高考數(shù)學圓錐曲線重難點專題訓練專題06直線與雙曲線的位置關系(含答案)

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1、 專題06 直線與雙曲線的位置關系 一、單選題 1.直線與雙曲線的交點情況是( ) A.恒有一個交點 B.存在m有兩個交點 C.至多有一個交點 D.存在m有三個交點 2.若直線y=kx與雙曲線4x2-y2=16相交,則實數(shù)k的取值范圍為( ) A.(-2,2) B.[-2,2) C.(-2,2] D.[-2,2] 3.已知雙曲線()的右焦點為,直線與雙曲線只有1個交點,則( ) A. B. C. D. 4.若曲線與曲線恰有兩個不同的交點,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 5.已知點是雙曲線的左焦點,過原點的直線與該雙曲線的左

2、右兩支分別相交于點,,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 6.已知雙曲線C:,若直線l:與雙曲線C交于不同的兩點M,N,且M,N都在以為圓心的圓上,則m的取值范圍是( ) A. B. C. D. 7.已知雙曲線和直線至多只有一個公共點,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D.{-1,1} 8.已知雙曲線(,)與直線有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 二、多選題 9.若直線與雙曲線有且只有一個公共點,則的值可能為( ) A.3 B.4 C.8 D.10 10.在平面直角坐標系中,若雙曲線與直

3、線有唯一的公共點,則動點與定點的距離可能為( ) A.2 B. C. D.3 11.已知圓被軸分成兩部分的弧長之比為,且被軸截得的弦長為4,當圓心到直線的距離最小時,圓的方程為( ) A. B. C. D. 12.雙曲線,圓,雙曲線與圓有且僅有一個公共點,則取值可以是( ) A.2.2 B.2.4 C.2.5 D.2.7 三、填空題 13.已知直線與雙曲線交于,兩點,則的取值范圍是____________. 14.若曲線與直線有兩個不同的公共點,則實數(shù)的取值范圍是______. 15.已知曲線與直線x+y-1=0相交于P,Q兩點,且(O為原點),則____

4、____. 16.若曲線與直線有兩個不同的公共點,則實數(shù)的取值范圍是_________. 四、解答題 17.已知曲線C:x2-y2=1和直線l:y=kx-1. (1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍; (2)若l與C交于A、B兩點,O是坐標原點,且△AOB的面積為,求實數(shù)k的值. 18.已知雙曲線C:()的左?右焦點分別為,,,過焦點,且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點,且滿足. (1)求C的方程; (2)過點且斜率不為0的直線交C于M,N兩點,且,求直線的方程. 19.已知雙曲線C的中心為直角坐標

5、系的原點,它的右焦點為,虛軸長為2. (1)求雙曲線C漸近線方程; (2)若直線與C的右支有兩個不同的交點,求k的取值范圍. 20.已知雙曲線C:的離心率為,且經(jīng)過. (1)求雙曲線C的方程; (2)若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P?Q,設P?Q中點為M,求三角形面積的取值范圍. 21.已知雙曲線過點,且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為. (1)求雙曲線的方程; (2)過點的直線與雙曲線左支相交于點,直線與軸相交于兩點,求的取值范圍. 22.已知雙曲線的焦距為,坐標原點到直線的距離是,其中,的坐標分別為

6、,. (1)求雙曲線的方程; (2)是否存在過點的直線與雙曲線交于,兩點,使得構成以為頂點的等腰三角形?若存在,求出所有直線的方程;若不存在,請說明理由. 專題06 直線與雙曲線的位置關系 一、單選題 1.直線與雙曲線的交點情況是( ) A.恒有一個交點 B.存在m有兩個交點 C.至多有一個交點 D.存在m有三個交點 【解析】將代入得 當時,無解; 當時,,所以至多有一個交點.故選:C 2.若直線y=kx與雙曲線4x2-y2=16相交,則實數(shù)k的取值范圍為( ) A.(-2,2) B.[-2,2) C.(-2,2] D.[-2,2] 【

7、解析】因為直線y=kx與雙曲線4x2-y2=16相交,則, 將y=kx代入4x2-y2=16得關于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0, 由,解得-2

