2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型七 綜合實踐題

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1、題型七 綜合實踐題例1【問題情境】已知RtABC中,BAC90,ABAC,點E是線段AC上的一個動點(不與A、C重合),以CE為一邊作RtDCE,使DCE90,且CDCA.沿CA方向平移CDE,使點C移動到點A,得到ABF.過點F作FGBC,交線段BC于點G,連接DG、EG.【深入探究】(1)如圖,當點E在線段AC上時,小文猜想GCGF,請你幫他證明這一結(jié)論;(2)如圖,當點E在線段AC的延長線上,且CECA時,猜想線段DG與EG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的猜想;【拓展應用】(3)如圖,將(2)中的“CECA”改為“CECA”,若設CDE,請用含的式子表示CGE的度數(shù)(直接回答即可,不必證

2、明)第1題圖【答案】(1)證明:在RtBAC中,BAC90,ABAC,BCAABC45,F(xiàn)GBC,F(xiàn)GC90,GFC90GCF45,GFCGCF,GCGF;(2)解:DGEG,DGEG;證明:同(1)可證GCGF,DCE90,BCA45,DCG45,GFC45,DCGEFG,CDE平移得到ABF,CEAF,CECFAFCF,即EFAC,ACCD,EFCD,DCGEFG(SAS),DGEG,DGCEGF,DGCEGCEGFEGC,即DGECGF90,DGEG;(3)解:CGE180.例2在正方形ABCD中,BD是一條對角線,點P在直線CD上(不與點C、D重合),連接AP,平移ADP,使點D移動到

3、點C,得到BCQ,過點Q作QHBD于H,連接AH,PH.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖,若點P在線段CD上,AH與PH的數(shù)量關(guān)系是_,位置關(guān)系是_; 【拓展探究】(2)如圖,若點P在線段CD的延長線上,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明,否則說明理由;【解決問題】(3)若點P在線段DC的延長線上,且AHQ120,正方形ABCD的邊長為2,請直接寫出DP的長度第2題圖【答案】解:(1)AHPH,AHPH;【解法提示】如解圖,連接HC,第2題解圖四邊形ABCD是正方形,BDC45,又QHBD,DHQ是等腰直角三角形,HDHQ,HDPHQC45,由平移的性質(zhì)可知DPCQ,在HDP和

4、HQC中,HDPHQC.HPHC,DHPQHC.根據(jù)正方形是軸對稱圖形得到HAHC,AHDCHD,AHPAHDDHPCHDQHC90,即AHPH.HAHP,AHPH.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:如解圖,連接HC,第2題解圖四邊形ABCD是正方形,BDC45,又QHBD,DHQ是等腰直角三角形,HDPHQC135,HDHQ,由平移的性質(zhì)可知DPCQ,在HDP和HQC中,HDPHQC(SAS),HPHC,DHPQHC,根據(jù)正方形是軸對稱圖形得到HAHC,AHDCHD,AHPAHDDHPCHDCHQ90,HAHP,AHPH;(3)DP2.【解法提示】由(1)知,AHPH,AHPH,HPA

5、45,AHQ120,PHQ1209030.PHDQHDPHQ60,AHBCHBAHPPHD30,CHPCHBAHB30,CPH75,APDCPHAPH30,在RtADP中,AD2,DP2.例3如圖,在RtABC中,ACB90,A30,點O為AB中點,點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合),連接OC、OP,將線段OP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖,當點P在線段BC上時,請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖,當點P在CB延長線上時,(1)中結(jié)論是否成立?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由;(3)如圖,當點P在BC延長線上時,若BPO45,AC,請直接

6、寫出BQ的長第3題圖【答案】解:(1)CPBQ; 【解法提示】如解圖,連接OQ,第3題解圖由旋轉(zhuǎn)可知,PQOP,OPQ60,POQ是等邊三角形,OPOQ,POQ60,在RtABC中,O是AB中點,OCOAOB,BOC2A60POQ,COPBOQ,在COP和BOQ中,COPBOQ(SAS),CPBQ;(2)成立,理由如下:如解圖,連接OQ,圖由旋轉(zhuǎn)知PQOP,OPQ60,POQ是等邊三角形,OPOQ,POQ60,在RtABC中,O是AB中點,OCOAOB,BOC2A60POQ,COPBOQ,在COP和BOQ中,COPBOQ(SAS),CPBQ;(3)BQ.【解法提示】在RtABC中,A30,AC

