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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型七 綜合實(shí)踐題

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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型七 綜合實(shí)踐題

題型七 綜合實(shí)踐題例1【問(wèn)題情境】已知RtABC中,BAC90°,ABAC,點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),以CE為一邊作RtDCE,使DCE90°,且CDCA.沿CA方向平移CDE,使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)A,得到ABF.過(guò)點(diǎn)F作FGBC,交線段BC于點(diǎn)G,連接DG、EG.【深入探究】(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),小文猜想GCGF,請(qǐng)你幫他證明這一結(jié)論;(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上,且CECA時(shí),猜想線段DG與EG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的猜想;【拓展應(yīng)用】(3)如圖,將(2)中的“CECA”改為“CECA”,若設(shè)CDE,請(qǐng)用含的式子表示CGE的度數(shù)(直接回答即可,不必證明)第1題圖【答案】(1)證明:在RtBAC中,BAC90°,ABAC,BCAABC45°,F(xiàn)GBC,F(xiàn)GC90°,GFC90°GCF45°,GFCGCF,GCGF;(2)解:DGEG,DGEG;證明:同(1)可證GCGF,DCE90°,BCA45°,DCG45°,GFC45°,DCGEFG,CDE平移得到ABF,CEAF,CECFAFCF,即EFAC,ACCD,EFCD,DCGEFG(SAS),DGEG,DGCEGF,DGCEGCEGFEGC,即DGECGF90°,DGEG;(3)解:CGE180°.例2在正方形ABCD中,BD是一條對(duì)角線,點(diǎn)P在直線CD上(不與點(diǎn)C、D重合),連接AP,平移ADP,使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C,得到BCQ,過(guò)點(diǎn)Q作QHBD于H,連接AH,PH.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖,若點(diǎn)P在線段CD上,AH與PH的數(shù)量關(guān)系是_,位置關(guān)系是_; 【拓展探究】(2)如圖,若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明,否則說(shuō)明理由;【解決問(wèn)題】(3)若點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上,且AHQ120°,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接寫(xiě)出DP的長(zhǎng)度第2題圖【答案】解:(1)AHPH,AHPH;【解法提示】如解圖,連接HC,第2題解圖四邊形ABCD是正方形,BDC45°,又QHBD,DHQ是等腰直角三角形,HDHQ,HDPHQC45°,由平移的性質(zhì)可知DPCQ,在HDP和HQC中,HDPHQC.HPHC,DHPQHC.根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到HAHC,AHDCHD,AHPAHDDHPCHDQHC90°,即AHPH.HAHP,AHPH.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:如解圖,連接HC,第2題解圖四邊形ABCD是正方形,BDC45°,又QHBD,DHQ是等腰直角三角形,HDPHQC135°,HDHQ,由平移的性質(zhì)可知DPCQ,在HDP和HQC中,HDPHQC(SAS),HPHC,DHPQHC,根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到HAHC,AHDCHD,AHPAHDDHPCHDCHQ90°,HAHP,AHPH;(3)DP2.【解法提示】由(1)知,AHPH,AHPH,HPA45°,AHQ120°,PHQ120°90°30°.PHDQHDPHQ60°,AHBCHBAHPPHD30°,CHPCHBAHB30°,CPH75°,APDCPHAPH30°,在RtADP中,AD2,DP2.例3如圖,在RtABC中,ACB90°,A30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合),連接OC、OP,將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí),若BPO45°,AC,請(qǐng)直接寫(xiě)出BQ的長(zhǎng)第3題圖【答案】解:(1)CPBQ; 【解法提示】如解圖,連接OQ,第3題解圖由旋轉(zhuǎn)可知,PQOP,OPQ60°,POQ是等邊三角形,OPOQ,POQ60°,在RtABC中,O是AB中點(diǎn),OCOAOB,BOC2A60°POQ,COPBOQ,在COP和BOQ中,COPBOQ(SAS),CPBQ;(2)成立,理由如下:如解圖,連接OQ,圖由旋轉(zhuǎn)知PQOP,OPQ60°,POQ是等邊三角形,OPOQ,POQ60°,在RtABC中,O是AB中點(diǎn),OCOAOB,BOC2A60°POQ,COPBOQ,在COP和BOQ中,COPBOQ(SAS),CPBQ;(3)BQ.