2020年中考數(shù)學考點總動員 第14講 線段、角、相交線和平行線（含解析）

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1、第14講　線段、角、相交線和平行線 1．線段與直線 (1)兩個基本事實： 直線的基本事實：兩點確定一條直線； 線段的基本事實：兩點之間線段最短． (2)兩點間距離：連接兩點的線段，叫做兩點之間的距離． (3)線段的中點：如圖，點C把線段AB分成相等的兩段AC與BC，點C叫做線段AB的中點，即AC＝BC＝AB. (4)線段的和與差：如圖，點C是線段AB上一點，則AC＋BC＝AB，AC＝AB－BC，BC＝AB－AC. 2．角及角平分線 (1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ， 1°＝__60′，1′＝60_″. (2)小于直角的角叫做_銳角_

2、；大于直角而小于平角的角叫做鈍角； 度數(shù)是90°的角叫做直角． (3)余角：兩個角的和等于90°時，稱這兩個角互為余角；同角(或等角)的余角_相等_． 補角：兩個角的和等于180°時，稱這兩個角互為補角；同角(或等角)的補角相等． (4)角平分線：①從一個角的頂點引出一條射線，把這個角平分成相等的兩個角，這條射線叫這個角的角平分線；②角平分線上的點，到角兩邊的距離_相等_；到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。 3．相交線(如圖) (1)①鄰補角：在一條直線上且互補的一對角，如：∠1與∠4，∠1與∠2，∠6與∠7等 性質(zhì)：鄰補角和為180°. ②對頂角：相交線中

3、相對的一組角，如：∠1與∠3，∠2與∠4，∠5與∠7，∠6與∠8. 性質(zhì)：對頂角相等． (2)三線八角： 同位角有∠4與∠8，∠1與∠5，∠3與∠7，∠2與∠6； 內(nèi)錯角有∠3與∠5，∠2與∠8； 同旁內(nèi)角有∠3與∠8，∠2與∠5. (3)①垂線定義：兩直線相交所組成的四個角中有一個是直角時，我們稱這兩條直線互相垂直_，其中一條直線叫另一條直線的_垂線，它們的交點叫垂足； ②垂線基本事實：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； ③垂線段性質(zhì)：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 垂線段 最短； ④點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線

4、段 ，叫做點到直線的距離； ⑤垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上． 4．平行線 (1)在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線； (2)平行線公理：經(jīng)過直線外一點 有且只有一條直線與已知直線平行； 推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行； (3)平行線判定與性質(zhì)： 判定定理性質(zhì)定理 考點1： 幾何圖形基本知識 【例題1】若C、D是線段AB上兩點，D是線段AC的中點，AB=10cm，BC=4cm，則A

5、D的長是________ cm． 【分析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由點D是AC的中點，則可求得AD的長． 解析：如圖：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又點D是AC的中點，∴AD=AC=3cm，故答案為：3 【同步練】已知線段AB=10cm，線段BC=4cm，則線段AC的長是________?cm． 解：（1）如圖1，點B在點A、C的中間時， ， AC=AB+BC=10+4=14（cm） （2）如圖2，點C在點A、B的中間時， ， AC=AB﹣BC=10﹣4=6（cm） ∴線段AC的長是14或6c

6、m． 故答案為：14或6． 考點2： 平行線的判定 【例題2】一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含45°角的三角板ADE固定不動，把含30°角的三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使兩塊三角板至少有一組邊平行． (1)如圖1，α＝15°時，DE∥BC； (2)請你在圖2、圖3中各畫一種符合要求的圖形，并寫出對應的α的度數(shù)和平行線段． 　　　　 　　　圖1　　　　　　　　　　　圖2　　　　　　　　　圖3 【解答】解：當α＝60°時，BC∥DA. ∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°. ∴∠DAC＋∠C＝180°.∴B

7、C∥DA. 當α＝105°時，BC∥EA. ∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°. ∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B. ∴BC∥EA. 歸納：已知角的大小，判斷兩直線平行時：(1)先看已知角是哪兩條直線被哪條直線所截得到的，是一對什么角；(2)再看是否滿足兩直線平行的判定條件，若滿足，則平行；否則不平行． 考點3：平行線性質(zhì) 【例題3】（2018?重慶）如圖，AB∥CD，△EFG的頂點F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度數(shù)． 【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FGH=55°，再根

