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2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題19 以三角形為背景的證明與計(jì)算(含解析)

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2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題19 以三角形為背景的證明與計(jì)算(含解析)

專(zhuān)題19 以三角形為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】(2019·山東中考真題)如圖,已知等邊,于,為線段上一點(diǎn),且,連接,BF,于,連接(1)求證:;(2)試說(shuō)明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2),理由詳見(jiàn)解析【解析】(1)是等邊三角形,且,(2),.理由如下:連接,是等邊三角形,且,.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理,熟練運(yùn)用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵【例2】(2019·山東中考真題)小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.(一)猜測(cè)探究在中,是平面內(nèi)任意一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與相等的角度,得到線段,連接(1)如圖1,若是線段上的任意一點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系是 ,與的數(shù)量關(guān)系是 ;(2)如圖2,點(diǎn)是延長(zhǎng)線上點(diǎn),若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn),連接,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由(二)拓展應(yīng)用如圖3,在中,是上的任意點(diǎn),連接,將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到線段,連接求線段長(zhǎng)度的最小值【答案】(一)(1)結(jié)論:,理由見(jiàn)解析;(2)如圖2中,中結(jié)論仍然成立理由見(jiàn)解析;(二)的最小值為【解析】(一)(1)結(jié)論:,理由:如圖1中,(),故答案為,(2)如圖2中,中結(jié)論仍然成立理由:,(),(二)如圖3中,在上截取,連接,作于,作于,(),當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),的值最小,在中,在,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),的值最小,的最小值為【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形,垂線段最短等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題考點(diǎn)集訓(xùn)1(2019·湖北中考真題)如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),平分,交邊于點(diǎn),連接(1)求證:;(2)若,求的度數(shù)【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】(1)證明:平分,在和中,;(2),平分,在中,【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理;熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義,證明三角形全等是解題的關(guān)鍵2(2019·浙江中考真題)如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CFAB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,(1)求證:BDECDF;(2)當(dāng)ADBC,AE1,CF2時(shí),求AC的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】解:(1),.是邊上的中線,.(2),.,.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3(2019·天津)在RtABC中,A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)若等腰RtADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰RtRtAD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P(1)如圖1,當(dāng)=90°時(shí),線段BD1的長(zhǎng)等于 ,線段CE1的長(zhǎng)等于 ;(直接填寫(xiě)結(jié)果)(2)如圖2,當(dāng)=135°時(shí),求證:BD1=CE1 ,且BD1CE1 ;(3)求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值(直接寫(xiě)出結(jié)果)【答案】(1)BD1=,CE1=;(2)見(jiàn)解析;(3)1 +【解析】解:(1)解:A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),AE=AD=2,等腰RtADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰RtAD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0180°),當(dāng)=90°時(shí),AE1=2,E1AE=90°,;(2)證明:當(dāng)=135°時(shí),如下圖:由旋轉(zhuǎn)可知D1AB=E1AC=135°又AB=AC,AD1=AE1,D1AB E1ACBD1=CE1且 D1BA=E1CA設(shè)直線BD1與AC交于點(diǎn)F,有BFA=CFPCPF=FAB=90°,BD1CE1;(3)解:如圖3,作PGAB,交AB所在直線于點(diǎn)G,D1,E1在以A為圓心,AD為半徑的圓上,當(dāng)BD1所在直線與A相切時(shí),直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大,此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形,PD1=2,則,故ABP=30°,則,故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為:考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)變換,直角三角形,勾股定理,三角形全等,正方形的性質(zhì)4(2019·江西初二期末)(1)如圖(1),已知:在ABC中,BAC90°,AB=AC,直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD直線m, CE直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn),且ABF和ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若BDA=AEC=BAC,試判斷DEF的形狀.