北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第一章勾股定理　單元測試題

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1、第一章 勾股定理　 第Ⅰ卷　(選擇題　共30分) 一、選擇題(每題3分,共30分) 1.已知M,N是線段AB上的兩點(diǎn),AM=MN=2,NB=1,以點(diǎn)A為圓心,AN長為半徑畫弧;再以點(diǎn)B為圓心,BM長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則△ABC一定是 (　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 2.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖1①,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖②的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出 (　　) 圖1 A.直角

2、三角形的面積 B.最大正方形的面積 C.較小兩個正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和 3. 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何.”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大.題中“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為 (　　) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 4 如圖2,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻腳的距離為0.7米,頂端

3、距離地面2.4米.若保持梯子底端的位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2米,則小巷的寬度為 (　　) 圖2 A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 5.將面積為8π的半圓與兩個正方形按圖2所示的方式擺放,則這兩個正方形面積的和為(　　) 圖2 A.16 B.32 C.8π D.64 6.若△ABC的三邊長a,b,c滿足a-b2+b-2+c2-82=0,則下列對此三角形的形狀描述最確切的是 (　　) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 7.如圖3所示,AC⊥BD,O為垂足,設(shè)m=AB2+CD2,n=AD

4、2+BC2,則m,n的大小關(guān)系為(　　) 圖3 A.mn D.不能確定 8.如圖4,A,B兩個村莊分別在兩條公路MN和EF的邊上,且MN∥EF,某施工隊(duì)在A,B,C三個村之間修了三條筆直的路.若∠MAB=65°,∠CBE=25°,AB=160 km,BC=120 km,則A,C兩村之間的距離為 (　　) 圖4 A.250 km B.240 km C.200 km D .180 km 9.如圖5,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若點(diǎn)P在邊AC上移動,則BP的最小值是(　　) 圖5 A.

5、5 B.6 C.4 D.4.8 10.如圖6所示,在長方形紙片ABCD中,已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長為 (　　) 圖6 A.3 B.4 C.5 D.6 請將選擇題答案填入下表: 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分 答案 第Ⅱ卷　(非選擇題　共70分) 二、填空題(每題3分,共18分) 11.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,則∠B的度數(shù)是　　　　.? 12.古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出:如果m

6、表示大于1的整數(shù),a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c為勾股數(shù).請你利用這個結(jié)論得出一組勾股數(shù)是　　　　　　.? 13.中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖7所示的“弦圖”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,如果大正方形的面積是10,小正方形的面積是2,那么(a+b)2的值為　　　　.? 圖7 14.已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分別以AC,BC,AB為直徑作半圓,如圖8所示,則陰影部分的面積是　　　　.? 圖8

7、 15.如圖9所示,把長方形紙片ABCD沿EF,GH同時折疊,B,C兩點(diǎn)恰好都落在AD邊上的點(diǎn)P處,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,則BC邊的長為　　　　.? 圖9 16.如圖10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BC以2 cm/s的速度移動,設(shè)移動的時間為t s,當(dāng)t=　　　　時,△ABP為直角三角形.? 圖10 三、解答題(共52分) 17.(6分)如圖11,在△ABC中,D是BC上的一點(diǎn),AB=10,BD=6,AD=8,AC=17. (1)判斷AD與BC的位置關(guān)系,并說明理由; (2)求△ABC的

8、面積. 圖11 18.(6分)如圖12,在△ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,試求△ABC的面積. 圖12 19.(6分)如圖13是某同學(xué)設(shè)計(jì)的機(jī)器人比賽時行走的路徑,機(jī)器人從A處先往東走4 m,又往北走1.5 m,遇到障礙后又往西走2 m,再轉(zhuǎn)向北走4.5 m后往東一拐,僅走0.5 m就到達(dá)了B處,則點(diǎn)A,B之間的距離是多少? 圖13 20.(6分)如圖14所示,有兩根長桿隔河相對,一桿高3 m,另一桿高2 m,兩桿相距5 m.兩根長桿都與地面垂直,現(xiàn)兩桿頂部各有一只魚

9、鷹,它們同時看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚,于是同時以同樣的速度飛下來奪魚,結(jié)果兩只魚鷹同時叼住小魚.求兩桿底部距小魚的距離各是多少米.(假設(shè)小魚在此過程中保持不動) 圖14 21.(6分)如圖15,河邊有A,B兩個村莊,A村距河邊10 m,B村距河邊30 m,兩村平行于河邊方向的水平距離為30 m,現(xiàn)要在河邊建一抽水站,需鋪設(shè)管道抽水到A村和B村. (1)求鋪設(shè)管道的最短長度是多少,請畫圖說明; (2)若鋪設(shè)管道每米需要500元,則最低費(fèi)用為多少? 圖15 22.(6分)有一個如圖16所示的長方體的透明魚缸,假設(shè)其