8、圓時,即,只需點落在橢圓內,即,解得:; 當曲線為雙曲線時,即,漸近線方程: 要使曲線與曲線恰有兩個不同的交點, 只需,解得:.所以實數(shù)的取值范圍是,故選:C 5.已知點是雙曲線的左焦點,過原點的直線與該雙曲線的左右兩支分別相交于點,,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【解析】由得,,,則左焦點,右焦點, 如圖: 因為雙曲線與過原點的直線都關于原點對稱,所以, 又根據(jù)雙曲線的定義,所以,設 所以,設,, ,所以在單調遞減,在單調遞增, ,當時,,所以的取值范圍為 則的取值范圍是,故選:A 6.已知雙曲線C:,若直線l:與雙曲線C交于不同的兩點

9、M,N,且M,N都在以為圓心的圓上,則m的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【解析】設,,由, 則,由根與系數(shù)關系得,, 設MN的中點為,則,,∵, ∴,∴,解得或,故選:A. 7.已知雙曲線和直線至多只有一個公共點,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D.{-1,1} 【解析】將雙曲線和直線的方程聯(lián)立,消去得: ∴當雙曲線和直線至多只有一個公共點時,關于的方程有一個實數(shù)解或兩個相等的實數(shù)解)或無解. ∴當,即時,雙曲線和直線只有一個公共點; 當且即或時,雙曲線和直線至多只有一個公共點. ∴實數(shù)的取值范圍是故選:C 8.已知雙曲線(,)

10、與直線有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【解析】如圖所示,雙曲線的漸近線方程為, 若雙曲線(,)與直線有交點,則有, ,即,解得,得. 雙曲線離心率的取值范圍為.故選:C. 二、多選題 9.若直線與雙曲線有且只有一個公共點,則的值可能為( ) A.3 B.4 C.8 D.10 【解析】聯(lián)立,得,又因為直線與雙曲線只有一個交點,故 ①當直線與雙曲線的漸近線平行時,,即; ②當直線與雙曲線相切時,, 解得:或0(舍去),故選:AB 10.在平面直角坐標系中,若雙曲線與直線有唯一的公共點,則動點與定點的距離可能為( )

11、 A.2 B. C. D.3 【解析】由消去,整理得, 因為雙曲線與直線有唯一的公共點, 所以只需,整理得, 即,因為,所以; 因此動點與定點的距離為 ; 當且僅當時,取得最小值.BCD選項都滿足,A不滿足; 故選:BCD. 11.已知圓被軸分成上下兩部分的弧長之比為,且被軸截得的弦長為4,當圓心到直線的距離最小時,圓的方程為( ) A. B. C. D. 【解析】設圓心為,半徑為, 圓被軸分成兩部分的弧長之比為,則其中劣弧所對圓心角為,由圓的性質可得, 又圓被軸截得的弦長為4,∴, ∴,變形為,即在雙曲線上, 易知雙曲線上與直線平行的切線的切點為,此點到

12、直線有距離最?。? 設切線方程為,由,消法得, ∴,解得,時,,時,, 即切點為或,半徑為, ∴圓的方程為或.故選:AB 12.雙曲線,圓,雙曲線與圓有且僅有一個公共點,則取值可以是( ) A.2.2 B.2.4 C.2.5 D.2.7 【解析】圓,圓心為,半徑, 設雙曲線右支上的一點為,,則對任意的恒成立,即,即, 又,所以對任意的恒成立,即可得,故選:ABC 三、填空題 13.已知直線與雙曲線交于,兩點,則的取值范圍是____________. 【解析】由得,因為直線與雙曲線相交于兩點, 所以解得:且 所以的取值范圍是:且,故答案為:且. 14.若曲線與

13、直線有兩個不同的公共點,則實數(shù)的取值范圍是______. 【解析】聯(lián)立,消y得. 當,即時,不滿足題意. 當,即時,曲線與直線有兩個不同的公共點, , 解得,.故答案為:,且. 15.已知曲線與直線x+y-1=0相交于P,Q兩點,且(O為原點),則________. 【解析】將y=1-x代入,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0. 設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=. 因為=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以+1=0, 即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以.

