2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型五 二次函數(shù)與特殊平行四邊形判定問題

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1、類型五 二次函數(shù)與特殊平行四邊形判定問題 例1、如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)是軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由。 【解析】（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn),∴ ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)， ∴ ∴拋物線的解析式為 （2）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且在拋物線上 ∴ ∵∥，∴當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ① 當(dāng)時(shí)， ∴，解得： 即當(dāng)或時(shí)，四邊形是平行四邊形 ② 當(dāng)時(shí)， ，解得：（舍去） 即當(dāng)時(shí)

2、，四邊形是平行四邊形 例2、如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF． （1）求拋物線的解析式； （2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 【解析】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上， ∴， 解得a=﹣1，b=2， ∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3． （2）在拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，

3、∴C（0，3）． 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標(biāo)代入得： ， 解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3． 設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），則P（x，0），F(xiàn)（x，﹣x+3）， ∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四邊形ODEF是平行四邊形， ∴EF=OD=2， ∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）． 例3、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)，，． （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； （3）設(shè)點(diǎn)E在

4、軸上，點(diǎn)F在拋物線上，如果A、C、E、F構(gòu)成平行四邊形，請寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)（不必書寫計(jì)算過程）． C A B O y x 【解析】解：（1）∵ ∴C (0,3) ………………………………………………1分 又∵tan∠OCA= ∴A（1，0）……………………………………………1分 又∵S△ABC=6 ∴ ∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B（，0）…………………………………………1分 （2）把A（1，0）、B（，0）代入得： …………………………………………1分 ∴，

5、∴……………………………………2分 ∵ ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）………………………………1分 （3）①AC為平行四邊形的一邊時(shí) E1析(，0) ………………………………………1分 E2（，0）………………………………1分 E3（，0）………………………………1分 ②AC為平行四邊形的對角線時(shí) E4（3，0）…………………………………………1分 例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，﹣3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫

6、坐標(biāo)為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時(shí)，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解析】： （1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可； （2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣

7、3）=﹣t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到 當(dāng)t=﹣=時(shí)，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計(jì)算即可； （3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值． 【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得 解得，所以拋物線的解析式是y=x2

8、﹣2x﹣3． 設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得， 所以直線AB的解析式是y=x﹣3； （2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3）， 因?yàn)閜在第四象限， 所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t， 當(dāng)t=﹣=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=， 則S△ABM=S△BPM+S△APM==． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形， ①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時(shí)只有，所以不可能有PM=3． ②當(dāng)P在第一

9、象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是； ③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是． 所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或． 例5、如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn). (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. x y A O C B （第5題圖）

10、 【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 ， x y A O C B （第5題圖） P N M H 根據(jù)題意，得， 解得 ∴拋物線的解析式為： ………(3分) （2）由題意知，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn) 即為所求. 設(shè)直線BC的解析式為， 由題意，得解得 ∴直線BC的解析式為 …………(6分) ∵拋物線的對稱軸是， ∴當(dāng)時(shí)， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是. …………(7分) （3）存在 …………………………(8分) (i)當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，如圖所示，∵四邊形ACNM是平行四邊形，∴CN∥x軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對稱軸x=2對稱，∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ………………………(11分) （II）當(dāng)存在的點(diǎn)在x軸上方時(shí)，如圖所示，作軸于點(diǎn)H，∵四邊形是平行四邊形，∴, ∴Rt△CAO ≌Rt△,∴. ∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為,即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， ∴即 解得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為和. 綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)， 分別為，， ………………………(13分) 7