD1=AE1,D1AB E1A

6、CBD1=CE1且 D1BA=E1CA設(shè)直線BD1與AC交于點F,有BFA=CFPCPF=FAB=90,BD1CE1;(3)解:如圖3,作PGAB,交AB所在直線于點G,D1,E1在以A為圓心,AD為半徑的圓上,當(dāng)BD1所在直線與A相切時,直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大,此時四邊形AD1PE1是正方形,PD1=2,則,故ABP=30,則,故點P到AB所在直線的距離的最大值為:考點:旋轉(zhuǎn)變換,直角三角形,勾股定理,三角形全等,正方形的性質(zhì)4(2019江西初二期末)(1)如圖(1),已知:在ABC中,BAC90,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD直線m, CE直線m,垂足分別為點D、

7、E.證明:DE=BD+CE.(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為BAC平分線上的一點,且ABF和ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若BDA=AEC=BAC,試判斷DEF的形狀.【答案】(1)見解析(2)成立(3)DEF為等邊三角形【解析】解:(1)證明:BD直線m,CE直線m,BDACEA=900BA

8、C900,BAD+CAE=900BAD+ABD=900,CAE=ABD又AB=AC ,ADBCEA(AAS)AE=BD,AD=CEDE=AE+AD= BD+CE(2)成立證明如下:BDA =BAC=,DBA+BAD=BAD +CAE=1800DBA=CAEBDA=AEC=,AB=AC,ADBCEA(AAS)AE=BD,AD=CEDE=AE+AD=BD+CE(3)DEF為等邊三角形理由如下:由(2)知,ADBCEA,BD=AE,DBA =CAE,ABF和ACF均為等邊三角形,ABF=CAF=600DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAEBF=AF,DBFEAF(AAS)DF=EF,BFD=A

9、FEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600DEF為等邊三角形(1)因為DE=DA+AE,故由AAS證ADBCEA,得出DA=EC,AE=BD,從而證得DE=BD+CE(2)成立,仍然通過證明ADBCEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD(3)由ADBCEA得BD=AE,DBA =CAE,由ABF和ACF均等邊三角形,得ABF=CAF=600,F(xiàn)B=FA,所以DBA+ABF=CAE+CAF,即DBF=FAE,所以DBFEAF,所以FD=FE,BFD=AFE,再根據(jù)DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到DEF是等邊三角形5(2019貴州中考真題)(1

10、)如圖,在四邊形中,點是的中點,若是的平分線,試判斷,之間的等量關(guān)系解決此問題可以用如下方法:延長交的延長線于點,易證得到,從而把,轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷,之間的等量關(guān)系_;(2)問題探究:如圖,在四邊形中,與的延長線交于點,點是的中點,若是的平分線,試探究,之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論【答案】(1);(2),理由詳見解析.【解析】解:(1).理由如下:如圖,是的平分線,.點是的中點,又,(AAS),.故答案為:.(2).理由如下:如圖,延長交的延長線于點.,又,(AAS),是的平分線,.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對等邊等知識,添加恰當(dāng)輔

11、助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵6(2019江蘇初二期中)如圖,ABC中,AB=AC,點E,F(xiàn)在邊BC上,BE=CF,點D在AF的延長線上,AD=AC,(1)求證:ABEACF;(2)若BAE=30,則ADC= 【答案】(1)證明見解析;(2)75【解析】(1)AB=AC,B=ACF,在ABE和ACF中,ABEACF(SAS);(2)ABEACF,BAE=30,CAF=BAE=30,AD=AC,ADC=ACD,ADC=75,故答案為75【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.7(2019江蘇中考真題)如圖,中,點在邊上,將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的

12、位置,使得,連接,與交于點(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)證明見解析;(2)78.【解析】 (1) (2) 【點睛】本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì),等腰三角形性質(zhì),旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識點,比較簡單,基礎(chǔ)知識扎實是解題關(guān)鍵8(2019江蘇中考真題)如圖,在ABC中,AB=AC,點D、E分別在AB、AC上,BD=CE,BE、CD相交于點0;求證:(1)(2)【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】 (1)AB=AC,ECB=DBC,在 , ;(2)由(1) ,DCB=EBC,OB=OC.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握全等三角形的判定定理與

13、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.9(2019江蘇中考真題)如圖,中,(1)用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)(2)若(1)中所作的垂直平分線交于點,求的長【答案】(1)詳見解析;(2)【解析】(1)如圖直線即為所求(2)垂直平分線段,設(shè),在中,解得,【點睛】本題考查作圖基本作圖,線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考??碱}型10(2019湖北初二期中)(問題提出)如圖,已知ABC是等邊三角形,點E在線段AB上,點D在直線BC上,且ED=EC,將BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60至ACF連接EF試證明:AB=DB+AF(類比探究)(1)如圖,如果點E在線段AB

14、的延長線上,其他條件不變,線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由(2)如果點E在線段BA的延長線上,其他條件不變,請在圖的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并寫出AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必說明理由【答案】證明見解析;(1)AB=BDAF;(2)AF=AB+BD【解析】(1)證明:DE=CE=CF,BCE由旋轉(zhuǎn)60得ACF,ECF=60,BE=AF,CE=CF,CEF是等邊三角形,EF=CE,DE=EF,CAF=BAC=60,EAF=BAC+CAF=120,DBE=120,EAF=DBE,又A,E,C,F(xiàn)四點共圓,AEF=ACF,又ED=DC,D=BCE,BCE=ACF,D=AEF

