高考數(shù)學圓錐曲線重難點專題訓練專題06直線與雙曲線的位置關系（含答案）

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1、 專題06 直線與雙曲線的位置關系 一、單選題 1．直線與雙曲線的交點情況是（ ） A．恒有一個交點 B．存在m有兩個交點 C．至多有一個交點 D．存在m有三個交點 2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數(shù)k的取值范圍為（ ） A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 3．已知雙曲線（）的右焦點為，直線與雙曲線只有1個交點，則（ ） A． B． C． D． 4．若曲線與曲線恰有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 5．已知點是雙曲線的左焦點，過原點的直線與該雙曲線的左

2、右兩支分別相交于點，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 6．已知雙曲線C：，若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點M，N，且M，N都在以為圓心的圓上，則m的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7．已知雙曲線和直線至多只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．{-1，1} 8．已知雙曲線(，)與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 二、多選題 9．若直線與雙曲線有且只有一個公共點，則的值可能為（ ） A．3 B．4 C．8 D．10 10．在平面直角坐標系中，若雙曲線與直

3、線有唯一的公共點，則動點與定點的距離可能為（ ） A．2 B． C． D．3 11．已知圓被軸分成兩部分的弧長之比為，且被軸截得的弦長為4，當圓心到直線的距離最小時，圓的方程為（ ） A． B． C． D． 12．雙曲線，圓，雙曲線與圓有且僅有一個公共點，則取值可以是（ ） A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.7 三、填空題 13．已知直線與雙曲線交于，兩點，則的取值范圍是____________． 14．若曲線與直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是______． 15．已知曲線與直線x+y-1=0相交于P，Q兩點，且(O為原點)，則____

4、____. 16．若曲線與直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是_________. 四、解答題 17．已知曲線C：x2－y2＝1和直線l：y＝kx－1． （1）若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍； （2）若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數(shù)k的值． 18．已知雙曲線C：（）的左?右焦點分別為，，，過焦點，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且滿足. （1）求C的方程； （2）過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，且，求直線的方程. 19．已知雙曲線C的中心為直角坐標

5、系的原點，它的右焦點為，虛軸長為2． （1）求雙曲線C漸近線方程； （2）若直線與C的右支有兩個不同的交點，求k的取值范圍． 20．已知雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過. （1）求雙曲線C的方程； （2）若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P?Q，設P?Q中點為M，求三角形面積的取值范圍. 21．已知雙曲線過點，且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為． （1）求雙曲線的方程； （2）過點的直線與雙曲線左支相交于點，直線與軸相交于兩點，求的取值范圍． 22．已知雙曲線的焦距為，坐標原點到直線的距離是，其中，的坐標分別為

6、，. （1）求雙曲線的方程； （2）是否存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構成以為頂點的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請說明理由. 專題06 直線與雙曲線的位置關系 一、單選題 1．直線與雙曲線的交點情況是（ ） A．恒有一個交點 B．存在m有兩個交點 C．至多有一個交點 D．存在m有三個交點 【解析】將代入得 當時，無解； 當時，，所以至多有一個交點．故選：C 2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數(shù)k的取值范圍為（ ） A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 【

7、解析】因為直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則， 將y＝kx代入4x2－y2＝16得關于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由，解得－2

8、圓時，即，只需點落在橢圓內(nèi)，即，解得：； 當曲線為雙曲線時，即，漸近線方程： 要使曲線與曲線恰有兩個不同的交點， 只需，解得：.所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C 5．已知點是雙曲線的左焦點，過原點的直線與該雙曲線的左右兩支分別相交于點，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【解析】由得,,,則左焦點,右焦點, 如圖： 因為雙曲線與過原點的直線都關于原點對稱,所以, 又根據(jù)雙曲線的定義,所以,設 所以,設,, ，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增, ,當時，，所以的取值范圍為 則的取值范圍是,故選：A 6．已知雙曲線C：，若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點

9、M，N，且M，N都在以為圓心的圓上，則m的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【解析】設，，由， 則，由根與系數(shù)關系得，， 設MN的中點為，則，，∵， ∴，∴，解得或，故選：A. 7．已知雙曲線和直線至多只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．{-1，1} 【解析】將雙曲線和直線的方程聯(lián)立，消去得： ∴當雙曲線和直線至多只有一個公共點時，關于的方程有一個實數(shù)解或兩個相等的實數(shù)解)或無解. ∴當，即時，雙曲線和直線只有一個公共點； 當且即或時，雙曲線和直線至多只有一個公共點. ∴實數(shù)的取值范圍是故選：C 8．已知雙曲線(，)

10、與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【解析】如圖所示，雙曲線的漸近線方程為， 若雙曲線(，)與直線有交點，則有， ，即，解得，得. 雙曲線離心率的取值范圍為.故選：C. 二、多選題 9．若直線與雙曲線有且只有一個公共點，則的值可能為（ ） A．3 B．4 C．8 D．10 【解析】聯(lián)立，得，又因為直線與雙曲線只有一個交點，故 ①當直線與雙曲線的漸近線平行時，，即； ②當直線與雙曲線相切時,， 解得：或0（舍去），故選：AB 10．在平面直角坐標系中，若雙曲線與直線有唯一的公共點，則動點與定點的距離可能為（ ）

