2020年中考數學二輪復習 重難題型突破 類型五 二次函數與特殊平行四邊形判定問題

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1、類型五 二次函數與特殊平行四邊形判定問題 例1、如圖，拋物線與直線交于兩點，其中點在軸上，點的坐標為。點是軸右側的拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點. （1）求拋物線的解析式； （2）若點的橫坐標為，當為何值時，以為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由。 【解析】（1）∵直線經過點,∴ ∵拋物線經過點， ∴ ∴拋物線的解析式為 （2）∵點的橫坐標為且在拋物線上 ∴ ∵∥，∴當時，以為頂點的四邊形是平行四邊形 ① 當時， ∴，解得： 即當或時，四邊形是平行四邊形 ② 當時， ，解得：（舍去） 即當時

2、，四邊形是平行四邊形 例2、如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF． （1）求拋物線的解析式； （2）當四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標； 【解析】解：（1）∵點A（﹣1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上， ∴， 解得a=﹣1，b=2， ∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3． （2）在拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，

3、∴C（0，3）． 設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標代入得： ， 解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3． 設E點坐標為（x，﹣x2+2x+3），則P（x，0），F（x，﹣x+3）， ∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四邊形ODEF是平行四邊形， ∴EF=OD=2， ∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2， ∴P點坐標為（1，0）或（2，0）． 例3、如圖，拋物線與軸交于點C，與軸交于A、B兩點，，． （1）求點B的坐標； （2）求拋物線的解析式及頂點坐標； （3）設點E在

4、軸上，點F在拋物線上，如果A、C、E、F構成平行四邊形，請寫出點E的坐標（不必書寫計算過程）． C A B O y x 【解析】解：（1）∵ ∴C (0,3) ………………………………………………1分 又∵tan∠OCA= ∴A（1，0）……………………………………………1分 又∵S△ABC=6 ∴ ∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B（，0）…………………………………………1分 （2）把A（1，0）、B（，0）代入得： …………………………………………1分 ∴，

5、∴……………………………………2分 ∵ ∴頂點坐標（，）………………………………1分 （3）①AC為平行四邊形的一邊時 E1析(，0) ………………………………………1分 E2（，0）………………………………1分 E3（，0）………………………………1分 ②AC為平行四邊形的對角線時 E4（3，0）…………………………………………1分 例4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫

6、坐標為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由． 【解析】： （1）分別利用待定系數法求兩函數的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關于m、n的兩個方程組，解方程組即可； （2）設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣

7、3）=﹣t2+3t，然后根據二次函數的最值得到 當t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可； （3）由PM∥OB，根據平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值． 【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得 解得，所以拋物線的解析式是y=x2

8、﹣2x﹣3． 設直線AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得， 所以直線AB的解析式是y=x﹣3； （2）設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3）， 因為p在第四象限， 所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t， 當t=﹣=時，二次函數的最大值，即PM最長值為=， 則S△ABM=S△BPM+S△APM==． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形， ①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3． ②當P在第一

9、象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點的橫坐標是； ③當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點的橫坐標是． 所以P點的橫坐標是或． 例5、如圖，拋物線經過三點. (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標； (3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由. x y A O C B （第5題圖）

10、 【解析】解：（1）設拋物線的解析式為 ， x y A O C B （第5題圖） P N M H 根據題意，得， 解得 ∴拋物線的解析式為： ………(3分) （2）由題意知，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接BC交拋物線的對稱軸于點P，則P點 即為所求. 設直線BC的解析式為， 由題意，得解得 ∴直線BC的解析式為 …………(6分) ∵拋物線的對稱軸是， ∴當時， ∴點P的坐標是. …………(7分) （3）存在 …………………………(8分) (i)當存在的點N在x軸的下方時，如圖所示，∵四邊形ACNM是平行四邊形，∴CN∥x軸，∴點C與點N關于對稱軸x=2對稱，∵C點的坐標為，∴點N的坐標為 ………………………(11分) （II）當存在的點在x軸上方時，如圖所示，作軸于點H，∵四邊形是平行四邊形，∴, ∴Rt△CAO ≌Rt△,∴. ∵點C的坐標為,即N點的縱坐標為， ∴即 解得 ∴點的坐標為和. 綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個， 分別為，， ………………………(13分) 7