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1、
專項(xiàng)突破練7 二次函數(shù)壓軸題
1.(2018四川達(dá)州)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時(shí),以高出進(jìn)價(jià)的50%標(biāo)價(jià).已知按標(biāo)價(jià)的九折銷售該型號自行車8輛與將標(biāo)價(jià)直降100元銷售7輛獲利相同.
(1)求該型號自行車的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)分別是多少元?
(2)若該型號自行車的進(jìn)價(jià)不變,按(1)中的標(biāo)價(jià)出售,該店平均每月可售出51輛;若每輛自行車每降價(jià)20元,每月可多售出3輛,求該型號自行車降價(jià)多少元時(shí),每月獲利最大?最大利潤是多少?
解(1)設(shè)進(jìn)價(jià)為x元,則標(biāo)價(jià)是1.5x元,由題意得
1.5x×0.9×8-8x
2、=(1.5x-100)×7-7x,
解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元),
答:進(jìn)價(jià)為1 000元,標(biāo)價(jià)為1 500元;
(2)設(shè)該型號自行車降價(jià)a元,利潤為w元,由題意得w=(1 500-1 000-a),
=-(a-80)2+26 460,
∵-<0,∴當(dāng)a=80時(shí),w最大=26 460,
答:該型號自行車降價(jià)80元出售每月獲利最大,最大利潤是26 460元.
2.(2018福建)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)若a
3、=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
解(1)設(shè)AB=x m,則BC=(100-2x)m,
根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,
當(dāng)x=5時(shí),100-2x=90>20,不合題意舍去;
當(dāng)x=45時(shí),100-2x=10,答:AD的長為10 m.
(2)設(shè)AD=x m,
∴S=x(100-x)=-(x-50)2+1 250,
當(dāng)a≥50時(shí),則x=50時(shí),S的最大值為1 250;
當(dāng)0
4、述,當(dāng)a≥50時(shí),S的最大值為1250;當(dāng)0
5、為y=-x2+2x+3.
(2)若四邊形POP'C為菱形,則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上,
圖1
如圖1,連接PP',則PE⊥CO,垂足為E,
∵C(0,3),
∴E,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo),當(dāng)y=時(shí),
即-x2+2x+3=,
解得x1=,x2=(不合題意,舍),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
圖2
(3)如圖2,
P在拋物線上,設(shè)P(m,-m2+2m+3),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得解得
直線BC的解析為y=-x+3,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交BC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)F,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,-m+3),
PQ=-m2+2m+3-
6、(-m+3)=-m2+3m.
當(dāng)y=0時(shí),-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4,
S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=AB·OC+PQ·OF+PQ·FB
=×4×3+(-m2+3m)×3
=-,
當(dāng)m=時(shí),四邊形ABPC的面積最大.
當(dāng)m=時(shí),-m2+2m+3=,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為.
4.(2018湖南懷化)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的
7、解析式和直線AC的解析式;
(2)請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M,使△BDM的周長最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn),AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),
即y=ax2-2ax-3a,
∴-2a=2,解得a=-1,
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3;
當(dāng)x=0時(shí),y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,
把A(-1,0),C(0,3)代入得解得∴直線AC的解析式為y=3x+3.
(2)∵
8、y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),
作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B',連接DB'交y軸于M,如圖1,則B'(-3,0),
∵M(jìn)B=MB',
∴MB+MD=MB'+MD=DB',此時(shí)MB+MD的值最小,而BD的值不變,
∴此時(shí)△BDM的周長最小,
易得直線DB'的解析式為y=x+3,
當(dāng)x=0時(shí),y=x+3=3,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3).
(3)存在.
過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,如圖2,
∵直線AC的解析式為y=3x+3,
∴直線PC的解析式可設(shè)為y=-x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直線PC的解析式為y=-x+
9、3,
解方程組解得則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為;
過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,直線PC的解析式可設(shè)為y=-x+b,
把A(-1,0)代入得+b=0,解得b=-,
∴直線PC的解析式為y=-x-,
解方程組解得則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為,綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
5.(2018上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖).已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對稱軸上且位于點(diǎn)C下方,將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)求線段CD的長;
(3)將拋物線平移,使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)
10、O的位置,這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置,如果點(diǎn)M在y軸上,且以O(shè),D,E,M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
解(1)把A(-1,0)和點(diǎn)B代入y=-x2+bx+c得解得
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+.
(2)∵y=-(x-2)2+,
∴C,拋物線的對稱軸為直線x=2,
如圖,設(shè)CD=t,
則D,
∵線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P,
把P代入y=-x2+2x+得-(2+t)2+2(2+t)+-t,
整理得t2-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴線段CD的長為2.
(3)
11、P點(diǎn)坐標(biāo)為,D點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵拋物線平移,使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置,∴拋物線向左平移2個(gè)單位,向下平移個(gè)單位,
而P點(diǎn)向左平移2個(gè)單位,向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)E,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),設(shè)M(0,m),
當(dāng)m>0時(shí),·2=8,
解得m=,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為;
當(dāng)m<0時(shí),·2=8,解得m=-,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為;
綜上所述,M點(diǎn)的坐標(biāo)為.
6.(2018廣西南寧)如圖,拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,C,E三點(diǎn),其中A(-3,0),C(0,4),點(diǎn)B在x軸上,AC=BC,過點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別是線段CO,BC上的動(dòng)點(diǎn),且CM=BN,連接M
12、N,AM,AN.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)試求出AM+AN的最小值.
解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得解得
∴拋物線解析式為y=-x2+x+4;
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OB=OA=3,∴B(3,0),
∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D,
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,
當(dāng)x=3時(shí),y=-×9+×3+4=5,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5).
(2)在Rt△OBC中,BC==5,
設(shè)M(0,m),則BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB,
∴當(dāng)時(shí),△CMN∽△COB,則∠CMN=∠COB=90°,即,解得m=,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為;
當(dāng)時(shí),△CMN∽△CBO,
則∠CNM=∠COB=90°,即,解得m=,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為;
綜上所述,M點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(3)連接DN,AD,如圖,
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OC平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO,
∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC,
∵DB=BC=AC=5,CM=BN,
∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN,
∴AM+AN=DN+AN,
而DN+AN≥AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A,N,D共線時(shí)取等號),
∴DN+AN的最小值=,
∴AM+AN的最小值為.
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甘肅省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專項(xiàng)突破練7 二次函數(shù)壓軸題練習(xí)