11、 A．2 B． C． D．3 【解析】由消去，整理得， 因為雙曲線與直線有唯一的公共點， 所以只需，整理得， 即，因為，所以； 因此動點與定點的距離為 ； 當且僅當時，取得最小值.BCD選項都滿足，A不滿足； 故選：BCD. 11．已知圓被軸分成上下兩部分的弧長之比為，且被軸截得的弦長為4，當圓心到直線的距離最小時，圓的方程為（ ） A． B． C． D． 【解析】設圓心為，半徑為， 圓被軸分成兩部分的弧長之比為，則其中劣弧所對圓心角為,由圓的性質(zhì)可得， 又圓被軸截得的弦長為4，∴， ∴，變形為，即在雙曲線上， 易知雙曲線上與直線平行的切線的切點為，此點到

12、直線有距離最小． 設切線方程為，由，消法得， ∴，解得，時，，時，， 即切點為或，半徑為， ∴圓的方程為或．故選：AB 12．雙曲線，圓，雙曲線與圓有且僅有一個公共點，則取值可以是（ ） A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.7 【解析】圓，圓心為，半徑， 設雙曲線右支上的一點為，，則對任意的恒成立，即，即， 又，所以對任意的恒成立，即可得，故選：ABC 三、填空題 13．已知直線與雙曲線交于，兩點，則的取值范圍是____________． 【解析】由得，因為直線與雙曲線相交于兩點， 所以解得：且 所以的取值范圍是：且，故答案為：且. 14．若曲線與

13、直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是______． 【解析】聯(lián)立，消y得． 當，即時，不滿足題意. 當，即時，曲線與直線有兩個不同的公共點， ， 解得，.故答案為：，且. 15．已知曲線與直線x+y-1=0相交于P，Q兩點，且(O為原點)，則________. 【解析】將y=1-x代入，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=. 因為=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所以+1=0， 即2a+2ab-2a+a-b=0，即b-a=2ab，所以.

14、16．若曲線與直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是_________. 【解析】直線過定點, 曲線表示雙曲線在軸及其上方的上部分， 雙曲線的漸近線為，左右頂點分別為 如圖，過點作直線分別與兩漸近線平行. 將直線繞點沿順時針方向旋轉，當過點時，滿足條件，此時 根據(jù)雙曲線的圖像特征，如圖當直線繞點沿順時針方向旋轉，從旋轉到的位置時，滿足與曲線有兩個交點.所以斜率滿足 故答案為： 四、解答題 17．已知曲線C：x2－y2＝1和直線l：y＝kx－1． （1）若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍； （2）若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面

15、積為，求實數(shù)k的值． 【解析】（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0． ∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，∴ 解得，且，∴k的取值范圍為． （2）結合（1），設A(x1，y1)、B(x2，y2)．則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴，∵點O到直線l的距離d＝， ∴，即，解得或，檢驗符合． 故實數(shù)k的值為0，，． 18．已知雙曲線C：（）的左?右焦點分別為，，，過焦點，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且滿足. （1）求C的方程； （2）過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，且，求直線的方程. 【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為， 過，且斜率為的直線方程

16、為， 由，由， 由于，即， 所以.所以雙曲線的方程為. （2）設，由消去并化簡得， ，且. 設，則， 所以中點的坐標為，由于，所以，， ，化簡得，，解得或， 由于且，所以，所以直線的方程為. 19．已知雙曲線C的中心為直角坐標系的原點，它的右焦點為，虛軸長為2． （1）求雙曲線C漸近線方程； （2）若直線與C的右支有兩個不同的交點，求k的取值范圍． 【解析】（1）由題設，，則雙曲線方程為， ∴對應漸近線方程為： ． （2）設直線l與雙曲線C右支的兩交點為A，B且， 聯(lián)立方程，，消． 由題意得：，解得：． ∴當A，B為直線l與C右支的兩個交點時． 20．已知

17、雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過. （1）求雙曲線C的方程； （2）若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P?Q，設P?Q中點為M，求三角形面積的取值范圍. 【解析】（1）由題題意，得，解得. 所以，雙曲線C的方程為. （2）設直線的方程為與雙曲線C方程聯(lián)立： ，消元得，設P?Q兩點的縱坐標為，則： ，解得. 設點M的縱坐標為，由題點M為的中點，即 所以， 易知表達式在上單調(diào)遞減，故三角形面積的取值范圍為. 21．已知雙曲線過點，且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為． （1）求雙曲線的方程； （2）過點的直線與雙曲線左支相交于點，直線與軸相交于兩點，求的取值范圍．

18、【解析】（1）由已知 （2）設直線方程為， 直線的方程為，可得 直線的方程為，可得 聯(lián)立，消去，整理得． ，可得， ， 又，所以的范圍是. 22．已知雙曲線的焦距為，坐標原點到直線的距離是，其中，的坐標分別為，. （1）求雙曲線的方程； （2）是否存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構成以為頂點的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）記雙曲線的焦距為，由題意，可得，即， 又，的坐標分別為，， 所以直線的方程為， 即， 又坐標原點到直線的距離是， 所以，解得，所以， 因此雙曲線的方程為； （2）由（1）可得， 假設存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構成以為頂點的等腰三角形， 則直線的斜率顯然存在，設，，， 由消去整理得， 因為直線與雙曲線有兩不同交點，所以， 解得且， 則，所以， 記的中點為，則， 為使構成以為頂點的等腰三角形，只需，所以， 即，整理得，解得或， 因為不滿足，應舍去，故， 所以存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構成以為頂點的等腰三角形，此時直線的方程為，即.