15、,EDBFEA,BD=AF,AB=AE+BF,AB=BD+AF類比探究(1)DE=CE=CF,BCE由旋轉(zhuǎn)60得ACF,ECF=60,BE=AF,CE=CF,CEF是等邊三角形,EF=CE,DE=EF,EFC=BAC=60,EFC=FGC+FCG,BAC=FGC+FEA,F(xiàn)CG=FEA,又FCG=EADD=EAD,D=FEA,由旋轉(zhuǎn)知CBE=CAF=120,DBE=FAE=60DEBEFA,BD=AE, EB=AF,BD=FA+AB即AB=BD-AF(2)AF=BD+AB(或AB=AF-BD)如圖,ED=EC=CF,BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60至ACF,ECF=60,BE=AF,EC=CF,BC

16、=AC,CEF是等邊三角形,EF=EC,又ED=EC,ED=EF,AB=AC,BC=AC,ABC是等邊三角形,ABC=60,又CBE=CAF,CAF=60,EAF=180-CAF-BAC=180-60-60=60DBE=EAF;ED=EC,ECD=EDC,BDE=ECD+DEC=EDC+DEC,又EDC=EBC+BED,BDE=EBC+BED+DEC=60+BEC,AEF=CEF+BEC=60+BEC,BDE=AEF,在EDB和FEA中, EDBFEA(AAS),BD=AE,EB=AF,BE=AB+AE,AF=AB+BD,即AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD考點:旋轉(zhuǎn)變化,等邊

17、三角形,三角形全等,11(2019浙江中考真題)如圖,在中,.已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P,連結(jié)AP,求證:;以點B為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,與BC邊交于點Q,連結(jié)AQ,若,求的度數(shù).【答案】(1)見解析;(2)B=36.【解析】(1)證明:因為點P在AB的垂直平分線上,所以PA=PB,所以PAB=B,所以APC=PAB+B=2B.(2)根據(jù)題意,得BQ=BA,所以BAQ=BQA,設(shè)B=x,所以AQC=B+BAQ=3x,所以BAQ=BQA=2x,在ABQ中,x+2x+2x=180,解得x=36,即B=36.【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握垂

18、直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).12(2019山東初三)(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖,小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點M,N,G,連接GM,GN小明發(fā)現(xiàn)了:線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是_;位置關(guān)系是_(2)類比思考:如圖,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中ABAC,其它條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請說明理由(3)深入研究:如圖,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又作了進(jìn)一步的探究向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其它條件不變,試判斷GMN

19、的形狀,并給與證明【答案】(1)MG=NG; MGNG;(2)成立,MG=NG,MGNG;(3)答案見解析【解析】(1)連接BE,CD相交于H,如圖1,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,點M,G分別是BD,BC的中點,MGCD且MG=CD,同理:NGBE且NG=BE,MG=NG,MGNG,(2)連接CD,BE,相交于H,如圖2,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG;(3)連

20、接EB,DC并延長相交于點H,如圖3.同(1)的方法得,MG=NG,同(1)的方法得,ABEADC,AEB=ACD,CEH+ECH=AEHAEC+180ACDACE=ACD45+180ACD45=90,DHE=90,同(1)的方法得,MGNGGMN是等腰直角三角形.點睛:此題是三角形綜合題,主要考查等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),三角形的中位線定理,正確作出輔助線用類比的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵13(2019山東)(提出問題)(1)如圖1,在等邊ABC中,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊AMN,連結(jié)CN求證:ABC=ACN

21、(類比探究)(2)如圖2,在等邊ABC中,點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C),其它條件不變,(1)中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎?請說明理由(拓展延伸)(3)如圖3,在等腰ABC中,BA=BC,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰AMN,使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由【答案】見解析【解析】解:(1)證明:ABC、AMN是等邊三角形,AB=AC,AM=AN,BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中,BAMCAN(SAS)ABC=ACN(2)結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下:ABC、AMN是等邊三角形,AB=

22、AC,AM=AN,BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中,BAMCAN(SAS)ABC=ACN(3)ABC=ACN理由如下:BA=BC,MA=MN,頂角ABC=AMN,底角BAC=MANABCAMN又BAM=BACMAC,CAN=MANMAC,BAM=CAN.BAMCANABC=ACN14(2019遼寧中考真題)如圖,是具有公共邊AB的兩個直角三角形,其中,AC=BC,ACB=ADB=90(1)如圖1,若延長DA到點E,使AE=BD,連接CD,CE求證:CD=CE,CDCE;求證:AD+BD=CD;(2)若ABC與ABD位置如圖2所示,請直接寫出線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系【答

23、案】(1)證明見解析;證明見解析;(2)AD-BD=CD.【解析】 (1)證明:在四邊形ADBC中,DAC+DBC+ADB+ACB=360,ADB+ACB=180,DAC+DBC=180,EAC+DAC=180,DBC=EAC,BD=AE,BC=AC,BCDACE(SAS),CD=CE,BCD=ACE,BCD+DCA=90,ACE+DCA=90,DCE=90,CDCE;CD=CE,CDCE,CDE是等腰直角三角形,DE=CD,DE=AD+AE,AE=BD,DE=AD+BD,AD+BD=CD;(2)解:AD-BD=CD;理由:如圖2,在AD上截取AE=BD,連接CE,AC=BC,ACB=90,BAC=ABC=45,ADB=90,CBD=90-BAD-ABC=90-BAD-45=45-BAD,CAE=BAC-BAD=45-BAD,CBD=CAE,BD=AE,BC=AC,CBDCAE(SAS),CD=CE,BCD=ACE,ACE+BCE=ACB=90,BCD+BCE=90,即DCE=90,DE=CD,DE=AD-AE=AD-BD,AD-BD=CD【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵

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