【解法提示】在RtABC中,A30°,AC,BCAC·tanA,如解圖,過(guò)點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H,第3題解圖OHB90°BCA,OHAC,O是AB中點(diǎn),CHBC,OHAC,BPO45°,OHP90°,BPOPOH,PHOH,CPPHCH,連接OQ,同(1)的方法得,BQCP.例4已知正方形ABCD,點(diǎn)E在直線AD上(不與點(diǎn)A、D重合),連接BE,作EFBE,且EFBE,過(guò)點(diǎn)F作FGBC,交直線BC于點(diǎn)G.(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上,點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí),求證:ABAEBG;(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在邊DA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)G在邊BC上時(shí),F(xiàn)G交AD于點(diǎn)H,試猜想AB、AE與BG的關(guān)系,并加以證明;(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)G在邊BC上時(shí),F(xiàn)G交AD于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB、AE、BG之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明圖 圖 圖第4題圖【答案】(1)證明:如解圖,延長(zhǎng)AD交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,四邊形ABCD是正方形,第4題解圖A90°,ABC90°,又FGBC,四邊形ABGM是矩形,AMBG,A90°,EFBE,M90°,AEBMFE,在ABE和MEF中,ABEMEF(AAS),ABEM,AMAEEMAEAB,ABAEBG;(2)ABAEBG;證明:FEHBEA90°,BEAABE90°,F(xiàn)EHABE,在ABE和HEF中,ABEHEF(AAS),EHAB,EHAEABAEAH,四邊形ABGH是矩形,AHBG,ABAEBG;(3)AEABBG.【解法提示】由(2)得ABENEF,NEAB,ANNEANABAE,BGAN,AEABBG.例5如圖,ABC中,ABBC,BDAC于點(diǎn)D,F(xiàn)ACABC,且FAC在AC下方,點(diǎn)P,Q分別是射線BD,射線AF上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)Q不與點(diǎn)A重合,連接CQ,過(guò)點(diǎn)P作PECQ于點(diǎn)E,連接DE.(1)若ABC60°,BPAQ.如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;如圖,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),試判斷中的結(jié)論是否成立,并說(shuō)明理由;(2)若ABC260°,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),能使(1)中的結(jié)論仍然成立(用含的三角函數(shù)表示)第5題圖【答案】解:(1)DEAQ,DEAQ;成立;【解法提示】如解圖,連接PC、PQ,第5題解圖BABC,ABC60°,ABC是等邊三角形,BCAC,BCAC,F(xiàn)ACPBC30°,AQBP,AQCBPC(SAS),QCPC,ACQBCP,ACQACPBCPACP60°,PCQ是等邊三角形,又PEQC,E為QC的中點(diǎn),ABBC,BDAC,D為AC的中點(diǎn),DEAQ,DEAQ;成立理由如下:如解圖,連接PC、PQ.第5題解圖BABC,ABC60°,ABC是等邊三角形,BCAC,BCAC,F(xiàn)ACPBC30°,AQBP,AQCBPC(SAS),QCPC,ACQBCP,PCQBCA60°,PCQ是等邊三角形,又PEQC,E為QC的中點(diǎn),ABBC,BDAC,D為AC的中點(diǎn),DEAQ,DEAQ;第5題解圖(2)如解圖,連接PC,取PC中點(diǎn)M,連接MD、ME,設(shè)PE與AC交點(diǎn)為N,PDC90°,MDPC,同理MEPC,即MPMCMDME,P、D、E、C四點(diǎn)共圓,NCENPD,EDCNPC,DEAQ,QACEDC,又QACPBC,NPCPBC,EPDNPCPBCBCP,EPDBCP,NCEBCP.由NCEBCP,QACPBC,得QACPBC,2sinDBC2sin,即 2sin.例6已知,ABC為直角三角形,ACB90°,點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合),線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ,連接QB交射線AC于點(diǎn)M.(1)如圖,當(dāng)ACBC,點(diǎn)P在線段CB上時(shí),線段PB,CM的數(shù)量關(guān)系是_;(2)如圖,當(dāng)ACBC,點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫(xiě)出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖,若,點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上,CM2,AP13,求ABP的面積第6題圖【答案】解:(1)PB2CM;【解法提示】如解圖,過(guò)點(diǎn)Q作QDAC于點(diǎn)D,第6題解圖QEBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.AQ是由AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,APAQ,且PAQ90°,PACQAD90°,又PACAPC90°,QADAPC,ACPQDA(AAS),ACQDCE,又ABC為等腰直角三角形,ACBCEC,即點(diǎn)C為BE的中點(diǎn),CMQE,即QE2CM,連接AE,ACCEBC,ABE為等腰直角三角形,AEAB,BAEPAQ90°,BAPEAQ,又APAQ,APBAQE(SAS),BPQE2CM,PB2CM;(2)(1)中的結(jié)論P(yáng)B2CM仍然成立; 證明:如解圖所示,過(guò)點(diǎn)Q作QGBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作AFQG交QG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.