10、長AD=80 cm,高AB=60 cm,水深A(yù)E=40 cm,在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌,G在水面線EF上,且EG=60 cm.一小蟲想從魚缸外的點(diǎn)A處沿缸壁爬到魚缸內(nèi)G處吃魚餌. (1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才可使爬行的路程最短?請畫出它的爬行路線,并用箭頭標(biāo)注; (2)試求小蟲爬行的最短路程. 圖16 23.(8分)如圖17,在由6個大小相同的小正方形組成的方格中,設(shè)每個小正方形的邊長均 為1. (1)如圖①,A,B,C是三個格點(diǎn)(即小正方形的頂點(diǎn)),判斷AB與BC的位置關(guān)系,并說明理由; (2)如圖②,連接三格和兩格的對角線,求∠α+∠

11、β的度數(shù)(要求:畫出示意圖,并說明理由). 圖17 24.(8分)八年級(3)班開展了手工制作競賽,每名同學(xué)都需在規(guī)定時間內(nèi)完成一件手工作品.陳莉同學(xué)在制作手工作品時的第一、二個步驟是:①如圖18,先裁下一張長BC=20 cm,寬AB=16 cm 的長方形紙片ABCD;②將紙片沿著直線AE折疊,點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處.請你根據(jù)步驟①②解答下列問題: (1)找出圖中∠FEC的余角; (2)求EC的長. 　 圖18 答案 1.B　2.C　3.A　4.C　5.D　6.C　7.B　8.C　9.D　10.D　 11.60°　 12.答

12、案不唯一,如20,99,101　 13.18　 14.6 15.24　 18.解:如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D. 在Rt△ABD和Rt△ACD中, 因?yàn)锳B2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2, 所以AB2-BD2=AC2-CD2. 設(shè)CD=x, 因?yàn)锳B=17,BC=9,AC=10,所以BD=9+x, 故172-(9+x)2=102-x2, 解得x=6. 所以AD2=AC2-CD2=102-62=82. 所以AD=8. 所以△ABC的面積為·BC·AD=×9×8=36. 19.解:如圖,過點(diǎn)B作BC⊥AD于點(diǎn)C.由圖可知AC=4-2+0.5

13、=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以AB=6.5 m,即點(diǎn)A,B之間的距離是6.5 m. 20.解:由題意可知AB=2 m,CD=3 m,BC=5 m,AE=DE. 設(shè)BE=x m,則EC=(5-x)m. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2. 在Rt△DCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2. 所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,則5-x=2. 所以桿AB底部距小魚3 m,桿CD底部距小魚2 m. 21.解:(1)如圖,過點(diǎn)

14、A作AC垂直河邊于點(diǎn)C,延長AC至點(diǎn)D,使CD=AC,連接BD,交河邊于點(diǎn)E,連接AE,則抽水站應(yīng)建在點(diǎn)E處,可使鋪設(shè)的管道最短,最短長度為AE+BE,即BD的長. 過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F. 由題意,得AC=10 m,CF=30 m,BF=30 m, 所以CD=AC=10 m. 所以DF=10+30=40(m). 在Rt△BDF中,BD2=302+402=502, 所以BD=50 m. 即鋪設(shè)管道的最短長度是50 m. (2)最低費(fèi)用為50×500=25000(元). 22.解:(1)如圖所示,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A',連接A'G,與BC交于點(diǎn)Q,連接AQ,QG,則

15、 AQ→QG為最短路線. (2)由(1)得A'B=AB=60 cm.因?yàn)锳E=40 cm,AA'=120 cm,所以A'E=120-40=80(cm).因?yàn)镋G=60 cm,所以A'G2=A'E2+EG2=802+602=10000.所以A'G=100 cm.所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm.所以小蟲爬行的最短路程為100 cm. 23.解:(1)AB⊥BC.理由:如圖①,連接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°. 所以AB⊥BC.

16、 (2)∠α+∠β=45°.理由:如圖②,在格點(diǎn)上取一點(diǎn)B,連接AB,BC.由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以△ABC是直角三角形且 ∠ABC=90°.又因?yàn)锳B=BC,所以△ABC是等腰直角三角形.所以∠BAC=45°,即∠α+ ∠γ=45°.由圖可知∠β=∠γ,所以∠α+∠β=45°. 24.解:(1)∠CFE,∠BAF. (2)由折疊的性質(zhì),得AF=AD=20 cm,EF=DE.設(shè)EC=x cm,則EF=DE=(16-x)cm. 在Rt△ABF中,BF2=AF2-AB2=202-162=144,所以BF=12 cm. 所以FC=BC-BF=20-12=8(cm). 在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,即(16-x)2=82+x2,解得x=6, 所以EC的長為6 cm. 11 / 11