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立(3)DEF為等邊三角形【解析】解:(1)證明:BD直線m,CE直線m,BDACEA=900BAC900,BAD+CAE=900BAD+ABD=900,CAE=ABD又AB="AC" ,ADBCEA(AAS)AE=BD,AD=CEDE="AE+AD=" BD+CE(2)成立證明如下:BDA =BAC=,DBA+BAD=BAD +CAE=1800DBA=CAEBDA=AEC=,AB=AC,ADBCEA(AAS)AE=BD,AD=CEDE=AE+AD=BD+CE(3)DEF為等邊三角形理由如下:由(2)知,ADBCEA,BD=AE,DBA =CAE,ABF和ACF均為等邊三角形,ABF=CAF=600DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAEBF=AF,DBFEAF(AAS)DF=EF,BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600DEF為等邊三角形(1)因?yàn)镈E=DA+AE,故由AAS證ADBCEA,得出DA=EC,AE=BD,從而證得DE=BD+CE(2)成立,仍然通過(guò)證明ADBCEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD(3)由ADBCEA得BD=AE,DBA =CAE,由ABF和ACF均等邊三角形,得ABF=CAF=600,F(xiàn)B=FA,所以DBA+ABF=CAE+CAF,即DBF=FAE,所以DBFEAF,所以FD=FE,BFD=AFE,再根據(jù)DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到DEF是等邊三角形5(2019·貴州中考真題)(1)如圖,在四邊形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),若是的平分線,試判斷,之間的等量關(guān)系解決此問(wèn)題可以用如下方法:延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),易證得到,從而把,轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷,之間的等量關(guān)系_;(2)問(wèn)題探究:如圖,在四邊形中,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),若是的平分線,試探究,之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論【答案】(1);(2),理由詳見(jiàn)解析.【解析】解:(1).理由如下:如圖,是的平分線,.點(diǎn)是的中點(diǎn),又,(AAS),.故答案為:.(2).理由如下:如圖,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).,又,(AAS),是的平分線,.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí),添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵6(2019·江蘇初二期中)如圖,ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F(xiàn)在邊BC上,BE=CF,點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上,AD=AC,(1)求證:ABEACF;(2)若BAE=30°,則ADC= °【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)75【解析】(1)AB=AC,B=ACF,在ABE和ACF中,ABEACF(SAS);(2)ABEACF,BAE=30°,CAF=BAE=30°,AD=AC,ADC=ACD,ADC=75°,故答案為75【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.7(2019·江蘇中考真題)如圖,中,點(diǎn)在邊上,將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置,使得,連接,與交于點(diǎn)(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)78°.【解析】 (1) (2) 【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì),等腰三角形性質(zhì),旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),比較簡(jiǎn)單,基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵8(2019·江蘇中考真題)如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,BD=CE,BE、CD相交于點(diǎn)0;求證:(1)(2)【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】 (1)AB=AC,ECB=DBC,在 , ;(2)由(1) ,DCB=EBC,OB=OC.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.9(2019·江蘇中考真題)如圖,中,(1)用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線;(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法)(2)若(1)中所作的垂直平分線交于點(diǎn),求的長(zhǎng)【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)【解析】(1)如圖直線即為所求(2)垂直平分線段,設(shè),在中,解得,【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖,線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型10(2019·湖北初二期中)(問(wèn)題提出)如圖,已知ABC是等邊三角形,點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC,將BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF連接EF試證明:AB=DB+AF(類(lèi)比探究)(1)如圖,如果點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由(2)如果點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,請(qǐng)?jiān)趫D的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并寫(xiě)出AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必說(shuō)明理由【答案】證明見(jiàn)解析;(1)AB=BDAF;(2)AF=AB+BD【解析】(1)證明:DE=CE=CF,BCE由旋轉(zhuǎn)60°得ACF,ECF=60°,BE=AF,CE=CF,CEF是等邊三角形,EF=CE,DE=EF,CAF=BAC=60°,EAF=BAC+CAF=120°,DBE=120°,EAF=DBE,又A,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,AEF=ACF,又ED=DC,D=BCE,BCE=ACF,D=AEF,EDBFEA,BD=AF,AB=AE+BF,AB=BD+AF類(lèi)比探究(1)DE=CE=CF,BCE由旋轉(zhuǎn)60°得ACF,ECF=60°,BE=AF,CE=CF,CEF是等邊三角形,EF=CE,DE=EF,EFC=BAC=60°,EFC=FGC+FCG,BAC=FGC+FEA,F(xiàn)CG=FEA,又FCG=EADD=EAD,D=FEA,由旋轉(zhuǎn)知CBE=CAF=120°,DBE=FAE=60°DEBEFA,BD=AE, EB=AF,BD=FA+AB即AB=BD-AF(2)AF=BD+AB(或AB=AF-BD)如圖,ED=EC=CF,BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF,ECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC,CEF是等邊三角形,EF=EC,又ED=EC,ED=EF,AB=AC,BC=AC,ABC是等邊三角形,ABC=60°,又CBE=CAF,CAF=60°,EAF=180°-CAF-BAC=180°-60°-60°=60°DBE=EAF;ED=EC,ECD=EDC,BDE=ECD+DEC=EDC+DEC,又EDC=EBC+BED,BDE=EBC+BED+DEC=60°+BEC,AEF=CEF+BEC=60°+BEC,BDE=AEF,在EDB和FEA中, EDBFEA(AAS),BD=AE,EB=AF,BE=AB+AE,AF=AB+BD,即AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)變化,等邊三角形,三角形全等,11(2019·浙江中考真題)如圖,在中,.