第6題解圖AQ是由AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,APAQ,且PAQ90°,PACCAQ90°,又QAFCAQ90°,PACQAF,PACQAF(AAS),ACAF,四邊形AFGC為正方形,CGACBC,即C為BG的中點(diǎn),QG2CM,連接AG可得,ABG為等腰直角三角形,ABAG,PABBAQQAGBAQ90°,PABQAG,PABQAG(SAS),PBQG2CM,PB2CM;(3) 如解圖所示,過(guò)點(diǎn)Q作QHAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.第6題解圖由題知,設(shè)AC5a,BC2a,由(2)知,ACPQHA,QHAC5a,又BCMQHM,MH5,又APAQ13,在RtAHQ中,根據(jù)勾股定理得:QH2AH2AQ2,(5a)2(5a25)2132,化簡(jiǎn)得:5a27a120,即(a1)(5a12)0,解得:a11,a2(舍),BC2,AHCP12,AC5,BPPCBC12210,SABPBP·AC×10×525.例7如圖,等邊ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn),M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn),DMN為等邊三角形(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí),其他條件不變,(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請(qǐng)利用圖證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí),請(qǐng)你在圖中畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論,若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由第7題圖【答案】解:(1)ENMF;【解法提示】如解圖,連接DE、DF,D、E、F是等邊ABC三邊中點(diǎn),DEF是等邊三角形,DEDF,EDF60°,DMN為等邊三角形,DMDN,MDN60°,MDFNDE60°NDF,DMFDNE(SAS),ENMF. 圖 圖第7題解圖(2)成立證明:如解圖,連接DE、DF和EF,ABC是等邊三角形,ABACBC.又D,E,F(xiàn)是三邊的中點(diǎn), DE,DF,EF為三角形的中位線,DEDFEF,F(xiàn)DE60°.又MDFFDN60°, NDEFDN60°, MDFNDE. 在DMF和DNE中,DMFDNE(SAS),ENFM;(3)畫(huà)出圖形如解圖,第7題解圖MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解圖,連接DE、EF、DF.第7題解圖D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn),且ABC是等邊三角形,DEF是等邊三角形,DEDF,EDF60°.DMN是等邊三角形,DMDN,MDN60°,MDFMDEMDENDE,MDFNDE,MDFNDE(SAS),MFNE.例8已知,在矩形ABCD中,BC2AB,點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn),連接BD,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),連接AP,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作EPF90°,PE交AB邊于點(diǎn)E,PF交AD邊于點(diǎn)F.(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題如圖,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PBA與PAB互余時(shí),線段BE、MF與AB的數(shù)量關(guān)系為_(kāi);(2)解決問(wèn)題如圖,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PBA與PAB相等時(shí),請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)拓展延伸在(2)的條件下,連接EF并延長(zhǎng)EF,交直線BD于點(diǎn)G,若BEAF23,EF,求DG的長(zhǎng)第8題圖【答案】解:(1)BEMFAB;【解法提示】如解圖,取AB的中點(diǎn)N,連接PN、PM.第8題解圖PBA與PAB互余,PBAPAB90°,APB90°,APD90°,N是AB的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn),PNBNANAB,AMDMPMAD,NAPNPA,MAPMPA.四邊形ABCD是矩形,BAD90°,ABCD,ADBC.BC2AB,AD2AB,而NAPMAPBAD90°,NPAMPA90°,即NPM90°.EPF90°,NPMEPF,NPMEPMEPFEPM,NPEMPF.ABPBAP90°,BAPDAP90°,ABPDAP.PNBN,AMPM,ABPBPN,DAPMPA,ENPFMP,PNEPMF,.NEMF,BENEBN,BEMFBN,又BNAB,BEMFAB.