2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第14講 線段、角、相交線和平行線（含解析）

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1、第14講　線段、角、相交線和平行線 1．線段與直線 (1)兩個(gè)基本事實(shí)： 直線的基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線； 線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短． (2)兩點(diǎn)間距離：連接兩點(diǎn)的線段，叫做兩點(diǎn)之間的距離． (3)線段的中點(diǎn)：如圖，點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩段AC與BC，點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn)，即AC＝BC＝AB. (4)線段的和與差：如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，則AC＋BC＝AB，AC＝AB－BC，BC＝AB－AC. 2．角及角平分線 (1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ， 1°＝__60′，1′＝60_″. (2)小于直角的角叫做_銳角_

2、；大于直角而小于平角的角叫做鈍角； 度數(shù)是90°的角叫做直角． (3)余角：兩個(gè)角的和等于90°時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)角互為余角；同角(或等角)的余角_相等_． 補(bǔ)角：兩個(gè)角的和等于180°時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；同角(或等角)的補(bǔ)角相等． (4)角平分線：①?gòu)囊粋€(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角平分成相等的兩個(gè)角，這條射線叫這個(gè)角的角平分線；②角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離_相等_；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。 3．相交線(如圖) (1)①鄰補(bǔ)角：在一條直線上且互補(bǔ)的一對(duì)角，如：∠1與∠4，∠1與∠2，∠6與∠7等 性質(zhì)：鄰補(bǔ)角和為180°. ②對(duì)頂角：相交線中

3、相對(duì)的一組角，如：∠1與∠3，∠2與∠4，∠5與∠7，∠6與∠8. 性質(zhì)：對(duì)頂角相等． (2)三線八角： 同位角有∠4與∠8，∠1與∠5，∠3與∠7，∠2與∠6； 內(nèi)錯(cuò)角有∠3與∠5，∠2與∠8； 同旁內(nèi)角有∠3與∠8，∠2與∠5. (3)①垂線定義：兩直線相交所組成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角時(shí)，我們稱(chēng)這兩條直線互相垂直_，其中一條直線叫另一條直線的_垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足； ②垂線基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直； ③垂線段性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中 垂線段 最短； ④點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線

4、段 ，叫做點(diǎn)到直線的距離； ⑤垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上． 4．平行線 (1)在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線； (2)平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn) 有且只有一條直線與已知直線平行； 推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行； (3)平行線判定與性質(zhì)： 判定定理性質(zhì)定理 考點(diǎn)1： 幾何圖形基本知識(shí) 【例題1】若C、D是線段AB上兩點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn)，AB=10cm，BC=4cm，則A

5、D的長(zhǎng)是________ cm． 【分析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則可求得AD的長(zhǎng)． 解析：如圖：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=AC=3cm，故答案為：3 【同步練】已知線段AB=10cm，線段BC=4cm，則線段AC的長(zhǎng)是________?cm． 解：（1）如圖1，點(diǎn)B在點(diǎn)A、C的中間時(shí)， ， AC=AB+BC=10+4=14（cm） （2）如圖2，點(diǎn)C在點(diǎn)A、B的中間時(shí)， ， AC=AB﹣BC=10﹣4=6（cm） ∴線段AC的長(zhǎng)是14或6c

6、m． 故答案為：14或6． 考點(diǎn)2： 平行線的判定 【例題2】一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含45°角的三角板ADE固定不動(dòng)，把含30°角的三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使兩塊三角板至少有一組邊平行． (1)如圖1，α＝15°時(shí)，DE∥BC； (2)請(qǐng)你在圖2、圖3中各畫(huà)一種符合要求的圖形，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的α的度數(shù)和平行線段． 　　　　 　　　圖1　　　　　　　　　　　圖2　　　　　　　　　圖3 【解答】解：當(dāng)α＝60°時(shí)，BC∥DA. ∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°. ∴∠DAC＋∠C＝180°.∴B