8、據(jù)GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根據(jù)∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°． 【解答】解：∵∠EFG=90°，∠E=35°， ∴∠FGH=55°， ∵GE平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°， ∵∠FHG是△EFH的外角， ∴∠EFB=55°﹣35°=20°． 歸納：對于利用平行線性質(zhì)求角度的問題：(1)通過觀察題圖和已知條件得出已知和所求的角是否可以直接通過平行線的哪些性質(zhì)得出；(2)結(jié)合兩角互余、兩角互補、三角形內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)外角關(guān)系進行求解；(3)若題中提到角平

9、分線，則在解題過程中注意角之間的等量代換．最后根據(jù)角之間的等量關(guān)系即可求解． 一、選擇題： 1. （2018?邵陽）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，已知∠AOD=160°，則∠BOC的大小為（　?。? A．20° B．60° C．70° D．160° 【答案】D 【解答】∵∠AOD=160°， ∴∠BOC=∠AOD=160°， 故選：D． 2. （2019?湖北十堰?3分）如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝50°，則∠2＝（　?。? A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵直線AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°．

10、∵∠1＝50°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵直線a∥b， ∴∠1＝∠3＝40°， 故選：C． 3. （2018?孝感）如圖，直線AD∥BC，若∠1=42°，∠BAC=78°，則∠2的度數(shù)為（　　） A．42° B．50° C．60° D．68° 【答案】C 【解答】解：∵∠1=42°，∠BAC=78°， ∴∠ABC=60°， 又∵AD∥BC， ∴∠2=∠ABC=60°， 故選：C． 4. （2018?銅仁市）在同一平面內(nèi)，設(shè)a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b的距離為4cm，b與c的距離為1cm，則a與c的距離為（　?。? A．1cm B．3cm

11、 C．5cm或3cm D．1cm或3cm 【答案】C 【解答】解：當直線c在a、b之間時， ∵a、b、c是三條平行直線， 而a與b的距離為4cm，b與c的距離為1cm， ∴a與c的距離=4﹣1=3（cm）； 當直線c不在a、b之間時， ∵a、b、c是三條平行直線， 而a與b的距離為4cm，b與c的距離為1cm， ∴a與c的距離=4+1=5（cm）， 綜上所述，a與c的距離為3cm或3cm． 故選：C． 5. （2019?河北省?3分）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容 則回答正確的是（　?。? A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲

12、代表∠EFC D．※代表AB 【答案】C 證明：延長BE交CD于點F， 則∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 二、填空題： 6. （2019?廣西貴港?3分）如圖，直線a∥b，直線m與a，b均相交，若∠1＝38°，則∠2＝?。? 【答案】　142° 【解答】解：如圖， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣38°＝142°． 故答案為142°． 7. （2018?通遼）如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠A

13、OB=37°45′，在OB邊上有一點E，從點E射出一束光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線DC恰好與OB平行，則∠DEB的度數(shù)是　 ?。? 【答案】75°30′（或75.5°）． 【解答】解：∵CD∥OB， ∴∠ADC=∠AOB， ∵∠EDO=∠CDA， ∴∠EDO=∠AOB=37°45′， ∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°）， 故答案為75°30′（或75.5°）． 8. （2019?甘肅?3分）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，那么∠2的度數(shù)是（　　） A．48° B．78° C．

14、92° D．102° 【答案】D 【解答】解：∵將一塊含有30°的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上，∠1＝48°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°． 故選：D． 9. 如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，AB=12厘米，點C在線段AB上，且BC=4厘米．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)在直線上運動，則經(jīng)過　 　秒時線段PQ的長為5厘米． 【答案】或1或3或9． 【解答】解：設(shè)運動時間為t秒． ①如果點P向左、點Q向右運動， 由題意，得：t+2t=5﹣4， 解得t=；