(2)不成立;理由如下:如解圖,取AB的中點(diǎn)N,連接PN、PM,第8題解圖四邊形ABCD是矩形,BADABC90°,ABCD,ADBC,ADBC,ADBCBD,PBAPAB,PAPB,N是AB的中點(diǎn),PNAB,ANP90°,PABPAD90°,PBAPBC90°,PADPBC,PADPDA,PAPD.M是AD的中點(diǎn),PMAD,PMA90°,四邊形PMAN是矩形,NPM90°,ANPM,PNAM.EPF90°,NPMEPF,NPMEPMEPFEPM,NPEMPF.PNEPMF90°,PNEPMF,.AD2AB,NE2MF.BENEBN,BE2MFBN,N是AB的中點(diǎn),BNAB,BE2MFAB,故(1)中結(jié)論不成立;(4) 如解圖,延長(zhǎng)CD交FG于點(diǎn)H,設(shè)BE2a,則AF3a.第8題解圖BE2MFAB,BE2(AFAM)AB.AMAB,2a2(3aAB)AB,ABa,ADa,AEa,F(xiàn)Da.AE2AF2EF2,(a)2(3a)2()2,解得a13,a23(舍去)AE2,BE6,AF9,DF7,BD8.HDAB,AEFDHF,DH.四邊形ABCD是矩形,ABCD,即HDBE.GDHGBE,DG.例9如圖,在等腰RtABC和等腰RtEDB中,ACBC,DEBD,ACBEDB90°,P為AE的中點(diǎn)(1)觀察猜想連接PC、PD,則線段PC與PD的位置關(guān)系是_,數(shù)量關(guān)系是_;(2)探究證明如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),其他條件不變,作EFBC于F,連接PF,試判斷PCF的形狀,并說(shuō)明理由;(3)拓展延伸在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)PCF是等邊三角形時(shí),直接寫(xiě)出ACB與EDB的兩直角邊之比第9題圖【答案】解:(1)PCPD,PCPD;【解法提示】如解圖,過(guò)點(diǎn)E作EFBC于F,過(guò)點(diǎn)P作PHBC于H,連接PF,第9題解圖易得四邊形EFBD是正方形,EFED,DEBFEB45°,PEFPED135°,在PEF和PED中,PEFPED(SAS),PFPD,EPFEPD,ACPHEF,點(diǎn)P為AE的中點(diǎn),點(diǎn)H是FC的中點(diǎn),CHHF,又PHBC,PCPF,故PCF是等腰三角形,CPHFPH,PCPD;HPBHPFEPF45°,CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90°,PCPD.(2)PCF為等腰三角形,理由如下:如解圖,過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H,第9題解圖則ACPHEF,P為AE的中點(diǎn),點(diǎn)H是FC的中點(diǎn),CHHF,又PHBC,PCPF,PCF為等腰三角形;(3)2.【解法提示】如解圖,過(guò)點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H,由(1)知,四邊形BDEF為正方形,設(shè)EFBFBDx,HFy,第9題解圖PCF是等邊三角形,PHy,PHEF,BEFBPH,即,解得yx,BCx2y(2)x,2.ACB與EDB的兩直角邊之比為2.例10已知在ABC中,AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合),點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā),由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連接DE交AC于F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)(1)初步嘗試如圖,若ABC是等邊三角形,DHAC,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等,過(guò)點(diǎn)D作DGBC交AC于點(diǎn)G,則GH與AH的數(shù)量關(guān)系是_,GF與FC的數(shù)量關(guān)系是_,的值是_;(2)類比探究如圖,若在ABC中,ABC90°,ADHA30°,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是1,求的值;(3)延伸拓展如圖,若在ABC中,ABAC,ADHA36°,記m,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等,試用含m的代數(shù)式表示.(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)出解答過(guò)程)第10題圖【答案】解:(1)GHAH,GFFC,2;【解法提示】DGBC,ADGB,AGDACB,ABC是等邊三角形,ABACB60°,ADGAGDA,ADG是等邊三角形,GDADCE,DHAC,GHAH,DGBC,GDFCEF,DGFECF,在GDF和CEF中,GDFCEF(ASA),GFCF,GHGFAHCF,即HFAC,2.(2)如解圖,過(guò)點(diǎn)D作DGBC,交AC于點(diǎn)G,第10題解圖則ADGB90°,AADH30°,HGDHDG60°,DHG是等邊三角形,AHGHGD,ADGD,根據(jù)題意得ADCE,GDCE,DGBC,GDFCEF,DGFECF,在GDF和CEF中,GDFCEF(ASA),GFCF,GHGFAHCF,即HFAC,2;(3).【解法提示】如解圖,過(guò)點(diǎn)D作DGBC,交AC于點(diǎn)G,第10題解圖則ADGB,AGDACB,ADEC,ABAC,A36°,ACBBADGAGD72°,ADHA36°,AHDH,DHG72°AGD,DGDHAH,ADGABC,ADGDGH,DGHABC,m,m,DGBC,DFGEFC,又CEAD,m,m,m,1.22

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