7、C∥DA. 當(dāng)α＝105°時(shí)，BC∥EA. ∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°. ∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B. ∴BC∥EA. 歸納：已知角的大小，判斷兩直線平行時(shí)：(1)先看已知角是哪兩條直線被哪條直線所截得到的，是一對(duì)什么角；(2)再看是否滿足兩直線平行的判定條件，若滿足，則平行；否則不平行． 考點(diǎn)3：平行線性質(zhì) 【例題3】（2018?重慶）如圖，AB∥CD，△EFG的頂點(diǎn)F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度數(shù)． 【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FGH=55°，再根

8、據(jù)GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根據(jù)∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°． 【解答】解：∵∠EFG=90°，∠E=35°， ∴∠FGH=55°， ∵GE平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°， ∵∠FHG是△EFH的外角， ∴∠EFB=55°﹣35°=20°． 歸納：對(duì)于利用平行線性質(zhì)求角度的問(wèn)題：(1)通過(guò)觀察題圖和已知條件得出已知和所求的角是否可以直接通過(guò)平行線的哪些性質(zhì)得出；(2)結(jié)合兩角互余、兩角互補(bǔ)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)外角關(guān)系進(jìn)行求解；(3)若題中提到角平

9、分線，則在解題過(guò)程中注意角之間的等量代換．最后根據(jù)角之間的等量關(guān)系即可求解． 一、選擇題： 1. （2018?邵陽(yáng)）如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，已知∠AOD=160°，則∠BOC的大小為（　　） A．20° B．60° C．70° D．160° 【答案】D 【解答】∵∠AOD=160°， ∴∠BOC=∠AOD=160°， 故選：D． 2. （2019?湖北十堰?3分）如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝50°，則∠2＝（　?。? A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵直線AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°．

10、∵∠1＝50°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵直線a∥b， ∴∠1＝∠3＝40°， 故選：C． 3. （2018?孝感）如圖，直線AD∥BC，若∠1=42°，∠BAC=78°，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．42° B．50° C．60° D．68° 【答案】C 【解答】解：∵∠1=42°，∠BAC=78°， ∴∠ABC=60°， 又∵AD∥BC， ∴∠2=∠ABC=60°， 故選：C． 4. （2018?銅仁市）在同一平面內(nèi)，設(shè)a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b的距離為4cm，b與c的距離為1cm，則a與c的距離為（　?。? A．1cm B．3cm

11、 C．5cm或3cm D．1cm或3cm 【答案】C 【解答】解：當(dāng)直線c在a、b之間時(shí)， ∵a、b、c是三條平行直線， 而a與b的距離為4cm，b與c的距離為1cm， ∴a與c的距離=4﹣1=3（cm）； 當(dāng)直線c不在a、b之間時(shí)， ∵a、b、c是三條平行直線， 而a與b的距離為4cm，b與c的距離為1cm， ∴a與c的距離=4+1=5（cm）， 綜上所述，a與c的距離為3cm或3cm． 故選：C． 5. （2019?河北省?3分）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號(hào)代表的內(nèi)容 則回答正確的是（　?。? A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲

12、代表∠EFC D．※代表AB 【答案】C 證明：延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F， 則∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． 二、填空題： 6. （2019?廣西貴港?3分）如圖，直線a∥b，直線m與a，b均相交，若∠1＝38°，則∠2＝　． 【答案】　142° 【解答】解：如圖， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣38°＝142°． 故答案為142°． 7. （2018?通遼）如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠A

13、OB=37°45′，在OB邊上有一點(diǎn)E，從點(diǎn)E射出一束光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線DC恰好與OB平行，則∠DEB的度數(shù)是　 　． 【答案】75°30′（或75.5°）． 【解答】解：∵CD∥OB， ∴∠ADC=∠AOB， ∵∠EDO=∠CDA， ∴∠EDO=∠AOB=37°45′， ∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°）， 故答案為75°30′（或75.5°）． 8. （2019?甘肅?3分）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，那么∠2的度數(shù)是（　?。? A．48° B．78° C．

14、92° D．102° 【答案】D 【解答】解：∵將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1＝48°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°． 故選：D． 9. 如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，AB=12厘米，點(diǎn)C在線段AB上，且BC=4厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)　 　秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為5厘米． 【答案】或1或3或9． 【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒． ①如果點(diǎn)P向左、點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)， 由題意，得：t+2t=5﹣4， 解得t=；

