北師大版八年級數(shù)學上冊第一章勾股定理　單元測試題

第一章 勾股定理第卷(選擇題共30分)一、選擇題(每題3分,共30分)1.已知M,N是線段AB上的兩點,AM=MN=2,NB=1,以點A為圓心,AN長為半徑畫弧;再以點B為圓心,BM長為半徑畫弧,兩弧交于點C,連接AC,BC,則ABC一定是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形2.勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書周髀算經(jīng)中早有記載.如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出()圖1A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積C.較小兩個正方形重疊部分的面積D.最大正方形與直角三角形的面積和3. 我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題目:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何.”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大.題中“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4 如圖2,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻腳的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米.若保持梯子底端的位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2米,則小巷的寬度為()圖2A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米5.將面積為8的半圓與兩個正方形按圖2所示的方式擺放,則這兩個正方形面積的和為()圖2A.16B.32C.8D.646.若ABC的三邊長a,b,c滿足a-b2+b-2+c2-82=0,則下列對此三角形的形狀描述最確切的是()A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形7.如圖3所示,ACBD,O為垂足,設(shè)m=AB2+CD2,n=AD2+BC2,則m,n的大小關(guān)系為()圖3A.m<nB.m=nC.m>nD.不能確定8.如圖4,A,B兩個村莊分別在兩條公路MN和EF的邊上,且MNEF,某施工隊在A,B,C三個村之間修了三條筆直的路.若MAB=65°,CBE=25°,AB=160 km,BC=120 km,則A,C兩村之間的距離為()圖4A.250 km B.240 km C.200 km D .180 km9.如圖5,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,若點P在邊AC上移動,則BP的最小值是()圖5A.5B.6C.4D.4.810.如圖6所示,在長方形紙片ABCD中,已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合,點B落在點F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長為()圖6A.3B.4C.5D.6請將選擇題答案填入下表:題號12345678910總分答案第卷(非選擇題共70分)二、填空題(每題3分,共18分)11.在ABC中,若AC2+BC2=AB2,AB=12,則B的度數(shù)是. 12.古希臘的哲學家柏拉圖曾指出:如果m表示大于1的整數(shù),a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c為勾股數(shù).請你利用這個結(jié)論得出一組勾股數(shù)是. 13.中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位,體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展.現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖7所示的“弦圖”.在RtABC中,ACB=90°,AC=b,BC=a,如果大正方形的面積是10,小正方形的面積是2,那么(a+b)2的值為. 圖714.已知在ABC中,ACB=90°,AC=3,BC=4,分別以AC,BC,AB為直徑作半圓,如圖8所示,則陰影部分的面積是. 圖815.如圖9所示,把長方形紙片ABCD沿EF,GH同時折疊,B,C兩點恰好都落在AD邊上的點P處,若FPH=90°,PF=8,PH=6,則BC邊的長為. 圖916.如圖10,在RtABC中,ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,動點P從點B出發(fā),沿射線BC以2 cm/s的速度移動,設(shè)移動的時間為t s,當t=時,ABP為直角三角形. 圖10三、解答題(共52分)17.(6分)如圖11,在ABC中,D是BC上的一點,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)判斷AD與BC的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求ABC的面積.圖1118.(6分)如圖12,在ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,試求ABC的面積.圖1219.(6分)如圖13是某同學設(shè)計的機器人比賽時行走的路徑,機器人從A處先往東走4 m,又往北走1.5 m,遇到障礙后又往西走2 m,再轉(zhuǎn)向北走4.5 m后往東一拐,僅走0.5 m就到達了B處,則點A,B之間的距離是多少?圖1320.(6分)如圖14所示,有兩根長桿隔河相對,一桿高3 m,另一桿高2 m,兩桿相距5 m.