15、 ②點P、Q都向右運動， 由題意，得：2t﹣t=5﹣4， 解得t=1； ③點P、Q都向左運動， 由題意，得：2t﹣t=5+4， 解得t=9． ④點P向右、點Q向左運動， 由題意，得：2t﹣4+t=5， 解得t=3． 綜上所述，經(jīng)過或1或3秒時線段PQ的長為5厘米． 故答案為或1或3或9． 三、解答題： 10. 已知∠α=76°，∠β=41°31′，求： （1）∠β的余角； （2）∠α的2倍與∠β的的差． 【分析】（1）根據(jù)互為余角的兩個角的和為90度可得∠β的余角=90°﹣∠β，將∠β=41°31′代入計算即可； （2）將∠α=76°，∠β=41°31′代入2

16、∠α﹣∠β，然后計算即可． 解析：（1）∠β的余角=90°﹣∠β =90°﹣41°31′ =48°29′； （2）∵∠α=76°，∠β=41°31′， ∴2∠α﹣∠β=2×76°﹣×41°31′ =152°﹣20°45′30″ 11. 已知線段AB=6，在直線AB上取一點P，恰好使AP=2PB，點Q為PB的中點，求線段AQ的長． 【解答】解：如圖1所示，∵AP=2PB，AB=6， ∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4； ∵點Q為PB的中點， ∴PQ=QB=PB=×2=1； ∴AQ=AP+PQ=4+1=5． 如圖2所示，∵AP=2PB，AB=6， ∴AB=

17、BP=6， ∵點Q為PB的中點， ∴BQ=3， ∴AQ=AB+BQ=6+3=9． 故AQ的長度為5或9． 12. 有三個海島A，B，C，其中C島在A島的北偏東60°方向． (1)如圖1，若C島在B島的南偏東25°方向，求∠BCA的度數(shù)； (2)如圖2，若C島在B島北偏西50°方向上，求C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù)． 圖1圖2 　　　　 【解答】解：(1)根據(jù)題意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°. ∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°. ∵BM∥AD，∴BM∥EG. ∴∠ECB＝∠CBM＝25°. ∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.

18、 (2)過點C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°. ∵AD∥BE，∴BE∥CM. ∴∠BCM＝∠CBE＝50°. ∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°. 13. 如圖①，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，將一直角三角板如圖擺放(∠MON＝90°) ． (1)將圖①中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖②，使邊OM恰好平分∠BOC，問：ON是否平分∠AOC?請說明理由； (2)將圖①中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖③，使邊ON在∠BOC的內(nèi)部，如果∠BOC＝60°，則∠BOM與∠NOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系? 請說明理由． 【解析】解：(1)ON平分∠AOC．

19、理由如下： ∵ ∠MON＝90° ∴ ∠BOM+∠AON＝90° ∠MOC+∠NOC＝90° 又∵ OM平分∠BOC ∴ ∠BOM＝∠MOC ∴ ∠AON＝∠NOC ∴ ON平分∠AOC (2)∵ ∠CON+∠NOB＝60° 又∵ ∠BOM+∠NOB＝90° ∴ ∠BOM＝∠NOC+30° 14. 如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD． （1）求點C，D的坐標； （2）若在y軸上存在點 M，連接MA，MB，

20、使S△MAB=S平行四邊形ABDC，求出點M的坐標． （3）若點P在直線BD上運動，連接PC，PO． ①若P在線段BD之間時（不與B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范圍； ②若P在直線BD上運動，請直接寫出∠CPO、∠DCP、∠BOP的數(shù)量關(guān)系． 【解答】（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）； （2）∵AB=4，CO=2， ∴S平行四邊形ABOC=AB?CO=4×2=8， 設(shè)M坐標為（0，m）， ∴×4×|m|=8，解得m=±4 ∴M點的坐標為（0，4）或（0，﹣4）； （3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7， 當點P運動到點B時，S△POC最

21、小，S△POC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4， 當點P運動到點D時，S△POC最大，S△POC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3， 所以3＜S△CDP+S△BOP＜4； ②當點P在BD上，如圖1，作PE∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥PE∥AB， ∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO， ∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO； 當點P在線段BD的延長線上時，如圖2，作PE∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥PE∥AB， ∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO， ∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP， ∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO； 同理可得當點P在線段DB的延長線上時，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO． 12