7、,BCACtanA,如解圖,過點O作OHBC于點H,第3題解圖OHB90BCA,OHAC,O是AB中點,CHBC,OHAC,BPO45,OHP90,BPOPOH,PHOH,CPPHCH,連接OQ,同(1)的方法得,BQCP.例4已知正方形ABCD,點E在直線AD上(不與點A、D重合),連接BE,作EFBE,且EFBE,過點F作FGBC,交直線BC于點G.(1)如圖,當點E在邊AD上,點G在邊BC的延長線上時,求證:ABAEBG;(2)如圖,當點E在邊DA的延長線上,點G在邊BC上時,F(xiàn)G交AD于點H,試猜想AB、AE與BG的關(guān)系,并加以證明;(3)如圖,當點E在邊AD的延長線上,點G在邊BC上

8、時,F(xiàn)G交AD于點N,請直接寫出線段AB、AE、BG之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明圖 圖 圖第4題圖【答案】(1)證明:如解圖,延長AD交GF的延長線于點M,四邊形ABCD是正方形,第4題解圖A90,ABC90,又FGBC,四邊形ABGM是矩形,AMBG,A90,EFBE,M90,AEBMFE,在ABE和MEF中,ABEMEF(AAS),ABEM,AMAEEMAEAB,ABAEBG;(2)ABAEBG;證明:FEHBEA90,BEAABE90,F(xiàn)EHABE,在ABE和HEF中,ABEHEF(AAS),EHAB,EHAEABAEAH,四邊形ABGH是矩形,AHBG,ABAEBG;(3)AEABBG.

9、【解法提示】由(2)得ABENEF,NEAB,ANNEANABAE,BGAN,AEABBG.例5如圖,ABC中,ABBC,BDAC于點D,F(xiàn)ACABC,且FAC在AC下方,點P,Q分別是射線BD,射線AF上的動點,且點P不與點B重合,點Q不與點A重合,連接CQ,過點P作PECQ于點E,連接DE.(1)若ABC60,BPAQ.如圖,當點P在線段BD上運動時,請直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;如圖,當點P運動到線段BD的延長線上時,試判斷中的結(jié)論是否成立,并說明理由;(2)若ABC260,請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時,能使(1)中的結(jié)論仍然成立(用含的三角函數(shù)表

10、示)第5題圖【答案】解:(1)DEAQ,DEAQ;成立;【解法提示】如解圖,連接PC、PQ,第5題解圖BABC,ABC60,ABC是等邊三角形,BCAC,BCAC,F(xiàn)ACPBC30,AQBP,AQCBPC(SAS),QCPC,ACQBCP,ACQACPBCPACP60,PCQ是等邊三角形,又PEQC,E為QC的中點,ABBC,BDAC,D為AC的中點,DEAQ,DEAQ;成立理由如下:如解圖,連接PC、PQ.第5題解圖BABC,ABC60,ABC是等邊三角形,BCAC,BCAC,F(xiàn)ACPBC30,AQBP,AQCBPC(SAS),QCPC,ACQBCP,PCQBCA60,PCQ是等邊三角形,又

11、PEQC,E為QC的中點,ABBC,BDAC,D為AC的中點,DEAQ,DEAQ;第5題解圖(2)如解圖,連接PC,取PC中點M,連接MD、ME,設PE與AC交點為N,PDC90,MDPC,同理MEPC,即MPMCMDME,P、D、E、C四點共圓,NCENPD,EDCNPC,DEAQ,QACEDC,又QACPBC,NPCPBC,EPDNPCPBCBCP,EPDBCP,NCEBCP.由NCEBCP,QACPBC,得QACPBC,2sinDBC2sin,即 2sin.例6已知,ABC為直角三角形,ACB90,點P是射線CB上一點(點P不與點B、C重合),線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AQ,連

12、接QB交射線AC于點M.(1)如圖,當ACBC,點P在線段CB上時,線段PB,CM的數(shù)量關(guān)系是_;(2)如圖,當ACBC,點P在線段CB的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,請說明理由;(3)如圖,若,點P在線段CB的延長線上,CM2,AP13,求ABP的面積第6題圖【答案】解:(1)PB2CM;【解法提示】如解圖,過點Q作QDAC于點D,第6題解圖QEBC交BC的延長線于點E.AQ是由AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到的,APAQ,且PAQ90,PACQAD90,又PACAPC90,QADAPC,ACPQDA(AAS),ACQDCE,又ABC為等腰直角三角形,ACB