兩根長桿都與地面垂直,現(xiàn)兩桿頂部各有一只魚鷹,它們同時看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚,于是同時以同樣的速度飛下來奪魚,結(jié)果兩只魚鷹同時叼住小魚.求兩桿底部距小魚的距離各是多少米.(假設(shè)小魚在此過程中保持不動)圖1421.(6分)如圖15,河邊有A,B兩個村莊,A村距河邊10 m,B村距河邊30 m,兩村平行于河邊方向的水平距離為30 m,現(xiàn)要在河邊建一抽水站,需鋪設(shè)管道抽水到A村和B村.(1)求鋪設(shè)管道的最短長度是多少,請畫圖說明;(2)若鋪設(shè)管道每米需要500元,則最低費用為多少?圖1522.(6分)有一個如圖16所示的長方體的透明魚缸,假設(shè)其長AD=80 cm,高AB=60 cm,水深A(yù)E=40 cm,在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌,G在水面線EF上,且EG=60 cm.一小蟲想從魚缸外的點A處沿缸壁爬到魚缸內(nèi)G處吃魚餌.(1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才可使爬行的路程最短?請畫出它的爬行路線,并用箭頭標注;(2)試求小蟲爬行的最短路程.圖1623.(8分)如圖17,在由6個大小相同的小正方形組成的方格中,設(shè)每個小正方形的邊長均為1.(1)如圖,A,B,C是三個格點(即小正方形的頂點),判斷AB與BC的位置關(guān)系,并說明理由;(2)如圖,連接三格和兩格的對角線,求+的度數(shù)(要求:畫出示意圖,并說明理由).圖1724.(8分)八年級(3)班開展了手工制作競賽,每名同學都需在規(guī)定時間內(nèi)完成一件手工作品.陳莉同學在制作手工作品時的第一、二個步驟是:如圖18,先裁下一張長BC=20 cm,寬AB=16 cm 的長方形紙片ABCD;將紙片沿著直線AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處.請你根據(jù)步驟解答下列問題:(1)找出圖中FEC的余角;(2)求EC的長.圖18答案1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.D10.D11.60°12.答案不唯一,如20,99,10113.1814.615.2418.解:如圖,過點A作ADBC交BC的延長線于點D.在RtABD和RtACD中,因為AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,所以AB2-BD2=AC2-CD2.設(shè)CD=x,因為AB=17,BC=9,AC=10,所以BD=9+x,故172-(9+x)2=102-x2,解得x=6.所以AD2=AC2-CD2=102-62=82.所以AD=8.所以ABC的面積為·BC·AD=×9×8=36.19.解:如圖,過點B作BCAD于點C.由圖可知AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在RtABC中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以AB=6.5 m,即點A,B之間的距離是6.5 m.20.解:由題意可知AB=2 m,CD=3 m,BC=5 m,AE=DE.設(shè)BE=x m,則EC=(5-x)m.在RtABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2.在RtDCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2.所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,則5-x=2.所以桿AB底部距小魚3 m,桿CD底部距小魚2 m.21.解:(1)如圖,過點A作AC垂直河邊于點C,延長AC至點D,使CD=AC,連接BD,交河邊于點E,連接AE,則抽水站應(yīng)建在點E處,可使鋪設(shè)的管道最短,最短長度為AE+BE,即BD的長.過點B作BFAC于點F.由題意,得AC=10 m,CF=30 m,BF=30 m,所以CD=AC=10 m.所以DF=10+30=40(m).在RtBDF中,BD2=302+402=502,所以BD=50 m.即鋪設(shè)管道的最短長度是50 m.(2)最低費用為50×500=25000(元).22.解:(1)如圖所示,作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接A'G,與BC交于點Q,連接AQ,QG,則AQQG為最短路線.(2)由(1)得A'B=AB=60 cm.因為AE=40 cm,AA'=120 cm,所以A'E=120-40=80(cm).因為EG=60 cm,所以A'G2=A'E2+EG2=802+602=10000.所以A'G=100 cm.所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm.所以小蟲爬行的最短路程為100 cm.23.解:(1)ABBC.理由:如圖,連接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以ABC是直角三角形且ABC=90°.所以ABBC.(2)+=45°.理由:如圖,在格點上取一點B,連接AB,BC.由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以ABC是直角三角形且ABC=90°.又因為AB=BC,所以ABC是等腰直角三角形.所以BAC=45°,即+=45°.由圖可知=,所以+=45°.24.解:(1)CFE,BAF.(2)由折疊的性質(zhì),得AF=AD=20 cm,EF=DE.設(shè)EC=x cm,則EF=DE=(16-x)cm.在RtABF中,BF2=AF2-AB2=202-162=144,所以BF=12 cm.所以FC=BC-BF=20-12=8(cm).在RtEFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,即(16-x)2=82+x2,解得x=6,所以EC的長為6 cm.11 / 11