已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P,連結(jié)AP,求證:;以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與BC邊交于點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,若,求的度數(shù).【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)B=36°.【解析】(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線上,所以PA=PB,所以PAB=B,所以APC=PAB+B=2B.(2)根據(jù)題意,得BQ=BA,所以BAQ=BQA,設(shè)B=x,所以AQC=B+BAQ=3x,所以BAQ=BQA=2x,在ABQ中,x+2x+2x=180°,解得x=36°,即B=36°.【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).12(2019·山東初三)(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖,小明畫(huà)了一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN小明發(fā)現(xiàn)了:線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是_;位置關(guān)系是_(2)類(lèi)比思考:如圖,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中ABAC,其它條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由(3)深入研究:如圖,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又作了進(jìn)一步的探究向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其它條件不變,試判斷GMN的形狀,并給與證明【答案】(1)MG=NG; MGNG;(2)成立,MG=NG,MGNG;(3)答案見(jiàn)解析【解析】(1)連接BE,CD相交于H,如圖1,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90°CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90°,BHD=90°,CDBE,點(diǎn)M,G分別是BD,BC的中點(diǎn),MGCD且MG=CD,同理:NGBE且NG=BE,MG=NG,MGNG,(2)連接CD,BE,相交于H,如圖2,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG;(3)連接EB,DC并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H,如圖3.同(1)的方法得,MG=NG,同(1)的方法得,ABEADC,AEB=ACD,CEH+ECH=AEHAEC+180°ACDACE=ACD45°+180°ACD45°=90°,DHE=90°,同(1)的方法得,MGNGGMN是等腰直角三角形.點(diǎn)睛:此題是三角形綜合題,主要考查等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),三角形的中位線定理,正確作出輔助線用類(lèi)比的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵13(2019·山東)(提出問(wèn)題)(1)如圖1,在等邊ABC中,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊AMN,連結(jié)CN求證:ABC=ACN(類(lèi)比探究)(2)如圖2,在等邊ABC中,點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C),其它條件不變,(1)中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由(拓展延伸)(3)如圖3,在等腰ABC中,BA=BC,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰AMN,使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由【答案】見(jiàn)解析【解析】解:(1)證明:ABC、AMN是等邊三角形,AB=AC,AM=AN,BAC=MAN=60°BAM=CAN在BAM和CAN中,BAMCAN(SAS)ABC=ACN(2)結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下:ABC、AMN是等邊三角形,AB=AC,AM=AN,BAC=MAN=60°BAM=CAN在BAM和CAN中,BAMCAN(SAS)ABC=ACN(3)ABC=ACN理由如下:BA=BC,MA=MN,頂角ABC=AMN,底角BAC=MANABCAMN又BAM=BACMAC,CAN=MANMAC,BAM=CAN.BAMCANABC=ACN14(2019·遼寧中考真題)如圖,是具有公共邊AB的兩個(gè)直角三角形,其中,AC=BC,ACB=ADB=90°(1)如圖1,若延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E,使AE=BD,連接CD,CE求證:CD=CE,CDCE;求證:AD+BD=CD;(2)若ABC與ABD位置如圖2所示,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系【答案】(1)證明見(jiàn)解析;證明見(jiàn)解析;(2)AD-BD=CD.【解析】 (1)證明:在四邊形ADBC中,DAC+DBC+ADB+ACB=360°,ADB+ACB=180°,DAC+DBC=180°,EAC+DAC=180°,DBC=EAC,BD=AE,BC=AC,BCDACE(SAS),CD=CE,BCD=ACE,BCD+DCA=90°,ACE+DCA=90°,DCE=90°,CDCE;CD=CE,CDCE,CDE是等腰直角三角形,DE=CD,DE=AD+AE,AE=BD,DE=AD+BD,AD+BD=CD;(2)解:AD-BD=CD;理由:如圖2,在AD上截取AE=BD,連接CE,AC=BC,ACB=90°,BAC=ABC=45°,ADB=90°,CBD=90°-BAD-ABC=90°-BAD-45°=45°-BAD,CAE=BAC-BAD=45°-BAD,CBD=CAE,BD=AE,BC=AC,CBDCAE(SAS),CD=CE,BCD=ACE,ACE+BCE=ACB=90°,BCD+BCE=90°,即DCE=90°,DE=CD,DE=AD-AE=AD-BD,AD-BD=CD【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵

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