13、CEC,即點C為BE的中點,CMQE,即QE2CM,連接AE,ACCEBC,ABE為等腰直角三角形,AEAB,BAEPAQ90,BAPEAQ,又APAQ,APBAQE(SAS),BPQE2CM,PB2CM;(2)(1)中的結(jié)論PB2CM仍然成立; 證明:如解圖所示,過點Q作QGBC交BC的延長線于點G,過點A作AFQG交QG的延長線于點F.第6題解圖AQ是由AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到的,APAQ,且PAQ90,PACCAQ90,又QAFCAQ90,PACQAF,PACQAF(AAS),ACAF,四邊形AFGC為正方形,CGACBC,即C為BG的中點,QG2CM,連接AG可得,ABG為等腰直角

14、三角形,ABAG,PABBAQQAGBAQ90,PABQAG,PABQAG(SAS),PBQG2CM,PB2CM;(3) 如解圖所示,過點Q作QHAC交AC的延長線于點H.第6題解圖由題知,設AC5a,BC2a,由(2)知,ACPQHA,QHAC5a,又BCMQHM,MH5,又APAQ13,在RtAHQ中,根據(jù)勾股定理得:QH2AH2AQ2,(5a)2(5a25)2132,化簡得:5a27a120,即(a1)(5a12)0,解得:a11,a2(舍),BC2,AHCP12,AC5,BPPCBC12210,SABPBPAC10525.例7如圖,等邊ABC中,點D,E,F(xiàn)分別為邊AB,AC,BC的中

15、點,M為直線BC上一動點,DMN為等邊三角形(1)如圖,當點M在點B左側(cè)時,請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)如圖,當點M在線段BC上時,其他條件不變,(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請利用圖證明;若不成立,請說明理由;(3)若點M在點C右側(cè)時,請你在圖中畫出相應的圖形,并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請直接寫出結(jié)論,若不成立請說明理由第7題圖【答案】解:(1)ENMF;【解法提示】如解圖,連接DE、DF,D、E、F是等邊ABC三邊中點,DEF是等邊三角形,DEDF,EDF60,DMN為等邊三角形,DMDN,MDN60,MDFNDE60NDF,DMFDN

16、E(SAS),ENMF. 圖 圖第7題解圖(2)成立證明:如解圖,連接DE、DF和EF,ABC是等邊三角形,ABACBC.又D,E,F(xiàn)是三邊的中點, DE,DF,EF為三角形的中位線,DEDFEF,F(xiàn)DE60.又MDFFDN60, NDEFDN60, MDFNDE. 在DMF和DNE中,DMFDNE(SAS),ENFM;(3)畫出圖形如解圖,第7題解圖MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解圖,連接DE、EF、DF.第7題解圖D、E、F分別為AB、AC、BC的中點,且ABC是等邊三角形,DEF是等邊三角形,DEDF,EDF60.DMN是等邊三角形,DMDN,MDN60,M

17、DFMDEMDENDE,MDFNDE,MDFNDE(SAS),MFNE.例8已知,在矩形ABCD中,BC2AB,點M為AD邊的中點,連接BD,點P是對角線BD上的動點,連接AP,以點P為頂點作EPF90,PE交AB邊于點E,PF交AD邊于點F.(1)發(fā)現(xiàn)問題如圖,當點P運動過程中PBA與PAB互余時,線段BE、MF與AB的數(shù)量關(guān)系為_;(2)解決問題如圖,當點P運動過程中PBA與PAB相等時,請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;(3)拓展延伸在(2)的條件下,連接EF并延長EF,交直線BD于點G,若BEAF23,EF,求DG的長第8題圖【答案】解:(1)BE

18、MFAB;【解法提示】如解圖,取AB的中點N,連接PN、PM.第8題解圖PBA與PAB互余,PBAPAB90,APB90,APD90,N是AB的中點,M是AD的中點,PNBNANAB,AMDMPMAD,NAPNPA,MAPMPA.四邊形ABCD是矩形,BAD90,ABCD,ADBC.BC2AB,AD2AB,而NAPMAPBAD90,NPAMPA90,即NPM90.EPF90,NPMEPF,NPMEPMEPFEPM,NPEMPF.ABPBAP90,BAPDAP90,ABPDAP.PNBN,AMPM,ABPBPN,DAPMPA,ENPFMP,PNEPMF,.NEMF,BENEBN,BEMFBN,又

19、BNAB,BEMFAB.(2)不成立;理由如下:如解圖,取AB的中點N,連接PN、PM,第8題解圖四邊形ABCD是矩形,BADABC90,ABCD,ADBC,ADBC,ADBCBD,PBAPAB,PAPB,N是AB的中點,PNAB,ANP90,PABPAD90,PBAPBC90,PADPBC,PADPDA,PAPD.M是AD的中點,PMAD,PMA90,四邊形PMAN是矩形,NPM90,ANPM,PNAM.EPF90,NPMEPF,NPMEPMEPFEPM,NPEMPF.PNEPMF90,PNEPMF,.AD2AB,NE2MF.BENEBN,BE2MFBN,N是AB的中點,BNAB,BE2MF