15、 ②點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)， 由題意，得：2t﹣t=5﹣4， 解得t=1； ③點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)， 由題意，得：2t﹣t=5+4， 解得t=9． ④點(diǎn)P向右、點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)， 由題意，得：2t﹣4+t=5， 解得t=3． 綜上所述，經(jīng)過(guò)或1或3秒時(shí)線段PQ的長(zhǎng)為5厘米． 故答案為或1或3或9． 三、解答題： 10. 已知∠α=76°，∠β=41°31′，求： （1）∠β的余角； （2）∠α的2倍與∠β的的差． 【分析】（1）根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和為90度可得∠β的余角=90°﹣∠β，將∠β=41°31′代入計(jì)算即可； （2）將∠α=76°，∠β=41°31′代入2

16、∠α﹣∠β，然后計(jì)算即可． 解析：（1）∠β的余角=90°﹣∠β =90°﹣41°31′ =48°29′； （2）∵∠α=76°，∠β=41°31′， ∴2∠α﹣∠β=2×76°﹣×41°31′ =152°﹣20°45′30″ 11. 已知線段AB=6，在直線AB上取一點(diǎn)P，恰好使AP=2PB，點(diǎn)Q為PB的中點(diǎn)，求線段AQ的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖1所示，∵AP=2PB，AB=6， ∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4； ∵點(diǎn)Q為PB的中點(diǎn)， ∴PQ=QB=PB=×2=1； ∴AQ=AP+PQ=4+1=5． 如圖2所示，∵AP=2PB，AB=6， ∴AB=

17、BP=6， ∵點(diǎn)Q為PB的中點(diǎn)， ∴BQ=3， ∴AQ=AB+BQ=6+3=9． 故AQ的長(zhǎng)度為5或9． 12. 有三個(gè)海島A，B，C，其中C島在A島的北偏東60°方向． (1)如圖1，若C島在B島的南偏東25°方向，求∠BCA的度數(shù)； (2)如圖2，若C島在B島北偏西50°方向上，求C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù)． 圖1圖2 　　　　 【解答】解：(1)根據(jù)題意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°. ∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°. ∵BM∥AD，∴BM∥EG. ∴∠ECB＝∠CBM＝25°. ∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.

18、 (2)過(guò)點(diǎn)C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°. ∵AD∥BE，∴BE∥CM. ∴∠BCM＝∠CBE＝50°. ∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°. 13. 如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，將一直角三角板如圖擺放(∠MON＝90°) ． (1)將圖①中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖②，使邊OM恰好平分∠BOC，問(wèn)：ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)將圖①中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖③，使邊ON在∠BOC的內(nèi)部，如果∠BOC＝60°，則∠BOM與∠NOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系? 請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】解：(1)ON平分∠AOC．

19、理由如下： ∵ ∠MON＝90° ∴ ∠BOM+∠AON＝90° ∠MOC+∠NOC＝90° 又∵ OM平分∠BOC ∴ ∠BOM＝∠MOC ∴ ∠AON＝∠NOC ∴ ON平分∠AOC (2)∵ ∠CON+∠NOB＝60° 又∵ ∠BOM+∠NOB＝90° ∴ ∠BOM＝∠NOC+30° 14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD． （1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)； （2）若在y軸上存在點(diǎn) M，連接MA，MB，

20、使S△MAB=S平行四邊形ABDC，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． （3）若點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng)，連接PC，PO． ①若P在線段BD之間時(shí)（不與B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范圍； ②若P在直線BD上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CPO、∠DCP、∠BOP的數(shù)量關(guān)系． 【解答】（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）； （2）∵AB=4，CO=2， ∴S平行四邊形ABOC=AB?CO=4×2=8， 設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）， ∴×4×|m|=8，解得m=±4 ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）； （3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7， 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，S△POC最

21、小，S△POC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4， 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，S△POC最大，S△POC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3， 所以3＜S△CDP+S△BOP＜4； ②當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1，作PE∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥PE∥AB， ∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO， ∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO； 當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，作PE∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥PE∥AB， ∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO， ∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP， ∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO； 同理可得當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO． 12