14、16.若曲線與直線有兩個不同的公共點,則實數(shù)的取值范圍是_________. 【解析】直線過定點, 曲線表示雙曲線在軸及其上方的上部分, 雙曲線的漸近線為,左右頂點分別為 如圖,過點作直線分別與兩漸近線平行. 將直線繞點沿順時針方向旋轉,當過點時,滿足條件,此時 根據(jù)雙曲線的圖像特征,如圖當直線繞點沿順時針方向旋轉,從旋轉到的位置時,滿足與曲線有兩個交點.所以斜率滿足 故答案為: 四、解答題 17.已知曲線C:x2-y2=1和直線l:y=kx-1. (1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍; (2)若l與C交于A、B兩點,O是坐標原點,且△AOB的面

15、積為,求實數(shù)k的值. 【解析】(1)由,得(1-k2)x2+2kx-2=0. ∵直線與雙曲線有兩個不同的交點,∴ 解得,且,∴k的取值范圍為. (2)結合(1),設A(x1,y1)、B(x2,y2).則x1+x2=,x1x2=, ∴,∵點O到直線l的距離d=, ∴,即,解得或,檢驗符合. 故實數(shù)k的值為0,,. 18.已知雙曲線C:()的左?右焦點分別為,,,過焦點,且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點,且滿足. (1)求C的方程; (2)過點且斜率不為0的直線交C于M,N兩點,且,求直線的方程. 【解析】(1)雙曲線的漸近線方程為, 過,且斜率為的直線方程

16、為, 由,由, 由于,即, 所以.所以雙曲線的方程為. (2)設,由消去并化簡得, ,且. 設,則, 所以中點的坐標為,由于,所以,, ,化簡得,,解得或, 由于且,所以,所以直線的方程為. 19.已知雙曲線C的中心為直角坐標系的原點,它的右焦點為,虛軸長為2. (1)求雙曲線C漸近線方程; (2)若直線與C的右支有兩個不同的交點,求k的取值范圍. 【解析】(1)由題設,,則雙曲線方程為, ∴對應漸近線方程為: . (2)設直線l與雙曲線C右支的兩交點為A,B且, 聯(lián)立方程,,消. 由題意得:,解得:. ∴當A,B為直線l與C右支的兩個交點時. 20.已知

17、雙曲線C:的離心率為,且經(jīng)過. (1)求雙曲線C的方程; (2)若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P?Q,設P?Q中點為M,求三角形面積的取值范圍. 【解析】(1)由題題意,得,解得. 所以,雙曲線C的方程為. (2)設直線的方程為與雙曲線C方程聯(lián)立: ,消元得,設P?Q兩點的縱坐標為,則: ,解得. 設點M的縱坐標為,由題點M為的中點,即 所以, 易知表達式在上單調遞減,故三角形面積的取值范圍為. 21.已知雙曲線過點,且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為. (1)求雙曲線的方程; (2)過點的直線與雙曲線左支相交于點,直線與軸相交于兩點,求的取值范圍.

18、【解析】(1)由已知 (2)設直線方程為, 直線的方程為,可得 直線的方程為,可得 聯(lián)立,消去,整理得. ,可得, , 又,所以的范圍是. 22.已知雙曲線的焦距為,坐標原點到直線的距離是,其中,的坐標分別為,. (1)求雙曲線的方程; (2)是否存在過點的直線與雙曲線交于,兩點,使得構成以為頂點的等腰三角形?若存在,求出所有直線的方程;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)記雙曲線的焦距為,由題意,可得,即, 又,的坐標分別為,, 所以直線的方程為, 即, 又坐標原點到直線的距離是, 所以,解得,所以, 因此雙曲線的方程為; (2)由(1)可得, 假設存在過點的直線與雙曲線交于,兩點,使得構成以為頂點的等腰三角形, 則直線的斜率顯然存在,設,,, 由消去整理得, 因為直線與雙曲線有兩不同交點,所以, 解得且, 則,所以, 記的中點為,則, 為使構成以為頂點的等腰三角形,只需,所以, 即,整理得,解得或, 因為不滿足,應舍去,故, 所以存在過點的直線與雙曲線交于,兩點,使得構成以為頂點的等腰三角形,此時直線的方程為,即.

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