20、AB,故(1)中結(jié)論不成立;(4) 如解圖,延長CD交FG于點H,設BE2a,則AF3a.第8題解圖BE2MFAB,BE2(AFAM)AB.AMAB,2a2(3aAB)AB,ABa,ADa,AEa,F(xiàn)Da.AE2AF2EF2,(a)2(3a)2()2,解得a13,a23(舍去)AE2,BE6,AF9,DF7,BD8.HDAB,AEFDHF,DH.四邊形ABCD是矩形,ABCD,即HDBE.GDHGBE,DG.例9如圖,在等腰RtABC和等腰RtEDB中,ACBC,DEBD,ACBEDB90,P為AE的中點(1)觀察猜想連接PC、PD,則線段PC與PD的位置關(guān)系是_,數(shù)量關(guān)系是_;(2)探究證明

21、如圖,當點E在線段AB上運動時,其他條件不變,作EFBC于F,連接PF,試判斷PCF的形狀,并說明理由;(3)拓展延伸在點E的運動過程中,當PCF是等邊三角形時,直接寫出ACB與EDB的兩直角邊之比第9題圖【答案】解:(1)PCPD,PCPD;【解法提示】如解圖,過點E作EFBC于F,過點P作PHBC于H,連接PF,第9題解圖易得四邊形EFBD是正方形,EFED,DEBFEB45,PEFPED135,在PEF和PED中,PEFPED(SAS),PFPD,EPFEPD,ACPHEF,點P為AE的中點,點H是FC的中點,CHHF,又PHBC,PCPF,故PCF是等腰三角形,CPHFPH,PCPD;

22、HPBHPFEPF45,CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90,PCPD.(2)PCF為等腰三角形,理由如下:如解圖,過點P作PHBC于點H,第9題解圖則ACPHEF,P為AE的中點,點H是FC的中點,CHHF,又PHBC,PCPF,PCF為等腰三角形;(3)2.【解法提示】如解圖,過點E作EFBC于點F,過點P作PHBC于點H,由(1)知,四邊形BDEF為正方形,設EFBFBDx,HFy,第9題解圖PCF是等邊三角形,PHy,PHEF,BEFBPH,即,解得yx,BCx2y(2)x,2.ACB與EDB的兩直角邊之比為2.例10已知在ABC中,AB邊上的動點D由A向B運動(與A,

23、B不重合),點E與點D同時出發(fā),由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合),連接DE交AC于F,點H是線段AF上一點(1)初步嘗試如圖,若ABC是等邊三角形,DHAC,且點D,E的運動速度相等,過點D作DGBC交AC于點G,則GH與AH的數(shù)量關(guān)系是_,GF與FC的數(shù)量關(guān)系是_,的值是_;(2)類比探究如圖,若在ABC中,ABC90,ADHA30,且點D,E的運動速度之比是1,求的值;(3)延伸拓展如圖,若在ABC中,ABAC,ADHA36,記m,且點D,E的運動速度相等,試用含m的代數(shù)式表示.(直接寫出結(jié)果,不必寫出解答過程)第10題圖【答案】解:(1)GHAH,GFFC,2;【解法提示】D

24、GBC,ADGB,AGDACB,ABC是等邊三角形,ABACB60,ADGAGDA,ADG是等邊三角形,GDADCE,DHAC,GHAH,DGBC,GDFCEF,DGFECF,在GDF和CEF中,GDFCEF(ASA),GFCF,GHGFAHCF,即HFAC,2.(2)如解圖,過點D作DGBC,交AC于點G,第10題解圖則ADGB90,AADH30,HGDHDG60,DHG是等邊三角形,AHGHGD,ADGD,根據(jù)題意得ADCE,GDCE,DGBC,GDFCEF,DGFECF,在GDF和CEF中,GDFCEF(ASA),GFCF,GHGFAHCF,即HFAC,2;(3).【解法提示】如解圖,過點D作DGBC,交AC于點G,第10題解圖則ADGB,AGDACB,ADEC,ABAC,A36,ACBBADGAGD72,ADHA36,AHDH,DHG72AGD,DGDHAH,ADGABC,ADGDGH,DGHABC,m,m,DGBC,DFGEFC,又CEAD,m,m,m,1.22

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